LXXIII. Berechnung des dynamischen Effectes des durch Expansion wirkenden Dampfes. Von Gustav Bernoulli in Basel. Mit Abbildungen auf Tab. VI. Bernoulli, Berechnung des dynamischen Effectes durch Expansion. Bei den Maschinen, welche ohne Expansion arbeiten, tritt der Dampf fortwaͤhrend bald von Oben, bald von Unten in den Dampfcylinder ein, und es braucht daher, um einen einfachen Kolbenzug zu bewirken, ein Volumen Dampfes, welches gleich ist dem Volumen eines Cylinders, dessen Basis diejenige des Dampfcylinders und dessen Hoͤhe die Kolbenhubshoͤhe ist. Bei den Expansionsmaschinen hingegen fuͤllt der Dampf bei jedem Kolbenzuge nur eine Portion des Dampfcylinders aus, und es wird alsdann die Communication des Cylinders und des Dampfkessels durch irgend eine Vorrichtung unterbrochen, welche jedoch den Ausgang des Dampfes, dessen Wirkung bereits vollendet ist, aus dem Dampfcylinder fortwaͤhrend gestattet. Der Dampf wirkt also nur waͤhrend eines gewissen Theiles der Zeit, welche der Kolben braucht, um die ganze Hubslaͤnge zu durchstreichen, mit seiner anfaͤnglichen Pression, dehnt sich aber dann vermoͤge seiner expandirenden Kraft aus, und fuͤllt zulezt den ganzen Dampfcylinder an. Waͤhrend dieß geschieht, wirkt derselbe noch fortwaͤhrend auf den Kolben, jedoch mit einer Pression, welche sich mit der Zunahme seines Volumens immer mehr und mehr vermindert. Bei Maschinen, welche mit zwei Dampfcylindern versehen sind, wirkt der Dampf in einem derselben bestaͤndig mit seiner anfaͤnglichen Pression, tritt aber, nachdem er den Kolben desselben die ganze Hubslaͤnge hindurch getrieben hat, in einen zweiten viel groͤßeren Cylinder, wo er sich ausdehnt, und noch mit einer immer abnehmenden Pression auf den darin befindlichen Kolben wirkt. Indem man eine gewisse Quantitaͤt Dampfes auf diese oder jene Weise durch Expansion wirken laͤßt, kann man hiemit den Effect derselben bedeutend vergroͤßern, was aus folgenden Berechnungen derselben deutlich ersehen werden kann. Es sey AB (Fig. 43) die Laͤnge des Dampfcylinders, oder vielmehr die Hubslaͤnge des Kolbens, und es werde die Pression des hineinstroͤmenden Dampfes durch die Linie AC ausgedruͤkt. Laͤßt man nun Dampf in den Cylinder einstroͤmen, doch nur von A bis d, und schließt alsdann die Communication der Dampfroͤhre mit dem Cylinder, so wird dieser Dampf, waͤhrend er den Kolben von A nach d treibt, einen dynamischen Effect hervorbringen, der durch den Flaͤcheninhalt des Parallelogrammes Add'C ausgedruͤkt werden kann, und daher = Ad × AC ist. Laͤßt man nun diesen Dampf, ohne eine neue Quantitaͤt hineinstroͤmen zu lassen, noch fernerhin auf den Kolben wirken, so wird derselbe in dem Punkte e, wenn Ad = de ist, nur noch eine halb so große Pression besizen, da sein Volumen das Doppelte geworden ist, und dieselbe hiemit durch ee' = 1/2 AC ausgedruͤkt werden. Der dynamische Effect, welchen er auf den Kolben ausuͤbt, waͤhrend der, selbe von d bis e gestoßen wird, kann daher durch den Inhalt der trapezfoͤrmigen Figur dd'e'e bezeichnet werden. Eben so wird der Dampf durch dreifache Expansion, d.h. indem er ein drei Mal so großes Volumen einnimmt, als sein anfaͤngliches war, auf den Kolben, waͤhrend derselbe von e nach f