LXXVI. Ueber die elastische Kraft des Dampfes bei verschiedenen Temperaturen. Von J. Ivory, Esqu. M. A. F. R. S. Aus dem Philosophical Magazine. N. R. Nro. 1. S. 1. Ivory, uͤber die elastische Kraft des Dampfes bei verschiedenen Temperaturen. Die Hauptfragen in Bezug auf den Dampf sind: 1) welches Verhaͤltniß besteht zwischen der Elasticitaͤts-Kraft und zwischen der Temperatur? 2) Wieviel wird Hize erfordert, um Dampf von einer gewissen Elasticitaͤt und Temperatur zu erzeugen? Ich werde gegenwaͤrtig nur die erste dieser beiden Fragen behandeln, und nicht bloß auf das Auffinden einer Zahlen-Formel mich beschranken, sondern, wenn moͤglich, irgend eine Eigenschaft oder ein Gesez aufsuchen, das uns, wenigstens im Allgemeinen, uͤber dasjenige belehren kann, was außer dem Bereiche unserer Versuche Statt hat. Die besten Versuche uͤber die Expansiv-Kraft des Dampfes sind jene Dalton's, die alle Temperaturen zwischen dem Eis- und Siede-Puncte begreifen, und jene des Dr. Ure, die von dem Eispuncte bis auf 312° (Fahr.) reichen. Wir haben spaͤter, eine Tabelle der Resultate des Hrn. Phil. Taylor vom 212° bis 320° im Phil. Mag. Dec. 1822 erhalten, welche, der Tabelle Dalton's angefuͤgt, dieselbe Reihe von Temperatur umfaßt, wie Ure's Tabelle. Alle diese drei Tabellen sind in Hinsicht auf Genauigkeit beinahe einander gleich. Bei Untersuchungen, wie die gegenwaͤrtige, scheint es aber besser die Resultate eines und desselben Beobachters, die durch gleichfoͤrmiges Verfahren erhalten wurden, zur Basis zu nehmen, und daher gruͤndeten wir folgende Tabelle auf Dr. Ure's Versuche. Textabbildung Bd. 24, S. 382 Index; Differenz; Berechnete Groͤßen In dieser Tabelle enthaͤlt der Spalt T die Temperatur von 5° angefangen, und von 20 zu 20 Graden aufwaͤrts, so weit Dr. Ure's Tabelle laͤuft. In dem Spalte zur Linken sind die sogenannten Indices, welche die Zahlen der Intervalle von 20° angeben. Wenn T, unbestimmt irgend eine Temperatur andeutet, und, x, der correspondirende Inder ist, so erhaͤlt man x = (T – 50)/20. Der zweite Spalt, e, enthaͤlt die Elasticitaͤten, oder die Spannungen des Dampfes in Queksilber Zollen nach Dr. Ure's Tabelle. Unmittelbar darauf folgen die Logarithmen der Elasticitaͤten nach Theilen einer Atmosphaͤre von 30 Zoll geschaͤzt. Dann kommen die Temperaturen des Dampfes vom Siedepuncte an gerechnet, die fuͤr jeden Fall unter 212° negativ, fuͤr alle Faͤlle daruͤber positiv sind. In dem naͤchsten Spalte sind die Quotienten der Zahlen der beiden lezten Spalte. Diese Quotienten sind nahe bei 212° unregelmaͤßig; indem, da e/30 sich der Einheit naͤhert, und sein Logarithmus bei jeder Veraͤnderung von e, sich schnell aͤndert, die Fehler in der Beobachtung großen Einfluß auf diesen Theil der Tabelle haben. Es ist indessen merkwuͤrdig, daß die Zahlen in diesem Spalte eine ununterbrochen abnehmende Reihe bilden. Wenn die Tafel fortgesezt wuͤrde, wuͤrden die Zahlen bis auf eine bestimmte Graͤnze abnehmen? Oder bis auf ein Minimum, und dann wieder steigen? Die Unterschiede der Quotienten befinden sich in dem naͤchsten Spalte. Diese Unterschiede sind außerordentlich unregelmaͤßig, und scheinen, geradezu genommen, keinen Schluͤssel darzubiethen, der uns bei unserer gegenwaͤrtigen Untersuchung leiten koͤnnte. Wir koͤnnen, im Allgemeinen, indessen so viel entnehmen, daß sie langsam abnehmen, und