LXXI. Ueber die Gegenwirkung der Drehung (Réaction de torsion) steifer Platten und Stangen. Von Hrn. Felix Savart. Vorgelesen an der Pariser Académie des Sciences, den 3. August 1829. Aus den Annales de Chimie et de Physique. 41. Bd. S. 373.Wir haben von dieser Abhandlung seiner Zeit Nachricht gegeben. Wir hielten sie etwas zu hoch fuͤr die meisten Techniker. Da wir aber jezt sehen, daß das Repertory of Patent-Inventions vier seiner Hefte damit fuͤllte, so wollen wir dieselbe auch unseren lieben Landsleuten nicht vorenthalten, indem wir nicht des Glaubens gewisser vornehmer Herren sind, die, nachdem sie ihrer Seits alles Moͤgliche thaten, um Unwissenheit zu verbreiten und zu erhalten, jezt in die Welt hineinschreiben: „Es mangelt den bayrischen Producenten an Intelligenz“ und es uns scheint, daß dasjenige, was der englische Techniker brauchen kann, auch dem bayrischen nicht uͤberfluͤssig ist.A. d. Ue. Savart, uͤber die Gegenwirkung der Drehung steifer Platten und Stangen. Die Geseze der Staͤrke der Drehung (torsion)Es ist sonderbar, daß Torsion kein franzoͤsisches Wort ist und kein lateinisches. Es kommt nur ein einziges Mal bei Plinius vor, wo es Magenkrampf heißt. In unserem verdrehten Zeitalter hoͤrt, und sieht man bissen Bastard der neuesten Sprachverdrehung haͤufig angewendet, und er gibt, wie alles Verdrehte, keinen klaren Begriff.A. d. Ue. der Faden, die von Gewichten gespannt werden, wurden von Coulomb mit großer Genauigkeit bestimmt, und die Drehungswage (balance de torsion), die dieser geschikte Beobachter erfand, ist eines derjenigen Instrumente geworden, deren sich die Physiker heute zu Tage am haͤufigsten bei ihren genaueren Untersuchungen bedienen. Es war sehr natuͤrlich zu vermuthen, daß diese Geseze sich auch auf steife cylindrische Stangen erstreken koͤnnten, wenn man annimmt, daß Steifheit in den Stangen dieselbe Wirkung hervorbringt, welche ein spannendes Gewicht an biegsamen Faden erzeugt. Wirklich hat Hr. Poisson in seiner Abhandlung uͤber das Gleichgewicht und die Bewegung elastischer Koͤrper (Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques) gefunden, daß die Geseze der Drehung cylindrischer Stangen dieselben sind, die Coulomb fuͤr gedrehte Faden angegeben hat, und Hr. Cauchy kam gleichfalls auf dasselbe Resultat der Analyse zuruͤk, als er den allgemeinsten Fall der Drehung der Stangen mit rechtwinkeligen Durchschnitten in Rechnung zog, an welchen die Seiten in beliebigem Verhaͤltnisse gegen einander stehen. Es war also unumgaͤnglich nothwendig, die Versuchsuntersuchungen Coulomb's neuerdings vorzunehmen, und dieselben auf cylindrische Stangen oder auf prismatische Stangen mit rechtwinkeligen oder selbst dreiekigen Durchschnitten auszudehnen, um zu sehen, bis auf welchen Punkt Analyse und Beobachtung mit einander uͤbereinstimmen. Dieß ist der Zwek, den ich mir bei dieser Arbeit vorgenommen habe.Schon Hr. Duleau, Ingenieur beim Bruͤken- und Straßenbaue, hat in einer Abhandlung uͤber den Widerstand des geschlagenen Eisens (sur la résistance du fer forgé), welche der (Pariser) Académie des Sciences im Jahre 1819 vorgelegt wurde, durch Analyse und durch Erfahrung die Geseze der Drehung cylindrischer Stangen bestimmt; er hat selbst die Geseze der Drehung der vierekigen Stangen geahndet; allein diese Versuche wurden nur an einem einzigen Koͤrper (Eisen) und bloß in der Absicht angestellt, um den Ingenieuren eine genaue Weisung uͤber den Widerstand des geschlagenen Eisens zu geben. Hrn. Duleau war es nicht daran gelegen seinem Apparate den hoͤchsten Grad von Vollkommenheit zu geben, die er demselben ohne Zweifel ertheilt haben wuͤrde, wenn es sich um Praͤcision gehandelt haͤtte. Diese Abhandlung des Hrn. Duleau, so schaͤzbar sie uͤbrigens durch die große Menge von Thatsachen ist, welche sie uͤber den Widerstand des Eisens bei dem Biegen, Druͤken etc. enthält, konnte uns nicht von der Nothwendigkeit lossagen, die Frage uͤber die Drehung der Stangen uͤberhaupt, von was immer fuͤr einer Form oder Masse, genau an demselben Punkte wieder aufzunehmen, auf welchem Coulomb sie gelassen hat.A. d. O. §. 1. Darstellung der bei diesen Untersuchungen angewendeten Mittel zur Anstellung der Versuche. Es bieten sich zwei sehr verschiedene Weisen dar, um eine cylindrische oder prismatische Stange um einen bestimmten Bogen zu drehen. Die eine besteht darin, daß man sie senkrecht stellt, das obere Ende derselben in einem Schraubstoke befestigt, und auf das untere Ende mittelst eines zweiarmigen Hebels wirkt, dessen beide Arme horizontal und gleich sind, und von Leinen, die uͤber Rollen laufen und an welchen Gewichte angebracht sind, in entgegengesezter Richtung gezogen werden. Die andere waͤre folgende. Man legt die Stange horizontal, befestigt das eine Ende derselben in einem Schraubstoke, und stuͤzt das andere gegen eine kegelfoͤrmige