fortschreitet (wenn ef = Ad), einen dynamischen Effect hervorbringen, der dem Inhalte der Figur ee'ff' gleichgesezt werden kann, deren Seite ff' = 1/3 AC ist, und der totale dynamische Effect dieser Quantitaͤt Dampfes durch dreifache Expansion durch den Inhalt der Figur ACd'e'f'fA ausgedruͤkt werden. Es fraͤgt sich daher zuerst, wie der Inhalt einer solchen Figur, deren eine Seite Cd'e'f' aus einer krummen Linie besteht, berechnet werden kann.Da dieses von Hrn. Poncelet angegebene approximative Verfahren in allen Faͤllen mit Vortheil angewendet werden kann, wo man den Flaͤcheninhalt einer von Curven eingeschlossenen Figur zu berechnen hat, und da dasselbe meines Wissens noch nirgends anders als in seinem Traité de mécanique beschrieben worden ist, so wird es nicht uͤberfluͤssig seyn, dasselbe hier gaͤnzlich auseinander zu sezen. Theilt man die Basis ag (Fig. 44) einer solchen Figur in eine gerade Anzahl gleicher Theile, z.B. in sechs, zieht aus den Theilungspunkten die Ordinaten bb', cc', dd' etc., und betrachtet die auf diese Weise erhaltenen Flaͤchen als Trapezoide, so wird der Flaͤcheninhalt der Figur aa'c'c oder S = ½ ab (aa' + bb') + ½ bc (bb' + cc') seyn oder da ab = bc ist, S = ½ ab (aa' + 2bb' + cc') theilt man die Linie ac in drei gleiche Theile und zieht aus den erhaltenen Theilungspunkten die Ordinaten nn' und mm', so wird der naͤmliche Flaͤcheninhalt ebenfalls wie folgt ausgedruͤkt werden koͤnnen. S = ½ an (aa' + 2nn' + 2mm' + cc'.) Da aber an = ⅓ ac ist, so ist auch ½ an = ⅓ ab; ferner ist, da nb = mb ist, bb' = ½ (nn' + mm') und 4bb' = 2 (nn' + mm'). Fuͤhrt man diese Werthe in die Gleichung ein, so erhaͤlt man S = ⅓ ab (aa' + 4 bb' + cc'.) Auf gleiche Weise findet man, daß der Flaͤcheninhalt der Figur cc'd'e'ec oder S' = ⅓ ab (cc' + 4 dd' + ee') und der Flaͤcheninhalt der Figur ee'f'g'ge oder S'' = ⅓ ab (ee' + 4 ff' + gg') sey. Es ist hiemit der Inhalt der ganzen Figur: Z = ⅓ ab (aa' + gg' + 2 (cc' + ee') + 4 (bb' + dd' + ff')) um also den Flaͤcheninhalt einer solchen Figur zu berechnen, hat man nur deren Basis in eine gerade Anzahl gleicher Theile zu theilen. Derselbe wird alsdann gleich dem Drittel des Productes eines solchen Theiles und der Summe der aͤußersten Ordinaten vermehrt mit der doppelten Summe der uͤbrigen Ordinaten von ungeradem Range, und der vierfachen Summe der Ordinaten von geradem Range seyn.Sind die beiden geraden Seiten aa' und gg' weder zu einander parallel noch senkrecht auf die Abscissenlinie ag (Fig. 45), so verlaͤngere man dieselbe und ziehe von den beiden aͤußersten Punkten der Curve die Ordinaten a'm und g'n, theile die erhaltene Abscisse mn in eine gerade Anzahl gleicher Theile ein und verfahre wie vorhin. Man erhaͤlt auf diese Weise den Flaͤcheninhalt der Figur m'a'd'g'n. Fallen nun die beiden Ordinaten a'm und g'n innerhalb des gegebenen Raumes, so sind die Flaͤcheninhalte der durch die Seiten desselben und die Huͤlfsordinaten gebildeten Dreieke aa'm und gg'n zu dem erhaltenen Flaͤcheninhalte zu addiren; fallen diese Ordinaten aber außerhalb des gegebenen Raumes (wie es die Figur zeigt), so sind die Flaͤcheninhalte der gebildeten Dreieke davon abzuzaͤhlen; und man erhaͤlt alsdann den wirklichen Inhalt der