daraus schließen, daß die Quotienten, wenigstens fuͤr eine bedeutende Reihe von Temperaturen, mittelst Differenzen vom ersten und zweiten Range mit ziemlicher Genauigkeit ausgedruͤkt werden koͤnnen. Da aber diese Differenzen nicht unmittelbar gefunden werden koͤnnen, muß man versuchen, sie auf dem besten Wege aus den Zahlen in der Tabelle zu finden. Wenn man die ersten und zweiten Differenzen durch Δ und Δ² ausdruͤkt, so hat man als allgemeinen Ausdruk des dem Inder x correspondirenden Quotienten Textabbildung Bd. 24, S. 383 Zwei Werthe in der Tabelle, die gegebenen Indices entsprechen, reichen hin um Δ und Δ² zu finden; wegen der Unregelmaͤßigkeiten in der Beobachtung ist es aber besser auf folgende Weise zu verfahren. Man bilde die Ausdruͤke der sieben Quotienten in der Tabelle, die mit den Indices 1, 2, 3 bis 7 correspondiren, und nehme daraus das Mittel; dann, 0,010198 = 0,011857 – 4 Δ, + 8 Δ². Auf dieselbe Weise bilde man die Ausdruͤke der vier lezten Quotienten, und nehme daraus ein Mittel; so wird 0,007842 = 0,011857 – 23/2 Δ + 61 Δ². Durch diese beiden Gleichungen erhalten wir Δ = 0,0004545. Δ² = 0,00001986. Nachdem nun Δ und Δ² gefunden ist, muͤssen wir auf unserer Bahn zuruͤk, und mittelst der Formel (A), die verschiedenen mit den Indices 1, 2 etc. correspondirenden Werthe berechnen. Die Resultate dieser Berechnungen stehen in dem naͤchsten Spalte der Tabelle, und es ergibt sich aus der Ansicht, laß sie den wahren Quotienten auf eine bewundernswerthe Weise nahe kommen. Durch Anwendung der berechneten Quotienten statt der wirklichen wurden die Elasticitaͤten berechnet, und in dem lezten Spalte der Tabelle aufgestellt. Um also die Elasticitaͤt, die dem Index 4 entspricht, zu finden, haben wir die Gleichung Textabbildung Bd. 24, S. 384 Auf dieselbe Weise wurden die uͤbrigen Elasticitaͤten berechnet, und die Differenzen von den Experimental-Groͤßen sind unbedeutend. Es ergibt sich hieraus, daß, wenn man die gefundenen Werthe von Δ und Δ² nimmt, die Formel (A) die Elasticitaͤten so genau ausdruͤkt, als man wuͤnschen kann. Um ihr eine anwendbare Form zu geben, substituire ich die Werthe von Δ und Δ², und reihe die Ausdruͤke nach den Potenzen von x. So wird Textabbildung Bd. 24, S. 384 Nun haben wir x = (T – 50)/20 = (162 + t)/20 woher, durch Substituirung, Logarithmen der Coefficienten. Log. e/30 = 0,0087466 t – 3,9418393, – 0,000015178 t² – 5,1812292, (B) + 0,000000024825 t³ – 8,3871228. Auf dem Frierpuncte ist t = – 180, und die Elasticitaͤt wird nach der Formel = 0,185, was von der Experimental-Groͤße, 0,2, nicht merklich verschieden ist. Die Formel (B) kann daher als beinahe genau fuͤr die ganze Reihe der Versuche des Dr. Ure betrachtet werden. Außer Dr. Ure's Tabelle kenne ich bloß zwei Versuche, die Beachtung verdienen. Der erste ist von Hrn. Southern, der die Elasticitaͤt bei 343°,6 gleich 8 Atmospaͤren, oder 240 Queksilber-Zollen sezt. In diesem Falle ist t = 131,6, und die nach der Formel berechnete Elasticitaͤt ist 264 Zoll, oder 24 Zoll uͤber dem Versuche. Wenn diese Differenz allerdings sehr groß scheint, so muß man bemerken, daß sie mit einer Variation von 6°,6 am Thermometer correspondirt; denn, nach der Formel, ist die Elasticitaͤt bei 337° genau 240, wenn t = 125. Man muß ferner noch bemerken, daß Hr. Southern und Dr. Ure in den Temperaturen der Elasticitaͤten, welche