Spize, deren Scheitel mit dem Mittelpunkte der Figur, welche die kleine Flaͤche darstellt, die das Ende der Stange bildet, correspondirt, oder, man bringt zu diesem Ende eine kleine Hoͤhlung zur Aufnahme des Scheitels des Kessels an: in dieser Lage koͤnnte die Stange mittelst eines einfachen Hebelarmes, der auf der Laͤnge der Stange senkrecht steht, und ganz nahe an dem beweglichen Ende derselben befestigt ist, gedreht werden. Es ist begreiflich, daß die erstere dieser Verfahrungsweisen mehr Fehlern ausgesezt ist, als die zweite, wegen der, bedeutenden Reibung, die auf den Achsen der Rollen, selbst bei aller erdenklichen Vorsicht, sie so leicht beweglich zu machen als moͤglich. Statt haben wuͤrde; uͤberdieß wuͤrde die Nothwendigkeit, in welcher man sich befaͤnde, gleiche Gewichte am Ende eines jeden Hebelarmes aufzuhaͤngen, dieses Verfahren bei den Beobachtungen sehr unbequem machen. Die Reibung an der Spize ist, bei der zweiten Vorrichtung, allerdings auch eine Quelle des Irrthums; indessen nimmt man sie bei der Beobachtung nur wenig wahr, weil, wenn sie in Gewichttheilen ausgedruͤkt wuͤrde, sie niemals mehr als einen aͤußerst kleinen Bruch des Gewichtes betragen wuͤrde, dessen man zur Drehung der Stangen bedarf. Diese Betrachtungen bestimmten mich, mich vielmehr der zweiten Verfahrungsweise, als der ersteren zu bedienen. Um nicht einen ganz eigenen Apparat fuͤr diese Versuche zu bauen, bediente ich mich eines gewoͤhnlichen Schraubstokes von ungefaͤhr 25 Kilogramm, der auf einer gewoͤhnlichen Hobelbank befestigt war, und ein Ende der Stange fassen sollte, waͤhrend das andere Ende gegen den Scheitel eines kleinen Kegels gestuͤzt war, den man an dem Ende eines staͤhlernen Cylinders angebracht hatte, welcher mittelst Zaͤumen und Schrauben an einem unbeweglichen Koͤrper befestigt war. Eine starke eiserne oder kupferne Stange, die in der Mitte ihrer Laͤnge ein rechtwinkeliges oder vierekiges Loch fuͤhrt, nach dem verschiedenen Umfange des Durchschnittes der zu drehenden Stange, umfaßte das Ende dieser lezteren auf eine unerschuͤtterliche Weise, und diente zur Drehung derselben mittelst eines Gewichtes, das an einem sehr feinen Stahldrathe hing, dessen oberes Ende, in einen Ring geschlungen, auf einem sehr kleinen Messer ruhte, welches in die Stange eingelassen war. Bei dieser Vorrichtung war die Laͤnge des Hebelarmes immer dieselbe (0,111 Meter), und das eigene Gewicht desselben wirkte nicht bei der Drehung der Stange mit, so daß man nur auf die Gewichte Ruͤksicht nehmen durfte, die an dem Stahldrathe aufgehaͤngt waren. Was die Messungsmittel betraf, so bestanden sie aus einem Kreisbogen, der in Decimaleintheilung graduirt war, und dessen Halbmesser ungefaͤhr 25 Centimeter betrug. Er war in seinem Mittelpunkte mit einem Loche versehen, durch welches der cylindrische Theil der Spize lief, um welche er sich in harter Reibung drehte, so daß man ihn mittelst einer Zange in jeder beliebigen Hoͤhe befestigen konnte, was durchaus nothwendig war, um jede Linie der Eintheilung mit einer aͤhnlichen Linie am Ende einer langen Nadel zusammentreffen zu lassen, die am Hebelarme angebracht ist. Dieses Zusammentreffen der beiden Striche wurde mit einem starken Vergroͤßerungsglase am Ende einer ungefaͤhr 2 Decimeter langen Roͤhre von kleinem Durchmesser beobachtet, damit das Auge bald hoͤher, bald niedriger gestellt werden konnte. Dieses Vergroͤßerungsglas war uͤberdieß auf einem beweglichen Fußgestelle aufgezogen, so daß man es nach Belieben hoͤher oder tiefer stellen konnte. Man wird einsehen, daß es bei dieser Vorrichtung sich ereignen koͤnnte, daß wenn man die Stange um einen gewissen Bogen gedreht hat, die Kraft aufhoͤrt senkrecht auf das Ende des Hebels zu wirken. Um diesem Nachtheile abzuhelfen, hat man an dem freien Ende des Hebels ein gehoͤriges Gegengewicht angebracht, und dieses immer auf den Horizont gestellt, wenn die beiden Gewichte am Drache aufgehaͤngt waren. Wenn endlich bedeutend schwere Gewichte gebraucht wurden, so hatte man noch die Vorsicht eine Wasserwage auf den unteren Baken des Schraubstokes zu stellen, um sich zu uͤberzeugen, daß an diesem Theile nichts in Unordnung gerathen ist, und um dem Uebel abzuhelfen, wenn es eingetreten waͤre. §. 2. Verhaͤltniß der Drehungsbogen zu den Kraͤften, welche sie erzeugen, wenn die Laͤnge bestaͤndig ist. Da bei biegsamen und durch Gewichte gespannten Faden, wenn die Laͤnge dieselbe bleibt, die Drehungsbogen (Arcs de torsion) bestaͤndig im Verhaͤltnisse zum Momente der Kraft stehen; so war es wohl hoͤchst wahrscheinlich, daß bei cylindrischen Stangen derselbe Fall Statt hat; es war aber nicht so leicht vorauszusehen, was geschehen wuͤrde, wenn die Stangen Parallelopipede sind, oder wenn sie gar in mehr oder minder breite und duͤnne Platten oder Blätter uͤbergehen. Indessen zeigt die Erfahrung, daß das Gesez, welches auf Faden paßt, die durch Gewichte gespannt sind, auch noch auf Stangen und Blaͤtter anwendbar ist, deren Querdurchschnitt was immer fuͤr einen Umriß bilden mag. Messingcylinder auf dem Drathzuge gezogen: Durchmesser 0,00672 Meter; Laͤnge 0,649       – Drehungsbogen. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.         1°.             160 Gramm.             160 Gramm.         2             320     –             320     –         3             480     –             480     –         4             640     –             640     –         5             798     –             800     –         6             957     –             960     –         7           1115     –           1120     –         8           1275     –           1280     –         9           1434     –           1440     –       10           1590     –           1600     – Wenn man das Gewicht von 160 Gramm, welches in diesem Versuche mit einem Bogen von 1° correspondirt, als genau betrachtet wird, so werden die nach dem Geseze der Proportionalitaͤt der Kraft zum Drehungsbogen berechneten Gewichte sich, bis auf einen Bogen von 10°, so verhalten, wie die dritte Columne in obiger Tabelle sie zeigt. Erst wenn der Bogen groͤßer, als 4° wird, faͤngt ein Unterschied zwischen dem Versuche und der Rechnung an. Dieser Unterschied beträgt 10 Gramm fuͤr einen Bogen von 10°, uͤber welchen hinaus der Versuch nicht fortgesezt werden konnte, indem das Metall sich dann auf eine bleibende Weise anfing zu verziehen. Die folgenden Versuche werden zeigen, daß dieser Unterschied, obschon er uͤbrigens gering ist, dem Umstande zugeschrieben werden muß, daß es beinahe unmoͤglich ist einen Cylinder zwischen den Baken eines Schraubstokes festzuhalten, ohne daß er sich darin um irgend eine Kleinigkeit bewegen kann, sobald eine etwas bedeutende aͤußere Kraft anfaͤngt denselben zu drehen. Man koͤnnte einwenden, daß, wenn man ihn sehr stark im Schraubstoke preßt, man das Drehen desselben verhindern koͤnnte; allein dann wuͤrde man ihn bedeutend platter machen, und er befaͤnde sich nicht mehr unter jenen Umständen, unter welchen er der Annahme zu Folge seyn muß. Prismatisch vierekige kupferne Stange aus dem Drathzuge. Laͤnge 0,6567 Meter. Seite des Vierekes 0,00566  – Drehungsbogen. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.         1°.         126 Gramm.         126 Gramm.         2         252     –         252     –         3         378     –         378     –         4         505     –         504     –         5         630     –         630     –         6         757     –         756     –         7         880     –         882     –         8       1008     –       1008     –         9       1135     –       1134     –       10       1258     –       1260     –       11       1388     –       1386     –       12       1515     –       1512     – Bei diesem Versuche stehen die Gewichte genau mit den Bogen in Verhaͤltniß, bis auf den Bogen von 5 Graden. Wenn man die uͤbrigen nach diesen berechnet, so sieht man, daß die zweite und dritte Columne beinahe vollkommen mit einander stimmen; denn ein Unterschied von einigen Grammen kann = 0 gesezt werden, wo es sich immer um etwas bedeutende Gewichte handelt. Stange mit rechtwinkeligem Durchschnitte. Dieselbe Praͤcision, die wir an den prismatisch vierekigen Stangen so eben wahrgenommen haben, findet sich auch an denjenigen Stangen, deren Durchschnitt ein Rechtet ist, dessen Seiten wenig von einander verschieden sind, wie man aus folgender Tabelle sieht. Stange aus Messing auf dem Drathzuge gezogen. Laͤnge 0,997 Meter. Dike 0,00356 – Breite 0,0092   – Drehungsbogen.  Beobachtetes Gewicht.  Berechnetes Gewicht.         1°.           55 Gr., 5        55 Gr., 739         2         111 –      111 –,    478         3         167 –      167 –,    217         4         223 –,    5      222 –,    956         5         279 –      278 –,    695         6         334 –      334 –,    434         7         390 –      390 –,    173         8         447 –      445 –,    912         9         501 –      501 –,    651       10         557 –      557 –,    390       11         612 –,    7      613 –,    129       12         670 –      668 –,    868 Da in diesem Beispiele die Gewichte, welche mit den Bogen von 1, 2, 3, 4 Graden correspondiren, nicht vollkommen genau correspondirten, so addirte ich alle aus den Versuchen erhaltenen Zahlen, und theilte sie durch die Summe aller Bogen, um einen mittleren Grad zu erlangen: mit Beihuͤlfe des auf diese Weise erhaltenen Grades ist die dritte Columne berechnet. In dem Maße, als die Platten breiter werden und duͤnner, d.h., in dem Maße, als man sie besser zwischen den Baken des Schraubstokes und am Hebelarme befestigen kann, wird das Gesez des Verhaͤltnisses der Kraft zum Drehungsbogen immer mehr und mehr genau bestaͤtigt. Glastafel aus einem Fenster. Laͤnge 0,63       Meter. Breite 0,0544     – Mittlere Dike 0,001516 – Drehungsbogen Beobachtetes Gewicht.                 