gegebenen Flaͤche.Ist die gegebene Flaͤche von lauter Curven (Fig. 46) eingeschlossen, so theile man dieselbe durch irgend eine Linie in zwei Theile und berechne dann jeden dieser Theile besonders. Laßt uns nun diese Berechnungsart auf die Bestimmung des Inhaltes der Figur anwenden, welche den dynamischen Effect des durch Expansion wirkenden Dampfes ausdruͤken kann. Nehmen wir als Beispiel einen Dampf von zwei Atmosphaͤren an, dessen Druk hiemit = 20660 Kilogr. auf den Quadratmeter (ungefaͤhr 30 Pfd. auf den Quadratzoll) ist, und lassen wir diesen Dampf in den Cylinder von A bis auf die Hoͤhe von d (Fig. 47) einstroͤmen, so wird derselbe in dem Punkte e, wo er alsdann ein doppeltes Volumen hat, nur noch eine halb so große Tension oder 10330 Kilogr. auf den Quadratmeter, in dem Punkte f hingegen nur 6886 2/3 Kilogr. haben. Druͤkt man daher die anfaͤngliche Tension oder dd' durch 20660 Kilogr. aus, so wird: e e' = 10330    Kilogr. ff' =   6886 2/3 – g g' =   5165       – h h' =   4132       – ii' =   3443 1/3 – B B' =   2951 3/7 – seyn. Der Inhalt dieser Figur, welche den dynamischen Effect dieser Menge Dampfes durch siebenfache Expansion ausdruͤkt, ist daher = (Ad + Ac) + ⅓ Ad (dd' + BB' + 2 (ff' + hh') + 4 (ee' + gg' + ii')) = Ad × 20660 + ⅓ Ad (60220 + 2951 3/7 + 2 (6886 ⅔ + 4132) + 4 (10330 + 5165 + 3443 ⅓)) = Ad (20660 + ⅓ × 121402 2/21) = 61027 Kilogr. × Ad. Dieser Ausdruk des Flaͤcheninhaltes der Figur ACd'B'BA ist begreiflicher Weise etwas zu groß, da wir angenommen haben, daß sie aus lauter Trapezoiden bestehen, und daß daher d'e', e'f' gerade Linien seyen, welche in der Wirklichkeit concave Linien sind. Je groͤßer hingegen die gerade Anzahl gleicher Theile ist, in welche man die Linie AB eintheilt, desto genauer wird der Flaͤcheninhalt der gegebenen Figur ausgedruͤkt werden. Laßt uns z.B. die Linie AB in eine doppelte Anzahl, hiemit in 14 gleiche Theile theilen. Man erhaͤlt alsdann noch folgende Ordinaten: mm = 2/3 × 20660 = 13773 1/3 nn' = 2/3 – = 8264 oo' = 2/7 – = 5902 6/7 pp' = 2/9 – = 4591 1/9 qq' = 2/11 – = 3756 4/11 rr' = 2/13 – = 3178 6/13 und folgenden Flaͤcheninhalt der Figur: S = Ad × 20660 + ⅙ Ad (20660 + 2951 2/7 + 2 (10330 + 6886 ⅔ + 5165 + 4132 + 3443 ⅓) + 4 (13773 ⅓ + 8264 + 5902 6/7 + 4591 1/9 + 3756 4/11 + 3178 6/13)) = Ad × 20660 + ⅙ Ad (23611 3/7 + 59914 + 157864 ½) = Ad (20660 + ⅙ × 241389 13/14) = Ad × 60891 Kilogr. Wuͤrde man endlich die Linie AB in eine noch groͤßere Anzahl gleicher Theile eintheilen, so wuͤrde man sich immer mehr dem wirklichen Ausdruke naͤhern. Man findet alsdann ungefaͤhr folgenden: S = Ad × 60862 Kilogr. Da nun 60862 Kilogr. den Gesammtdruk des Dampfes auf 1 Quadratmeter Oberflaͤche bedeutet, so erhaͤlt man, wenn wir Ad = 1 Meter annehmen: S = 60862 Kilogramm-Meter, welches der dynamische Effect ist, den 1 Kubikmeter Dampf von 2 Atmosphaͤren durch siebenfache Expansion hervorbringt. Auf gleiche Weise hat Poncelet folgende Werthe fuͤr die dynamischen Effecte berechnet, welche 1 Kubikmeter Dampf von 1 Atmosphaͤre Tension durch eine mehr oder weniger große Expansion hervorbringt.    Volumen   nach der Ausdehnung. Dynamischer   Effect in  Kubikmeter.    Volumen   nach derAusdehnung. Dynamischer   Effect inKubikmeter.      