XIX. Ueber einen verbesserten Centrifugal-Regulator von J. Geiger in Lille und einige andere Verbesserungsvorschläge zu demselben Mechanismus; von G. Decher. Mit Abbildungen auf Tab. II. Decher, über Geiger's verbesserten Centrifugal-Regulator und einige andere Verbesserungsvorschläge zu derselben Mechanismus. I. Es ist längst erkannt worden, daß der einfache Centrifugal-Regulator, dessen Kugeln sich in Bezug auf die verticale Umdrehungsachse in festen Kreisen bewegen, nicht geeignet ist, die an ihn gestellte Forderung, die Geschwindigkeit einer Dampfmaschine und der von ihr in Bewegung gesetzten Arbeitsmaschinen auf einer normalen Größe zu erhalten, mit hinreichender Annäherung zu erfüllen, weil bei wachsender oder abnehmender Arbeit auch die Arbeit des Dampfes vermehrt oder vermindert werden muß, wenn die Geschwindigkeit der Maschine dieselbe bleiben soll, und weil diese Aenderung der Dampf-Arbeit eine Aenderung in der Stellung der Dampfzulassungsklappe (des sogenannten Drosselventils)Besser, weil ökonomischer im Verbrauch des Dampfes, welcher besonders am Anfang des Kolbenhubes nur bei vollständiger Oeffnung der Klappe seine größte Wirksamkeit äußern kann, wäre eine Aenderung in der Stellung des veränderlichen Expansionsschiebers, die aber allerdings eine größere Kraft von Seite des Regulators in Anspruch nähme, als die Drehung der Drosselklappe., folglich auch eine Aenderung in der Ausweichung der Regulator-Kugeln bedingt, während bei dem einfachen Centrifugal-Regulator einer anderen Ausweichung der Kugeln auch eine andere Umdrehungsgeschwindigkeit für den Beharrungszustand entspricht. Denn bewegen sich die Kugeln K des Regulators Fig. 1 in Kreisen um C, so kann der Beharrungszustand nur eintreten, wenn die Resultirende N aus dem verticalwirkenden Gewicht P und dem horizontalwirkenden Bewegungsdruck F mit der Verlängerung des Halbmessers CK zusammenfällt, wenn man also hat: F = P tang ϑ. Es ist aber, wenn φ die Winkelgeschwindigkeit des Regulators um die verticale Drehungsachse AC, a den Halbmesser CK und g die Beschleunigung des freien Falles bezeichnet, F = P/g a φ² sin ϑ, folglich a/g φ² cos ϑ – 1 = 0      (1) die Bedingungsgleichung für den Beharrungszustand des Regulators. Diese Gleichung setzt zwischen der Ausweichung ϑ und der Winkelgeschwindigkeit φ eine einzige nothwendige Beziehung fest, und nach dieser entspricht einem anderen Werth von ϑ ein anderer von φ, also einer anderen Stellung der Kugeln nothwendig auch eine andere Umdrehungsgeschwindigkeit. Um die Aenderung oder den Fehler in der Umdrehungsgeschwindigkeit zu berechnen, welcher durch eine andere Stellung der Kugeln veranlaßt wird, sey α der Werth von ϑ, welcher in Gleichung (1) der normalen Geschwindigkeit φ entspricht, und φ + Δφ die Umdrehungsgeschwindigkeit für irgend eine andere Ausweichung ϑ; man hat dann nach (1) a/g φ² cos α – 1 = 0 und a/g (φ + Δφ)² cos ϑ – 1 = 0,      (2) und daraus folgt sofort Textabbildung Bd. 187, S. 90 Tritt demnach bei der Ausweichung ϑ = α ± δ ein neuer Beharrungszustand ein, so ergibt sich für diesen ein relativer Fehler: Textabbildung Bd. 187, S. 90 in der Umdrehungsgeschwindigkeit, welcher für + δ oder die größere Ausweichung der Kugeln positiv, für – δ oder die kleinere Ausweichung negativ ist. Für α = 30° und δ = ± 10° z.B. hat man Textabbildung Bd. 187, S. 90 im ersten Falle also eine um 6 1/3 Proc. zu große, im zweiten eine um 4 Proc. zu kleine