1°                   70 Gramm.                 2                 140     –                 3                 210     –                 4                 281     –                 5                 350     –                 6                 420     – Man muß bemerken daß, da Glas weit mehr gleichartig ist, als Metall, es ohne Zweifel diesem Umstande zuzuschreiben ist, daß das Gesez sich bis auf einen Bogen von 6 Graden in obigem Beispiele bestaͤtigte: eine Graͤnze, uͤber welche man nicht hinaus durfte, aus Furcht daß die Tafel nicht bricht. Platte aus gewalztem Gußstahle. Laͤnge 0,2194   Meter. Breite 0,05187   – Dike 0,00117   – Drehungsbogen. Beobachtetes Gewicht Berechnetes Gewicht.         1°.         98 Gramm.        98 Gramm         2       196     –      196     –         3       294     –      294     –         4       392     –      392     –         5       491     –      490     –         6       589     –      588     –         7       685     –      686     –         8       784     –      784     –         9       882     –      882     –       10       979     –      980     – Das Gesez, um welches es sich hier handelt, erstrekt sich nicht bloß auf Platten mit rechtwinkeligem Querdurchschnitte, an welchem die Seiten in irgend einem beliebigen Verhaͤltnisse stehen, sondern auch auf Stangen, deren Durchschnitt ein gleichseitiges Dreiek ist, so daß, nach diesen Versuchen, der Schluß ganz natuͤrlich ist, es werde dasselbe sich auf alle Durchschnitte von Stangen ausdehnen. Kupferne prismatisch dreiekige Stange aus dem Drathzuge. Laͤnge 0,6385 Meter. Seite eines Dreiekes 0,0088   – Drehungsbogen. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.         1°.          141 Gr., 5          141 Gr., 5         2          283 –          283 –         3          426 –          424 –,    5         4          566 –          566 –         5          708 –          707 –,    5         6          850 –          849 –         7          990 –          990 –,    5         8        1130 –        1132 – §. 3. Gesez der Laͤngen. Vierekige Stange aus Gußstahl. Drehung von 1°. Seite des Vierekes 0,00572 Meter. Laͤnge in Decimetern. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.             12           132 Gr.         132 Gr.,             11           145 –         144 –             10           159 –         158 –,    4               9           175 –         176 –               8           198 –         198 – Laͤnge in Decimetern. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.               7           226 Gr.         226 Gr., 3               6           263 –         264 –               5           317 –         316 –,    8               4           395 –         396 –               3           525 –         528 –               2           787 –         792 –               1         1575 –       1584 – Aus Vergleichung der in der zweiten Columne enthaltenen Zahlen mit den in der ersten Columne in Decimetern ausgedruͤkten Laͤngen erhellt, daß, wenn der Querdurchschnitt immer derselbe bleibt, der Drehungsbogen ferner gleichfalls immer derselbe bleibt, die Gewichte sich umgekehrt wie die Laͤngen verhalten, und daß folglich, wenn die beiden Querdurchschnitte und die Gewichte dieselben bleiben, die Drehungsbogen sich gerade wie die Laͤngen verhalten. Denn, wenn man dieses Gesez als genau gelten laͤßt, und darnach rechnet, und von dem Gewichte ausgeht, welches mit der groͤßten Laͤnge correspondirt, so bekommt man die in der dritten Columne erhaltenen Zahlen: Zahlen, die von den mit denselben correspondirenden Zahlen in der zweiten Columne wenig abweichen. Man bemerkt nur, daß, fuͤr Laͤngen von 4, 3, 2, 1 Decimeter, die durch die Versuche gegebenen Gewichte etwas zu schwach werden, und zwar desto mehr, je weniger groß die Laͤnge ist; was offenbar davon herkommt, daß die Stange dann eine in Verhaͤltniß zu ihrer Laͤnge bedeutende Dike erhaͤlt, und sich dann wirklich auf eine bleibende Weise in einem kleinen Bogen dreht. Dessen ungeachtet reicht dieß aber hin, um die Beobachtung unzuverlaͤssig zu machen, und zwar in einem solchen Grade, daß es beinahe unmoͤglich ward das Gewicht mit Genauigkeit, selbst auf 10 bis 20 Gramm; zu bestimmen. Dieses Gesez beschraͤnkt sich nicht bloß auf die vierekige Stange; es paßt auch auf die cylindrischen und auf diejenigen, deren Durchschnitt ein gleichseitiges Dreiek ist, und erstrekt sich selbst auf duͤnne und breite Platten. Glastafel. Breite 0,0544     Meter. Dike 0,001516   – Drehung 1° Laͤngen. Gewichte. 0,63   Meter   70 Gramm. 0,315   – 140     – Brett aus Eichenholz. Breite 0,096   Meter. Dike 0,0017   – Drehung 1° Laͤngen. Gewichte. 