1,00      10330      5,75     28339      1,25      12635      6,00     28839      1,50      14518      6,25     29261      1,75      16111      6,50     29665      2,00      17490      6,75     30055      2,25      18707      7,00     30431      2,50      19795      7,25     30794      2,75      20780      7,50     31144      3,00      21679      7,75     31483      3,25      22506      8,00     31811      3,50      23271      8,25     32129      3,75      23984      8,50     32437      4,00      24650      8,75     32736      4,25      25277      9,00     33027      4,50      25867      9,25     33310      4,75      26426      9,50     33585      5,00      26955      9,75     33854      5,25      27459    10,00     34116      5,50      27940 Da nun die dynamischen Effecte zweier Gasarten, welche man um die naͤmliche Portion ihres anfaͤnglichen Volumens ausdehnen laͤßt, sich zu einander verhalten, wie die Producte ihrer Tensionen in ihre Quantitaͤten, so hat man, um den Effect irgend einer Quantitaͤt Dampfes von einer gegebenen Tension zu wissen, nur den der naͤmlichen Ausdehnung entsprechenden Effect in der vorstehenden Tabelle aufzusuchen, und denselben mit dem Producte der gegebenen Quantitaͤt und Tension zu vervielfachen. Beispiel: Wie viel betraͤgt der dynamische Effect von 1 Kubikmeter Dampf von 4 Atmosphaͤren, welcher mit fuͤnffacher Expansion wirkt? Antwort: Derjenige von 1 Atm. betraͤgt 26955 Kil. Meter, derjenige von 4 Atm. hiemit 4 × 26955 = 107820 Kil. Meter. Theoretisches Verfahren, um diesen dynamischen Effect zu berechnen.Gleichung der Expansionscurve. Druͤkt a den Druk aus, welchen der vollwirkende Dampf auf 1 Quadratmeter Section des Kolbens ausuͤben kann, b die Hoͤhe, bis zu welcher man den Dampf in den Cylinder AB (Fig. 48) einstroͤmen laͤßt, so stellt der Flaͤcheninhalt der Figur ABCDE, welche einerseits von einer geraden Linie, andrerseits von der Expansionscurve eingeschlossen ist, den dynamischen Effect des durch Expansion wirkenden Dampfes aus. Diese Curve hat folgende correspondirende Abscissen und Ordinaten: Abscissen.           Ordinaten. x =   b y = a x' = 2b y' = a/2 x'' = 3b y'' = a/3 x''' = 4b y''' = a/4 etc. Die Gleichung dieser Curve ist daher folgende vom ersten Grade: y = ab/x. Dann sezt man z.B. x = 4b, so wird y = ab/4b = a/4. Ist x = o, so wird y unendlich, und ist y = o, so wird x unendlich; daher diese Curve keine geschlossene ist, und niemals die Abscissenlinie erreicht, obschon sie sich derselben immer mehr und mehr naͤhert. Flaͤcheninhalt dieser Curve. Es sey AD (Fig. 49) unendlich nahe bei BC, so ist DC das Differential von FD und daher DC = d (FD) = d (x). Es kann ferner AD = BC und die Figur ABCD hiemit als ein Parallelogramm angenommen werden, dessen eine Seite AD = y und dessen andere Seite = DC = d (x) ist. Der Flaͤcheninhalt derselben ist daher = y. d (x). Derselbe ist aber auch, da er unendlich klein ist, im Verhaͤltnisse zu demjenigen der Figur AMFD, das Differential desselben, daher         y. d (x) = d (AMFD) = d (v) und hiemit v = S (y . d(x)). Dieß ist die allgemeine Gleichung, vermittelst welcher man den Flaͤcheninhalt einer jeden Curve berechnen kann. Vereinigt man nun