Umdrehungsgeschwindigkeit. Die Verschiedenheit der absoluten Größe dieser Fehler für gleiche, aber positive und negative Abweichung von der normalen Lage hängt mit einem ähnlichen Unterschied in der Größe der Verschiebung der Hülse D zusammen, von welcher eigentlich die Stellung der Dampfklappe regulirt wird; denn nimmt man das Knie CED Fig. 1 gleichschenkelig an, und bezeichnet die Länge der Stelze ED = CE mit b, die Verschiebung DD' mit z, so ist z = 2b (cos α – cos ϑ) = 2b (cos α – cos (α ± δ)), und für die obigen Werthe von δ ergibt sich z = + 0,200 b und z = – 0,147 b; wenn die negative Verschiebung so groß werden sollte als die positive, so müßten die Regulatorkugeln auf 15° zusammenfallen, oder um 15° aus der normalen Lage zurückgehen; damit würde dann der entsprechende Geschwindigkeitsfehler Δφ/φ auf 0,0532 oder 5 1/3 Proc. steigen. Aus diesen Beispielen ersieht man zugleich, wie der Fehler in der Umdrehungsgeschwindigkeit mit der Abweichung δ aus der normalen Lage wesentlich kleiner wird. Man könnte deßhalb die Grenzen für diese Abweichung δ allerdings so eng ziehen, daß die Geschwindigkeit der Arbeitsmaschinen, welche für keine Art von Arbeit so sicher und nothwendig bestimmt ist, daß sie nicht die geringste Aenderung erleiden dürfte, sich nur innerhalb zulässiger Grenzen ändern könnte; dadurch würde aber auch die Verschiebung der Hülse D ohne eine übermäßige Vergrößerung des Regulators sehr klein ausfallen, und die Widerstände, welche sich der Uebertragung der Bewegung der Hülse auf die Drosselklappe entgegenstellen, würden wesentlich vergrößert, weil diese letztere auch für jene kleine Abweichungen δ immer eine Drehung von 90° machen muß; der ganze Regulirungsapparat würde deßhalb auch weniger empfindlich, d.h. es bedürfte doch wieder größerer Geschwindigkeitsänderungen, um jene Widerstände zu überwinden. Soll demnach den Anforderungen an den Centrifugal-Regulator vollständig Genüge geleistet werden, so muß er so umgeändert werden, daß die Bedingungsgleichung für seinen Beharrungszustand außer der Winkelgeschwindigkeit φ wenigstens noch zwei Veränderliche enthält, die unter sich in einer besonderen Beziehung stehen, so daß jene Bedingungsgleichung für dasselbe φ durch verschiedene Werthe der beiden anderen Veränderlichen befriedigt werden kann. II. Die natürlichste und vom theoretischen Standpunkt wenigstens einfachste Lösung der Aufgabe, einen genauen Centrifugal-Regulator herzustellen, besteht offenbar darin, die Curve zu suchen, in welcher sich die Mittelpunkte der Regulatorkugeln bewegen müssen, damit für jede Lage derselben der Beharrungszustand für die normale Winkelgeschwindigkeit φ statthaben kann. Diese Curve ist die gemeine Parabel; denn bewegt sich der Mittelpunkt K einer Kugel des Regulators Fig. 2 statt in dem Kreise ab um C in der Curve AB (wozu dann C verschiebbar werden müßte), so muß nun für den Beharrungszustand derselben die Resultirende aus dem Gewichte P und dem Bewegungsdruck F normal zu dieser Curve seyn: bezeichnet also τ den Winkel zwischen der Tangente an derselben in K und der verticalen Achse AC, so hat man F tang τ = P, und daraus folgt, wenn AC als x-Achse genommen wird, womit sich a sin ϑ = y, F = P/g y φ², tang τ = dy/dx ergibt, die Differentialgleichung der gesuchten Curve: φ²y dy/dx = g; die Gleichung dieser Curve selbst ist demnach y² = 2g/φ²,      (3) d. i. die einer Parabel mit dem Parameter p = g/φ². Den nach