0,5764 Meter. 3,93 Gramm. 0,2882   – 7,87     – Dreiekig prismatische kupferne Stange. Seite des Dreiekes 0,0088 Meter. Drehung 1°.     Laͤngen. Beobachtetes Gewicht Berechnetes Gewicht. 0,637 Meter.         141 Gr., 5       141 Gr., 5 0,492   –         183 –,    5       183 –,    2 0,360   –         249 –,    5       250 –,    37 0,2415 –         372 –,    5       373 –,    23 0,154   –         580 –       585 –,    29 §. 4. Gesez bei aͤhnlichen Querdurchschnitten. 1°. Cylindrische Stangen. Kupferne cylindrische Stangen aus dem Drathzuge. Gemeinschaftliche Laͤnge      0,649 Meter. Textabbildung Bd. 38, S. 270 Drehungsbog; Durchmesser; Meter; Gewicht; beobachtetes Wenn man die Durchmesser dieser vier Cylinder auf die vierte Potenz erhebt, so hat man folgende Zahlen: 33,1776; 440,00935696; 2279,88105361; 6678,41990656; die sich unter einander verhalten, wie die Zahlen 1; 13,262; 68,717; 201,293. Da nun auf der anderen Seite die Gewichte sich unter einander verhalten wie die Zahlen 1; 13,862; 69,697; 195,286; so kann man aus diesem Versuche schließen, daß, wenn Laͤnge und Drehungsbogen dieselben bleiben, die Gewichte sich gerade wie die vierten Potenzen der Durchmesser verhalten; folglich, daß, wenn Laͤngen und Gewichte dieselben bleiben, die Bogen sich umgekehrt wie die vierten Potenzen der Durchmesser oder der Quadrate der Flaͤcheninhalte der Querdurchschnitte verhalten. Man koͤnnte indessen einwenden, daß die Zahlen, 201,293 und 195,286 um eine ziemlich merkliche Groͤße von einander abweichen; man muß aber bemerken, daß, da der Cylinder N. 4. einen Durchmesser von beinahe 1 Centimeter hat, dieser nur von bedeutenden Gewichten gedreht werden konnte, und daß, wenn er sich selbst uͤberlassen blieb, er nicht mehr von sich selbst in seine vorige Lage vollkommen zuruͤkkehrte. Dadurch wurde die Beobachtung der Bogen sehr lang und sehr schwierig. Da ferner die angewendeten kupfernen Stangen im Drathzuge gezogen waren, so waren sie nicht genau cylindrisch, so daß die in der Tabelle angegebenen Durchmesser eigentlich nur das Mittel einer großen Zahl von Messungen an verschiedenen Stellen der Stange waren. Es wuͤrde auch noch, wenn der Durchmesser von N. 4. ungefaͤhr um 7/100 eines Millimeters vermindert wuͤrde, der Unterschied beinahe O werden. Man kann sich also wundern, daß, unter diesen Verhaͤltnissen, Versuch und Rechnung so gut mit einander stimmen. 2. Vierekige Stangen. Prismatisch vierekige kupferne Stangen aus dem Drathzuge. Gemeinschaftliche Laͤnge: 0,649 Meter. Drehungsbogen.         N. 1.    Seite des    Vierekes:0,00468 Meter.         N. 2.    Seite des    Vierekes:0,00566 Meter.         N. 3.    Seite des    Vierekes:0,00918 Meter. Gewicht. Gewicht. Gewicht.         1°     59 Gr., 5   127 Gr., 5   880 Gr.,         2   119 –   255 –   1760 –         3   178 –     5   382 –     5   2640 –         4   238 –   509 –   3520 –         5   297 –     5         6   357 – Wenn man die Seiten der Querdurchschnitte einer jeden dieser Stangen zur vierten Potenz erhebt, so erhaͤlt man folgende Zahlen: 479,71512576; 1026,27966736; 7101,83740176; und diese verhalten sich unter einander wie die Zahlen 1; 2,1393; 14,8043: waͤhrend die corrspondirenden Gewichte sich verhalten, wie die Zahlen 1; 2,1429; 14,7899; woraus man folgern muß, daß, wenn die Laͤnge der Stange und der Drehungsbogen bestaͤndig dieselben bleiben, die Gewichte sich gerade wie die vierten Potenzen der Seiten des Vierekes verhalten; folglich werden, wenn die Laͤngen und die Gewichte dieselben bleiben, die Bogen sich umgekehrt wie die vierten Potenzen der Seiten des Vierekes oder des Quadrates der Grundflaͤche des Querdurchschnittes verhalten. An den drei Stangen dieses Versuches waren die Gewichte so ziemlich in Verhaͤltnis mit den Bogen, was man dem Umstande zuzuschreiben hat, daß sie, ihrer Form wegen, leichter im Schraubenstoke zu befestigen waren. Das Gesez des Verhaͤltnisses der Gewichte wie die vierten Potenzen der Seiten der Viereke, bestaͤtigt sich hier gleichfalls auf eine Weise, die man in aller Strenge kann gelten lassen. 3. Stangen mit aͤhnlichen rechtwinkeligen Durchschnitten. Da es aͤußerst schwer ist auf dem Drathzuge Metallstangen zu erhalten, deren rechtwinkelige Durchschnitte einander vollkommen aͤhnlich sind, so entschloß ich mich diesen Versuch an Holz anzustellen. Hier hatte man aber mit einer anderen Schwierigkeit zu kaͤmpfen. Die Elasticitaͤt des Holzes war naͤmlich nicht nach allen Richtungen dieselbe, und es war daher nothwendig, daß die Flaͤchen der Stangen genau dieselben Lagenverhaͤltnisse gegen die Achsen der Elasticitaͤt behielten, denn sonst wuͤrden die Resultate sich nicht haben vergleichen lassen. So wird z.B., wenn man aus demselben Stuͤke Buchenholz zwei kleine Stangen schneidet, deren Durchschnitte etwas laͤngliche Viereke