diese Gleichung mit derjenigen, welche der Expansionscurve angehoͤrt, oder mit y = ab/x, so erhaͤlt man: Textabbildung Bd. 47, S. 407 Ersezt man diesen Nepperschen Logarithmus durch denjenigen, dessen Basis = 10 ist, so erhaͤlt man: v = ab. 2,30 . lg (x). Dieser Werth druͤkt allein den dynamischen Effect aus, welchen der Dampf durch seine Expansion producirt. Es muß zu demselben noch derjenige gezaͤhlt werden, welchen der Dampf ohne Expansion auf den Kolben ausuͤbt, und welcher durch den Flaͤcheninhalt des Parallelogrammes EFMG ausgeuͤbt werden kann. Derselbe ist aber = EF × EF = ab. Es ist daher der totale dynamische Effect oder: V = ab + ab. 2,3 . lg (x)     = ab (1 + 2,3 . lg (x)), Sezt man b = 1 Meter, so erhaͤlt man: V' = a (1 + 2,3 . lg (x)), welches, da a den Druk des Dampfes auf 1 Quadratmeter Section bezeichnet, den dynamischen Effect von 1 Kubikmeter Dampfes angibt, und wo x das Verhaͤltniß des anfaͤnglichen Volumens zum expandirten Volumen des Dampfes bedeutet. Wuͤrde man diesen Werth mit dem Gewichte P von 1 Kubikmeter solchen Dampfes, dessen Pression = a ist, vervielfachen, so erhaͤlt man den dynamischen Effect von 1 Kil. Dampf, oder: V'' = Pa (1 + 2,3 . lg (x)).Dieß ist auch die Formel, auf welche Fourier und Dufour durch ihre Berechnungen gekommen sind. Vermittelst dieser Formeln ist folgende Tabelle fuͤr Dampf von 1 Atm. Druk berechnet worden, deren Werthe von denjenigen, welche Poncelet durch das praktische Verfahren gefunden hat, nur sehr wenig verschieden sind. Textabbildung Bd. 47, S. 408 Werthe von x oder Volumen des Dampfes nach des Ausdehnung; Werth von 1 + 2,50 . lg (x); Werth von V'; Werth von V'' Beispiel. Es sey der Diameter des Kolbens = 0m,4 so ist seine Section = 0,7854 × (0m,4)² = 0,12566 Quadratmeter. Stroͤmt nun der Dampf in den Cylinder bis auf die Hoͤhe von 0m,32, so wird das Volumen des bei jedem Kolbenzuge hineingestroͤmten Dampfes = 0m,32 × 0,12566 = 0,0402125 Kubikmeter seyn, und betraͤgt die Hubslaͤnge 1m,44, so wird der Dampf eine 1m,44/0m,32 = 4 1/2fache Expansion erleiden. Fuͤr diese Ausdehnung gibt die Colonne III der obigen Tabelle fuͤr den Effect von 1 Kubikmeter Dampf von 1 Atmosphaͤre anfaͤnglicher Tension, 25850 Kil. Mtr. und fuͤr denjenigen hiemit von 0,0402125 Kubikmeter, 25850 × 0,0402125 = 1039,5 Kil. Mtr. an. Betraͤgt nun die Tension des Dampfes 3 1/2 Atmosphaͤren, so wird derselbe = 3 1/2 × 1039,5 = 3638 Kil. Mtr. seyn. Geschehen endlich 15 doppele Kolbenzuͤge per Min., so ist der theoretische Effect dieser Maschine per Secunde = (3638 × 2 × 15)/60 = 1819 Kil. Mtr. = 24 Pferdekraͤfte. Nehmen wir nun an, der Dampf stroͤme fortwaͤhrend in den Dampfcylinder, und es habe also keine Expansion Statt, so wuͤrde zwar bei jedem einfachen Kolbenzuge ein Effekt von 36150k × 0m,12566 × 1m,44 = 6541 Kil. Mtr. hervorgebracht werden, welcher fast doppelt so groß als ersterer waͤre; dazu wuͤrde eben auch ein 4 1/2 Mal so großes Volumen Dampfes und hiemit auch eine 4 1/2fache Menge Brennmateriales erfordert werden. Da aber die Wirksamkeit einer Maschine nicht nach dem absoluten Effecte, welchen dieselbe hervorbringen kann, sondern nach demjenigen geschaͤzt wird, welchen eine gewisse Quantitaͤt Dampfes oder