dieser Curve benannten parabolischen Centrifugal-Regulator hat in Deutschland zuerst Franke in Vorschlag gebracht und ausgeführt (polytechn. Journal, 1848, Bd. CVIII S. 321); seine Construction desselben dürfte jedoch kaum eine glückliche zu nennen seyn, sie scheint sich wenigstens bis jetzt bei den Maschinenbauern keiner besonderen Gunst erfreut zu haben. Ob daher die Construction, welche ich weiter unten in Vorschlag bringen werde, trotz ihrer Einfachheit und sonstigen praktischen Vorzüge vor anderen Verbesserungen des einfachen Centrifugal-Regulators mehr Glück haben wird, muß einstweilen dahin, gestellt bleiben. III. In Frankreich scheint man sich mehr der Ansicht zuzuneigen, daß der Centrifugal-Regulator mit festen Drehungspunkten beizubehalten und bezüglich seiner Wirkung durch Einführung einer neuen, veränderlichen Kraft, z.B. eines veränderlich wirkenden Gewichtes oder einer Feder, zu verbessern sey. Eine derartige Verbesserung ist die von Hrn. J. Geiger in Lille ausgeführte, welche im Bulletin de la Société industrielle de Mulhouse, t. XXXVII p. 390 (September 1867) mitgetheilt wird. Diese Construction besteht in einem Hebel L, Fig. 12, welcher sich um einen festen Punkt F dreht und mittelst der verticalen (?) verstellbaren Stelze T, mit welcher er durch ein Gelenk m verbunden ist, auf die (in der Achse der verticalen Welle herabgehende) Schieberstange R und die bewegliche Hülse M eines gewöhnlichen Centrifugal-Regulators drückt. Auf diesem Hebel L ist ein Bogen C von Flacheisen, in der Mitte seiner Breite mit einer aufwärts vorspringenden Rippe versehen, aufgeschraubt, und auf dieser stützt sich ein bewegliches Gewicht G in der Form eines Cylinders mit gewölbten Boden, in dessen Mantelfläche eine jener Rippe entsprechende Nuth eingedreht ist, und welcher daher auf dem Bogen C von einer mittleren Lage aus vor- oder rückwärts rollt, je nachdem die Hülse M sinkt oder steigt. An der Welle K, welche durch den Hebel H mit der Schieberstange R, durch den J mit der Dampfklappe in Verbindung steht und auf diese die Bewegung der Regulatorhülse M überträgt, ist noch ein dritter Hebel N angebracht, und auf diesem ein verschiebbares Gegengewicht P gegen den Läufer G mittelst einer Stellschraube befestigt. Nach dieser Beschreibung und der beigegebenen Zeichnung wird man die Wirkung des so verbesserten Regulators leicht erkennen. Wenn der Widerstand der Arbeitsmaschine wächst und in Folge dessen die Umdrehungsgeschwindigkeit des Regulators abnimmt, so sinken die Kugeln und die Hülse M, die Dampfklappe öffnet sich und die dadurch vergrößerte Arbeit des Dampfes strebt wieder die Geschwindigkeit der Maschine und des Regulators zu beschleunigen; mit dem Sinken der Hülse M neigt sich aber zugleich der Hebel L abwärts, der Läufer G rollt vorwärts und übt nun einen größeren Druck auf M aus als vorher, und zwar, wenn der Bogen C richtig gekrümmt ist, einen solchen, daß die Kugeln sich erst wieder heben können, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit größer als die normale geworden. Ist dieses eingetreten, so schließt die sich hebende Hülse M die Dampfklappe, der Läufer G rollt zurück und wirkt nun zu Gunsten des Bewegungsdruckes und zum Nachtheil des Gewichtes der Schwungkugeln, und diese können erst wieder sinken, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit etwas kleiner als die normale geworden ist. Und so würde, wenn kein Widerstand gegen die