sind, und deren Kanten parallel mit der Richtung der Fasern des Holzes laufen, die Gegenwirkung der Drehung in beiden sehr verschieden seyn, wenn an einer derselben die beiden groͤßeren Flaͤchen parallel mit der Achse der dazwischen liegenden Elasticitaͤt laufen, d.h., parallel mit dem Halbmesser des Baumes, und wenn sie an der anderen parallel mit der Richtung der geringeren Elasticitaͤt sind, d.h., mit den Holzlagen. Dieß beweiset folgender Versuch, der an zwei Stangen aus Buchenholz angestellt wurde, welche aus demselben Stuͤke neben einander herausgeschnitten worden waren. Sie hielten in der Laͤnge 0,198 Meter; Breite 0,015333; Dike 0,00404. Ein Gewicht von 19 Gr., 25 reichte hin, um diejenige dieser beiden Stangen um Einen ganzen Grad zu drehen, deren groͤßere Flaͤchen parallel mit der Richtung der geringeren Elasticitaͤt liefen; waͤhrend man 24 Gr., 8 brauchte, um die andere Stange um Einen Grad zu drehen, deren große Flaͤchen parallel mit der Achse der mittleren Elasticitaͤt waren. Dieses Resultat zeigt also, daß, wenn man das Gesez fuͤr hoͤlzerne Stangen von aͤhnlichen Durchschnitten aufsucht, man immer dieselbe Stange anwenden, und sie dann auf ihren Flaͤchen nach und nach parallel verduͤnnen lassen muß, damit die Richtungen der Elasticitaͤten in Hinsicht auf die Flaͤchen nicht veraͤndert werden. Stangen von Eichenholz. Bestaͤndige Laͤnge. 0,5235 Meter. Drehungsbogen.              N. 1.Breite: 0,046634 Meter.      Dike: 0,01059              N. 2.Breite: 0,023317 Meter.      Dike: 0,005295.       Gewicht.       Gewicht.         1°             355              22         2             710              44         3           1066              66         4           1422              89 An diesen beiden Stangen verhalten sich die Quadrate der Flaͤchen der Querdurchschnitte gegen einander wie 1 : 16, indem die Dimensionen der groͤßeren doppelt so groß sind, als die der kleineren. Die Gewichte verhalten sich wie 1 : 16,1364. Es sind also auch bei Stangen mit aͤhnlichen rechtwinkeligen Durchschnitten die Gewichte noch immer in geradem Verhaͤltnisse wie die Quadrate der Grundflaͤche der Querdurchschnitte, wie wir dieß gleichfalls bei cylindrischen und prismatisch vierekigen Stangen gefunden haben, und wie wir sogleich sehen werden, daß es auch bei prismatisch dreiekigen Stangen Statt hat. 4. Dreiekige Stangen. Prismatisch dreiekige gleichseitige kupferne Stangen aus dem Drathzuge. Gemeinschaftliche Laͤnge 0,6383 Meter. Textabbildung Bd. 38, S. 273 Drehungsbogen; Seite des Dreiekes; Millimeter; Gewicht; beobacht; berechnet Wenn man die Seiten der Dreieke, welche die Querdurchschnitte dieser drei Stangen bilden, zur vierten Potenz erhebt, so erhält man die Zahlen 358,061000625; 3701,5056; 5996,9536, welche sich, die erstere als Einheit angenommen, verhalten wie die Zahlen 1; 10,3376; 16,7484. Die Gewichte sind uͤbrigens wie 1; 10,2748; 16,9068 so daß also dasselbe Gesez des Verhaͤltnisses der Gewichte zum Quadrate der Grundflaͤche des Querdurchschnittes sich auch hier mit merkwuͤrdiger Genauigkeit bestaͤtigt, und man aus obigen Thatsachen folgendes allgemeine Gesez sich abstrahiren kann: Bei Stangen von aͤhnlichen Durchschnitten sind, wenn die Laͤnge und der Drehungsbogen dieselben bleiben, die Gewichte in geradem Verhältnisse wie die vierten Potenzen der Linear-Dimensionen des Durchschnittes; und, wenn Laͤnge und Gewicht dieselben bleiben, sind die Bogen in umgekehrtem Verhaͤltnisse der vierten Potenz der Linear-Dimensionen des Durchschnittes. §. 5. Einfluß der Querdimensionen auf Stangen, deren Durchschnitte rechtwinkelig sind, aber nicht aͤhnlich. Nach der Bemerkung, die wir oben bei Gelegenheit des Gesezes der Drehung der Stangen gemacht haben, deren Durchschnitte rechtwinkelig und aͤhnlich sind, muͤßte auch hier, aus demselben Grunde, auf den Instand der Elasticitaͤt der Masse Ruͤksicht genommen werden, aus welcher die Stangen verfertigt werden; uͤberdieß waͤre es auch nicht moͤglich, den Versuch mit einer und derselben hoͤlzernen Stange anzustellen, deren Dike man nach und nach verminderte, da die Dimensionen nicht nach irgend einem Verhaͤltnisse vermindert werden duͤrfen, folglich der Einfluß der Querelasticitaͤten in den verschiedenen Faͤllen nicht mehr derselbe waͤre. Es schien mir daher besser diesen Versuch mit einer Masse anzustellen, die man so ziemlich als gleichfoͤrmig betrachten kann, und ich waͤhlte daher Gyps, der, wie man aus den toͤnenden Schwingungen erweisen kann, nur sehr geringe Unterschiede in seiner Elasticitaͤt darbietet; und, um die Ursache von Fehlern soviel moͤglich zu vermindern, wirkte ich auf dieselbe Stange, deren Dike und Breite ich nachher verminderte, deren Laͤnge ich aber unveraͤndert ließ. Unveraͤnderte oder bestaͤndige Laͤnge: 0,374333. N. 1. Breite 0,0271 Meter Dike 0,00698  – Drehungsbogen 1°           – Gewicht 120 Gramm. N. 2. Breite 0,017213 Meter. Dike 0,005188    – Drehungsbogen 1°               – Gewicht 30 Gramm, 33. Wenn man das Product der Wuͤrfel der Querdimensionen nimmt, und dasselbe durch die Summe der Quadrate derselben Dimensionen theilt, so erhält man folgende Zahlen: 8642,513319; 2203,406422, welche sich unter sich wie die Zahlen 3922 und 1 verhalten; auf der anderen Seite verhalten sich 120 und 30,33, welche die Zahlen der nothwendigen Gramme darstellen, um jede Stange um 1° zu drehen, wie 3,956 und 1; so daß sich hieraus folgendes Gesez ergibt: an Stangen mit rechtwinkeligen Durchschnitten verhalten sich die Gewichte gerade wie die Producte der Wuͤrfel der Querdimensionen getheilt durch die Summe, und folglich die Bogen umgekehrt wie das Product der Wuͤrfel dieser Dimensionen getheilt durch die Summe ihrer Quadrate. Aus diesem Geseze folgt, daß, wenn die Breite der Stangen bestaͤndig dieselbe bleibt, und verhaͤltnißmaͤßig zur Dike derselben sehr groß ist, die Gewichte merklich im Verhaͤltnisse zu den Wuͤrfeln der Dike stehen, selbst in dem Falle, wo die Elasticitaͤt nicht nach asten Richtungen dieselbe ist. Dieß stimmt wirklich mit der Erfahrung. Platte aus Eichenholz. Laͤnge 0,5764 Meter. Breite 0,096     – Dike 0,00537 – Drehungsbogen     1° Gewicht 105 Gramm. –––––––––– Dieselbe Platte verduͤnnt auf die Dike von 0,00254 Meter. Drehungsbogen         1° Gewicht       11 Gramm, 4.     Verhaͤltniß der Wuͤrfel der Dike 1 : 9,449.     Verhaͤltniß der Gewichte 1 : 9,21. Aus dem vorhergehenden Geseze folgt auch, daß, bei breiten und duͤnnen Platten, die Gewichte so ziemlich in einfachem Verhaͤltnisse zur Breite stehen, was gleichfalls mit der Erfahrung uͤbereinstimmt. Glastafel. Laͤnge 0,315     Meter. Breite 0,0544       – Dike 0,004546   – Drehungsbogen 1° Gewicht 70 Gramm. –––––––––– Dieselbe Tafel auf eine Breite von 0,02546 Meter zuruͤkgefuͤhrt Drehungsbogen                     1° Gewicht         34 Gramm.     Verhaͤltniß der Breiten 1 : 2,1366.     Verhaͤltniß der Gewichte 1 : 2,0588. Kurze Wiederholung. Die verschiedenen Resultate, auf welche wir bei dieser Arbeit geleitet wurden, lassen sich auf folgende Geseze zuruͤkfuͤhren: 1) Der Umfang des Querdurchschnittes der Stangen mag was immer fuͤr eine Figur darbieten, so verhalten sich die Drehungsbogen gerade wie die Momente der Kraft und die Laͤngen. 2) Wenn die Durchschnitte der Stangen unter sich aͤhnlich sind, sie moͤgen uͤbrigens kreisfoͤrmig, dreiekig oder vierekig oder sehr verlaͤngerte Rechtete seyn, so verhalten sich die Drehungsbogen umgekehrt wie die vierten Potenzen der Linear-Dimensionen der Durchschnitte. 3) Wenn die Durchschnitte Rechtete sind, und die Stangen eine gleichfoͤrmige Elasticitaͤt nach allen Richtungen besizen, so verhalten die Drehungsbogen sich umgekehrt wie das Product der Wuͤrfel getheilt durch die Summe der Quadrate; woraus folgt, daß, wenn die Breite im Verhaͤltnisse zur Dike sehr groß ist, die Drehungsbogen sich so ziemlich umgekehrt wie die Breiten und die Wuͤrfel der Dike verhalten. Diese Geseze gelten auch dann, wann die Elasticitaͤt nicht nach allen Richtungen dieselbe ist. Diese Geseze sind, fuͤr den besonderen Fall cylindrischer Stangen, dieselben, die Hr. Poisson durch die Analyse erhielt; und, fuͤr den allgemeineren Fall cylindrischer und rechtwinkeliger Stangen, genau dieselben, die Hr. Cauchy in einer spaͤteren Arbeit nach jener des Hrn. Poisson bekannt gemacht hat: ja man kann selbst beifuͤgen, daß die Rechnung nie besser mit der Erfahrung uͤbereinstimmte, als in diesen Faͤllen. Man wird demnach in der Zukunft uͤberall dorr, wo es sich um Anwendung auf Bau und auf Kuͤnste handelt, von diesen Gesezen Gebrauch machen koͤnnen, ohne besorgen zu duͤrfen, daß man dadurch einen Fehler begeht; nur wird man, wo es sich um die Gegenwirkung der Drehung des Stahles und der Legirungen handelt, auf die Umstaͤnde Ruͤksicht nehmen muͤssen, welche bei dem Abkuͤhlen dieser Massen Statt hatten. So lang die Metalle rein sind, scheint weder neues Hizen noch Haͤrten derselben den mindesten Einfluß auf den Widerstand der Drehung zu aͤußern; wenigstens habe ich dieß am Kupfer, an der Platinna und am Eisen wahrgenommen. Dieß ist aber nicht mehr der Fall bei Legirungen, wie beim Messing, bei dem Metalle zu den Tamtams, und auch bei dem Stahle, wie man aus folgender Tabelle ersieht. Messingdrath aus dem Drathzuge und mit dem Hammer geplaͤttet. Laͤnge 0,3 Meter. Drehungsbogen 1°. Zustand des Koͤrpers. Gewicht. Kalt gehaͤmmert     357 Gramm, 5 langsam erkaltet     370   – schnell 357,5    – langsam     370   – schnell     355   – langsam     367   – schnell     355   – langsam     367   – Mehrere andere Messingstangen gaben genau dasselbe Resultat, so daß dieser Koͤrper durchaus nicht zu Versuchen uͤber die Staͤrke der Drehungskraft taugt, indem es ziemlich schwer ist eine etwas lange Stange wieder vollkommen gleichfoͤrmig zu hizen oder auszugluͤhen. Es kann also dann der Fall eintreten, daß die Gegenwirkung der Drehung nicht dieselbe in der ganzen Laͤnge der Stange ist, wie aus folgendem Beispiele erhellt. Prismatisch vierekige Stange aus Messing auf dem Drathzuge. Laͤnge 1,302 Meter; Seite des Vierekes 0,00572 –; Drehungsbogen     1°; Gewicht fuͤr die eine Haͤlfte 110 Gramm.   –     –   fuͤr die andere Haͤlfte   92. Eine Stange mit rechtwinkeligem Durchschnitte aus sogenanntem Tamtams (oder Gong-) Metall. Laͤnge 0,144 Meter; Breite 0,01732 –; Dike 0,00256 –; Drehungsbogen     1°. Erkaͤlten Gewicht.   Langsam         380   Schnell         300   Langsam         380   Schnell         300 Langsames Erkalten bringt also auf diese Composition eine aͤhnliche Wirkung hervor, wie auf Messing; d.h., eine staͤrkere Gegenwirkung der Drehung. Gußstahl. Eine Stange von rechtwinkeligem Durchschnitte. Laͤnge 0,14 Meter; Breite 0,0156 –; Dike 0,0046 –; Drehungsbogen     1°. Erkalten. Gewicht.   Schnell 2500 Gramm.   Langsam 2670     –   Schnell 2400     –   Langsam 3000     –   Schnell 2900     –   Schnell 2700     –   Schnell 2900     –   Langsam 2950.    – Wie man aus dieser Tabelle ersieht, so haben die besonderen Umstaͤnde bei dem Erkalten hier einen großen Einfluß auf die Gegenwirkung der Drehung: indessen bringt ein langsames Erkalten immer eine staͤrkere Gegenwirkung der Drehung hervor, als ein schnelles, was sich sehr gut aus dem Umstande erklaͤren laͤßt, daß die Theilchen der Masse dann mehr Zeit gewinnen sich regelmaͤßig an einander zu reihen. Der Unterschied zwischen der Haͤrtung des Stahles und der Tamtams verschwindet demnach unter diesem Umstande; es ist jedoch nicht minder merkwuͤrdig, daß der Stahl an Haͤrte zunimmt, wann er schnell erkaltet, waͤhrend die Haͤrte des Tamtam-Metalles abnimmt. Es waͤre aͤußerst merkwuͤrdig fuͤr jeden Koͤrper den Punkt zu untersuchen, wo er aufhoͤrt in seine erste Lage zuruͤkzukehren, nachdem er von einem Gewichte gedreht wurde, welches staͤrker ist als die Gegenwirkung der Drehung, und zu sehen, welche Rolle die Zeit in der Verschiebung der Theilchen bildet, welche auf diese Weise einer aͤußeren Kraft ausgesezt sind. Ich habe einige Versuche in dieser Hinsicht gemacht, habe aber noch nicht Zeit genug gefunden, meine Arbeit zu vollenden. Ich kann jedoch schon jezt so viel hier aussprechen, daß, wenn die Kraft, welche die Stange dreht, auch noch so klein ist, diese immer ehe anfaͤngt sich auf eine bleibende Weise zu drehen, ehe sie so zuruͤk wirkt, als ob sie vollkommen elastisch waͤre, und daß, wenn man die Kraft verstaͤrkt, sich eine neue bleibende Drehung bildet u.s.f.; daß endlich, wenn man die Kraft durch mehrere Stunden lang fort wirken laͤßt, der Drehungsbogen zunimmt, jedoch nur um eine Groͤße, die unmerklich abnimmt. Es waͤre sehr gut diese Untersuchungen fortzusezen, indem sie geeignet sind, zu wichtigen Resultaten in Hinsicht auf die Kraͤfte zu fuͤhren, welchen die Theilchen der Koͤrper unterliegen.So wichtig die hier angestellten Versuche uͤber Drehung und die in neueren Zeiten von so vielen, besonders englischen, Physikern wiederholten und erweiterten Versuche uͤber Spannung, Elasticitaͤt, Staͤrke verschiedener Koͤrper fuͤr Baukunst in allen ihren Zweigen und fuͤr manche andere Zweige der Industrie auch immer sind, so fehlt uns doch noch eine Reihe genauer Versuche uͤber die Wirkungen und Gegenwirkungen des Hauens und Schneidens: einer Operation, die nicht bloß in einer Menge von Kuͤnsten und Gewerben, sondern vorzuͤglich in der großen Kunst des Krieges von sehr hoher Wichtigkeit ist. Es fehlen uns hieruͤber so zu sagen noch die ersten Rudimente, und außer einer sehr oberflaͤchlichen Saͤbelprobe haben unsere Techniker und Physiker in dieser Hinsicht noch sehr wenig geliefert. Bekanntlich ist ein einige Zoll breiter Streif Kartenpapier, auf die Kante gestellt, im Stande mehrere Pfunde zu tragen ohne sich zu biegen, waͤhrend er sich, nach seiner Breite gelegt, unter der Last eines halben Quentchens in einen großen Bogen beugt. Er scheint also, so wie alle Parallelopipede, nach der Kante am staͤrksten zu seyn. Indessen wird man ihn mit einem mittelmaͤßigen Messer nach der Kante leicht durchschneiden, mit einem mittelmaͤßigen Saͤbel nach der Kante leicht durchhauen koͤnnen, waͤhrend man ihn nach der Breite mit dem besten Messer und dem besten Saͤbel nur langsam durchschneiden und mit Muͤhe durchhauen wird. Eine mathematische Erklaͤrung dieses Phaͤnomenes ist noch nicht gegeben, und die Theorie des Keiles auf Messer und Saͤbel, gerade und krumm, senkrecht und unter bestimmten Winkeln, unter verschiedenem Gewichte (Druke, Kraft) und unter verschiedenen Geschwindigkeiten angewendet, ist noch immer ohne die nothwendigen Versuche geblieben.A. d. Ue.