beide in ihren Versuchen bestimmten, von einander abweichen, wie aus Folgendem erhellt: Elasticitaͤt. Zoll. Temperatur. Southern. Temperatur. Ure.   60 250°,3 248° 120 293, 4 290 240 343, 6 337 Formel. Wir koͤnnnen daher vermuthen, daß die Formel bei dem großen Druke von 8 Atmosphaͤren nicht viel von der Wahrheit sich entfernt. Der andere Versuch ist der von Hrn. Clement, welcher die Elasticitaͤt bei 419° gleich 35 Atmosphaͤren sezt. Nun ist hier t = 207, und, da die berechnete Elasticitaͤt nur 23,8 Atmospaͤren betraͤgt, ergibt sich, daß die Formel nicht auf so hohe Temperaturen hinaus reicht. Wenn wir die Formel (B) betrachten, so ergibt sich bald, daß der Quotient Textabbildung Bd. 24, S. 385 bis zum Minimum ab-, und dann wieder zunimmt. Daß dieses auch in der Natur wirklich der Fall ist, laͤßt sich durch Versuche beweisen, die in unserer Gewalt sind. So wird, wenn wir Hrn. Clement's Versuch nehmen. (Log. 35)/207 = 0,007459. In der Tabelle finden wir aber 0,007454 im Spalte der Quotienten bei 310°; folglich muß, waͤhrend die Temperatur von 310° auf 419° stieg, der Quotient auf ein Minimum herabgekommen, und dann wieder zu seiner vorigen Große empor gestiegen seyn. Wir sehen ferner, daß das Minimum bei 364° 1/2, oder ungefaͤhr um den 152 oder 153° uͤber den Siedepuncte Statt hat. Nun ist in der Formel das Minimum 311° uͤber dem Siedepuncte, oder doppelt so weit entfernt, als es seyn sollte, und der Versuch des Hrn. Clement steht vor dem Minimum, statt nach demselben. Die Formel ist demnach fuͤr eine lange Reihe von Temperaturen zwar genau genug, weicht aber am Ende gaͤnzlich von der Wahrheit ab, und liefert einen Beweis mehr, wie schwer es ist, durch Vergleichung einzelner Resultate auf allgemein guͤltige Geseze zu gelangen. Es ist indessen offenbar, daß die Formel von der Wahrheit abweicht, nicht weil die Form des Ausdrukes falsch gewaͤhlt wurde, sondern weil die Versuche uns nicht in den Stand sezen, die Coefficienten mit hinlaͤnglicher Genauigkeit zu bestimmen. Es ist daher noͤthig, das genaue Verhalten zwischen Δ und Δ² zu finden, welches wir vergebens aus den durch die Beobachtung gegebenen Groͤßen abzuleiten uns bemuͤhen werden. Hrn. Clement's Versuch zeigte, in welcher Hinsicht die Formel falsch ist; vielleicht ist es moͤglich, sie so zu rectificiren, daß sie alle Versuche mit einem gewissen Grade von Annaͤherung darzustellen vermag. Dieß kann jedoch nicht ohne lange Berechnungen geschehen, die, außer daß sie der Neugierde schmeicheln, wenig Nuzen gewaͤhren; denn es laͤßt sich nicht wohl annehmen, daß ein einzelner Versuch jenseits des Minimums hinreicht, diesen Punct mit irgend einer ertraͤglichen Genauigkeit zu bestimmen. Die Betrachtung numerischer Formeln bei Seite gesezt, wurde erwiesen, daß der Quotient der Elasticitaͤt getheilt durch die Temperatur eine Groͤße ist, die bis auf ein Minimum abnimmt, und dann wieder zunimmt. Die allgemeine Form des Ausdrukes wurde gleichfalls ausgewiesen, und es erhellt leicht, daß der Quotient durch das Quadrat der Ordinate auf die Conjugaten-Achse einer Hyperbel ausgedruͤkt wird, wo das Quadrat der halben Quer-Achse das Minimum ist. Um dieß zu erweisen, duͤrfen wir bloß dem Ausdruke (B) folgende Form geben: Textabbildung Bd. 24, S. 386 wo A und B bekannte Zahlen sind, und n die Entfernung des Minimums von dem Siedepuncte.