Bewegung der Hülse und der Kugeln vorhanden wäre, bei einem constanten vermehrten Arbeitswiderstand die abwechselnd sinkende und steigende Bewegung der Hülse in immer kleiner werdenden Oscillationen fortdauern, bis die Kugeln des Regulators wieder bei der normalen Umdrehungsgeschwindigkeit einen Beharrungszustand erreicht haben, in welchem der Bewegungsdruck dem Gewicht der Kugeln und dem Druck des Läufers G auf die Hülse M das Gleichgewicht hält, diese Hülse aber einen tieferen Stand als den normalen einnimmt, und die Dampfklappe mehr geöffnet ist. Da aber jener Widerstand gegen die Bewegung der Hülfe wirklich vorhanden ist, so wird die wirkliche Umdrehungsgeschwindigkeit, mit welcher die Kugeln in einer constanten Lage gegen die verticale Umdrehungsachse verharren, um einen solchen Theil Δ'φ von der normalen φ abweichen, als nöthig ist um den betreffenden Widerstand zu überwinden, wie die Angabe einer zur Ruhe gekommenen Waage um so viel von dem richtigen Gewicht differiren wird, als man in der Gewichtsschale zulegen kann, ohne die Waage in Bewegung zu setzen. Wie es daher für eine gute Waage nicht genügt, daß sie in ihren Verhältnissen richtig construirt ist, so genügt es auch für einen guten Regulator nicht; dieser muß vielmehr wie jene einen gewissen Grad von Empfindlichkeit besitzen, d.h. durch eine hinreichend kleine Aenderung der Umdrehungsgeschwindigkeit von irgend einem Beharrungszustand aus in Bewegung gesetzt werden. IV. Was nun zuerst die richtige Construction des Geiger'schen Regulators betrifft, so beruht diese wesentlich auf der richtigen Krümmung der Bahn des Läufers G, und diese läßt sich leicht auf elementarem Wege finden (wie es Hr. Geiger wahrscheinlich bei den bereits ausgeführten Regulatoren gethan hat), indem man für angenommene Lagen der Kugeln den zur Herstellung des Beharrungszustandes nothwendigen Druck auf die Hülse M und daraus die entsprechende Lage des Läufers G auf dem entsprechend geneigten Hebel L berechnet; für jede solche Lage muß die Normale zur Bahn vertical seyn; werden dann alle diese Normalen auf die horizontale Lage des Hebels zurückgeführt, so läßt sich von ihren aufeinanderfolgenden Durchschnittspunkten aus der Bogen C leicht aus Kreisbogen zusammensetzen. Es bietet aber auch, wie ich sogleich zeigen werde, die mathematische Bestimmung der Gestalt des Bogens C unter einfachen Voraussetzungen keine besonderen Schwierigkeiten, und wenn die unserem Originalbericht beigefügte „Theorie des Geiger'schen Regulators“ nicht ganz glücklich ausgefallen ist, so liegt die Ursache darin, daß sich deren Verfasser (Hr. J. F. Hoppe) durch die Beschreibung und Zeichnung dieses Regulators zu einer falschen Annahme verleiten ließ, welche die mathematische Durchführung erschwerte. Nach jener Beschreibung und Zeichnung soll nämlich das bewegliche Ende des Hebels L mit dem verticalen Stab T durch einen Gelenkbolzen m verbunden seyn, sich also auch in einer Verticalen bewegen (was offenbar unmöglich ist) und demgemäß findet Hr. Hoppe für den Druck N des Läufers auf die Hülse M, wenn sein Gewicht = Q, der horizontale Abstand Ax' seines Schwerpunktes J Fig. 3 vom Drehungspunkt A des Hebels = x' und die Länge des letzteren = l ist, den Werth: N = Q x'/l' und für die Beziehung zwischen dem Neigungswinkel ζ des Hebels und der verticalen Verschiebung z der Hülse M die Gleichung: z = l tang ζ, welche sich aber mit dem Werthe von N auf keine Weise