Brennmateriales erzeugt, so folgt hieraus, wie groß der Nuzen ist, den man aus der Expansion des Dampfes ziehen kann. Je groͤßer diese leztere ist, desto groͤßer wird auch der hervorgebrachte Effect einer gegebenen Quantitaͤt Dampfes seyn. Indessen sieht man doch aus vorstehenden Tabellen, daß man eigentlich nur betraͤchtlichen Vortheil hat, wenn man den Dampf mit geringer Expansion arbeiten laͤßt. Der Dampf wird z.B. bei 2 3/4facher Expansion ungefaͤhr den doppelten dynamischen Effect hervorbringen, als wenn er ohne Expansion wirkte. Um hingegen einen dreifachen Effect hervorzubringen, bedarf es schon einer siebenfachen, und fuͤr einen vierfachen wuͤrde ungefaͤhr eine zwanzigfache Ausdehnung erfordert werden. Eine solche Expansion kann aber, wie aus den folgenden Betrachtungen zu ersehen ist, nur dann ohne Nachtheil Statt finden, wenn man Dampf von sehr hoher Tension verwendet. Die Expansion des Dampfes kann naͤmlich natuͤrlicher Weise nur so weit mit Vortheil getrieben werden, bis der Gegendruk, den der Kolben erleidet, dem Druke des Dampfes am Ende seiner Ausdehnung gleichkommt. Uebertrifft jener denselben sogar, so kann die weitere Fortbewegung des Kolbens nur auf Kosten der schon erhaltenen Wirkung noch Statt haben. Die Versuche mangeln, um diesen Gegendruk gehoͤrig angeben zu koͤnnen (Tretgold's Angaben sind fast die einzigen, und auch diese scheinen ziemlich unzuverlaͤssig zu seyn); das Verhaͤltniß desselben zum anfaͤnglichen Dampfdruke wuͤrde die Zahl angeben, um wie viel Mal der Dampf hoͤchstens ausgedehnt werden koͤnne, damit kein Nachtheil entstehe. Immerhin ist es offenbar, daß der Dampf in Maschinen mit Condensation eine mehrfache Expansion erleiden darf als in solchen ohne Condensation; denn anstatt des Gegendrukes (1k,033 auf den Quadratcentimeter), welcher bei lezteren durch den Druk der atmosphaͤrischen Luft entsteht, kommt bei ersteren nur derjenige weit kleinere (0k,15 auf den Quadratcentimeter) in Rechnung, welchen die Unvollkommenheit der Condensation veranlaßt. Die andere Portion des Gegendrukes, welcher von der Kolbenreibung, von der Abkuͤhlung des Dampfes im Cylinder und in den Dampfroͤhren, den verschiedenen Dampfverlusten und von anderen Ursachen herruͤhrt, ist hingegen in beiden Faͤllen gleich groß. Poncelet gibt den Nuzeffect bei Expansionsmaschinen mit einem einzigen Cylinder zu 55/100 des auf obige Weise berechneten dynamischen Effectes an. Da die Abkuͤhlung des Dampfes, so wie die Kolbenreibung bei Maschinen mit zwei Dampfcylindern groͤßer ist, als bei ersteren, so betraͤgt der Nuzeffect nur 50/100 des dynamischen Effectes fuͤr die staͤrksten Maschinen, 45/100 fuͤr diejenigen von der Kraft von 10–12 Pferden, und 40/100 fuͤr noch schwaͤchere. Ungeachtet dieses Vortheiles, welchen die ersteren in Bezug auf den Nuzeffect haben, werden doch sehr oft die Maschinen mit zwei Cylindern denselben wegen ihrer regelmaͤßigern Bewegung vorgezogen. Außerdem koͤnnten die Maschinen mit einem einzigen Cylinder fast gar nicht angewendet werden, in dem Falle, wo man dem Dampf eine vielfache Expansion erleiden lassen will, da alsdann der Zufluß des Dampfes in das Steuerungsgehaͤuse aͤußerst schnell eroͤffnet und wieder abgesperrt werden muͤßte.