vereinigen läßt. Wenn der Drehungspunkt A des Hebels fest seyn soll, so muß die Verbindung seines beweglichen Endes mit der verticalen Stange T eine veränderliche seyn, entweder durch eine um einen Punkt in T bewegliche Stelze, oder so, daß sich ein cylindrischer Bolzen B des Hebels AB Fig. 3 in einem mit T verbundenen horizontalen Schlitze ab, oder ein solcher Bolzen D Fig. 4 der Stange T in einem Schlitze BC des Hebels ABC bewegt, oder so, daß die gezahnte Stange T, Fig. 5, in einen gezahnten Bogen CD am Ende des Hebels AB eingreift, u.s.f. Alle diese Verbindungsarten, und selbst die, bei welcher L und T durch einen gemeinschaftlichen Gelenkbolzen verbunden sind, wie in Fig. 12, wobei aber der Drehungspunkt F mit einer Stelze um einen anderen, festen Punkt beweglich ist, geben bei einer geringen Neigung des Hebels für die Sache selbst ziemlich unbedeutende, für die mathematische Theorie dagegen sehr erhebliche Unterschiede. Lassen wir die zuletzt genannte und die erste der vier vorher aufgezählten Verbindungsarten als die complicirteren für die Theorie bei Seite, und beschränken wir uns demnach auf die in den Figuren 3, 4 und 5 dargestellten Verbindungen zwischen AB und T, so haben wir folgende leicht abzuleitende, zusammengehörige Werthe, für Fig. 3: N = Q x'/l cos ζ,    z = l sin ζ, für Fig. 4: N = N₁ cos ζ = Q x'/l cos² ζ,    z = l tang ζ, und für Fig. 5: N = Q x'/l',    z = lζ, also je für N und z ganz verschiedene Formen, welche, wenn sie auch für kleine Werthe von ζ im Werthe nahe übereinstimmen, doch sehr verschiedene Gleichungen für die gesuchte Curve geben, und von denen kein Paar mit dem von Hrn. Hoppe angenommenen übereinstimmt. Außerdem sind aber in Betreff jener Beschreibung und der Theorie des Hrn. Hoppe noch folgende Bedenken zu erheben. Wenn in der Beschreibung des Geiger'schen Regulators, Fig. 12, das Gewicht P als ein Gegengewicht gegen den Läufer G angegeben wird, so wäre das doch eine sehr überflüssige Verschwendung schwerer Massen, die sicher nicht zur Vermehrung der Empfindlichkeit des Regulators beitragen würde, und es wäre doch gewiß einfacher, den Läufer um so viel leichter zu machen, daß das Gewicht P entbehrt werden könnte. Es kann daher dieses Gewicht P nur als Gegengewicht für den ganzen Steuerungs-Apparat der Drosselklappe aufgefaßt werden, dazu bestimmt, den Druck dieses Apparates auf die Hülfe M aufzuheben; aber selbst das wäre bei dem Geiger'schen Regulator nicht streng nothwendig. – Und wenn dann Hr. Hoppe mit P' „die Summe aller anderen Kräfte (außer dem Gewichte der Schwungkugeln und des Läufers G), welche die Hülse überwinden muß, um sich zu erheben,“ worunter also außer jenem Gegengewicht P der Reibungswiderstand zu verstehen ist, in die Bedingungsgleichung für den Beharrungszustand einführt, so ist dagegen einzuwenden, 1) daß der Reibungswiderstand für die steigende Bewegung der Hülse abwärts, für die sinkende aufwärts gerichtet ist, und deßhalb mit doppeltem Zeichen eingeführt werden müßte, und 2), daß es sich aber überhaupt nicht um eine steigende oder sinkende Bewegung der Hülse handeln kann, weil diese eine Aenderung der Umdrehungsgeschwindigkeit bedingt, sondern nur um den Beharrungszustand bei constanter Umdrehungsgeschwindigkeit, für welchen ein Reibungswiderstand eben so wenig in Betracht kommen kann, wie beim Gleichgewichtszustand der Waage. Dieser Reibungswiderstand ist dagegen sehr und hauptsächlich zu berücksichtigen, wenn die Empfindlichkeit des Regulators in Frage kommt, wie weiter unten gezeigt werden wird. V. Gehen wir nun für die theoretische Bestimmung der Bahn des Läufers der größern Einfachheit wegen von der Annahme aus, daß der Steuerungsapparat der Drosselklappe in's Gleichgewicht gesetzt seyWenn der Steuerungsapparat auf die Hülse D, Fig. 3, einen constanten Druck oder Zug P' ausübt, so ist in der nachfolgenden Gleichung (4) das constante Glied Pa durch Pa ± P'b zu ersetzen., im Beharrungszustand des Regulators also nur das Gewicht und der Bewegungsdruck der Schwungkugeln und das Gewicht des Läufers als wirksame Kräfte auftreten, und daß die Verbindung zwischen dem Hebel und der Stange T nach Fig. 3 hergestellt ist, und bezeichnen wir wie oben das Gewicht einer Schwungkugel mit P, das des Läufers mit Q, die Länge der Arme CK mit a, der Stelzen ED = CE mit b, des Hebels AB mit l, den Neigungswinkel des letzteren gegen die Horizontale AB' mit ζ, abwärts positiv, aufwärts negativ genommen, den Ausschlagwinkel der Arme CK mit ϑ, die normale Winkelgeschwindigkeit des Regulators mit φ, und den horizontalen Abstand der Achse J des Läufers oder seines Berührungspunktes m auf der Curve G'FG von dem festen Punkte A mit x', so haben wir folgende Werthe: 1) Druck des Läufers auf den Schlitz ab oder auf die bewegliche Hülse D: Textabbildung Bd. 187, S. 97 2) Moment dieses Druckes in Bezug auf C nach der Theorie des gleichschenkeligen Knie's: Textabbildung Bd. 187, S. 97 3) Moment der beiden Gewichte P in Bezug auf C: 2Pa sinϑ, 4) Moment des Bewegungsdruckes beider Kugeln: 2 P/g a²φ² sin ϑ cos ϑ, und die Gleichung für den Beharrungszustand wird damit Textabbildung Bd. 187, S. 97 Ist dann noch α der Werth von ϑ, für welchen AB horizontal, also ζ = 0 ist, und bezeichnet x₀ den entsprechenden Werth von x', d. i. den Abstand AF, so hat man auch Textabbildung Bd. 187, S. 97 und wenn man dann ferner beachtet, daß 2b (cos ϑ – cos α) = z = l sin ζ, und daß x' = (x₀ + x) cos ζ + y sin ζ, wenn x und y die Koordinaten Fn und nm des Berührungspunktes m in Bezug auf AB als x-Achse und F als Anfang sind, so folgt durch Subtraction der ersten Gleichung (5) von (4) mit der Abkürzung: Textabbildung Bd. 187, S. 97 die einfache Gleichung: x + y tang ζ – k sin ζ = 0, welche mit den bekannten Beziehungen: tang ζ = dy/dx, sin ζ = dy/ds = dy/dx . dx/ds sofort in die Differentialgleichung der gesuchten Curve übergeht, und so die Form annimmt: x + y dy/dx – k dy/dx . dx/ds = 0      (7) Diese Gleichung wird sogleich integrirbar, wenn man nur solche kleine Neigungen ζ zuläßt, daß cos ζ = dx/ds ohne merklichen Fehler = 1 gesetzt werden kann, und zwar findet man unter dieser Voraussetzung, und da y mit x Null werden muß, als Integral der Gleichung (7) x² + y² – 2ky = 0,      (8) also die Gleichung eines Kreises vom Halbmesser k, dessen Mittelpunkt O natürlich in der durch F gehenden Normalen zu AB liegen muß. Da nun in der Anwendung die Verschiebung z der Hülse D, also auch l sin ζ in ziemlich enge Grenzen eingeschlossen ist, so kann man der zuletzt gemachten Voraussetzung betreffs cos ζ durch Vergrößerung von l beliebig nahe kommen, und die durch Gleichung (8) ausgedrückte einfache Lösung unserer Aufgabe kann für die Praxis als vollkommen genügend betrachtet werden. Uebrigens verursacht auch die Integration der vollständigen Gleichung (7) keine großen Schwierigkeiten. Setzt man darin dy/dx = p, und bringt sie so auf die Form: x + py = k p/√(1 + p²) nimmt dann, um x zu eliminiren, davon die Ableitung nach x und multiplicirt diese mit p/√(1 + p²), so ergibt sich die Gleichung: Textabbildung Bd. 187, S. 98 aus deren unbestimmtem Integral: Textabbildung Bd. 187, S. 98 weil p und y mit einander Null werden, sofort das bestimmte 2y √(1 + p²)³ = kp² hervorgeht. Eliminirt man endlich zwischen dieser Gleichung und der Gleichung (7) die Veränderliche p, so findet man für die gesuchte Curve folgende Gleichung des 6. Grades: 4 (x² + y²)³ + k² (8y⁴ – x⁴ + 20x²y²) + 4k⁴y² = 0.      (9) Diese Gleichung enthält nur gerade Potenzen von x und y, die entsprechende Curve ist folglich zu beiden Seiten des Punktes F symmetrisch; sie wird nach x lösbar, wenn man sie durch Zufügung der nothwendigen positiven und negativen Glieder zuerst auf die Form: 4 (x² + y²)(x² + y² + k²)² – 36 k²x² (x² + y²) – 4 k²x² + 27 k²x⁴ = 0 und dann, x² + y² =r² gesetzt, auf die Form: 27 k²x⁴ – 4 (9r² + k²) k²x² + 4r² (r² + k²)² = 0      (10) bringt; man zieht daraus mit der Beachtung, daß r mit x Null werden muß, Textabbildung Bd. 187, S. 99 worin ρ für r/k steht, und erkennt daraus, daß die gesuchte Curve, obgleich sie nicht geschlossen ist, doch eine sehr beschränkte Ausdehnung hat, da ρ nicht größer als √1/3 werden kann. Sie hat die in Fig. 6, für k = 10 Centim. dargestellte Form, und besteht aus zwei congruenten Zweigen, wie B'AB, welche sich und die x-Achse in A berühren. Die Coordinaten der Endpunkte B und B' sind x = ± 2/9 k√6 = ± 0,544 k,   y = ± 1/9 k√3 = ± 0,192 k und für den Winkel τ₁, welchen die Tangente in B mit der Achse AX bildet, hat man tang τ₁ = √2, τ₁ = 54° 44'; dieß ist also auch die größte Neigung ζ, welche der Hebel AB Fig. 3 erhalten kann. Endlich zeigt Fig. 6, wie es sich auch aus der analytischen Behandlung ergibt, daß der in Gleichung (8) ausgedrückte Kreis C' AC der Krümmungskreis unserer Curve im Punkte A ist, und bis zu einer Neigung ζ = τ = 18° noch sehr nahe mit derselben zusammenfällt; denn es beträgt dort der Unterschied zwischen den Ordinaten der Curve und des Kreises nur 0,0013 k. Man erhält demnach eine für das praktische Bedürfniß vollkommen genügende Annäherung, wenn man bei Anwendung dieses Krümmungskreises den Hebel AB wenigstens 5 mal so lang nimmt als die ganze Verschiebung der Hülse D, man hat dann für den größten Werth ζ₁ von ζ die Beziehung: sin ζ₁ = 0,1, und darnach wird cos ζ₁ = 0,995 und ζ₁ nicht ganz 6°. Diese Annäherung, welche ich später für einen besonderen Fall noch näher erörtern werde, wird um so mehr genügend erscheinen, wenn man beachtet, daß die Empfindlichkeit des Regulators doch auch eine beschränkte ist, und deßhalb kleine Abweichungen von der normalen Geschwindigkeit unvermeidlich sind. VI. Die Empfindlichkeit eines Regulators ist zweifacher Art; einmal soll die regulirende Hülse desselben, wie schon oben angedeutet wurde, durch hinreichend kleine Aenderungen der Umdrehungsgeschwindigkeit vom Beharrungszustande aus in Bewegung gesetzt werden; d.h. der Regulator soll für kleine Aenderungen der Geschwindigkeit empfindlich seyn; dann aber soll diese Bewegung der Hülse auch hinreichend rasch vor sich gehen im Verhältniß zu der bewegenden Kraft, damit die Aenderungen in der Stellung der Dampfklappe mit den Aenderungen in der Geschwindigkeit der Maschine gleichen Schritt halten; der Regulator soll also auch für schnelle Aenderungen der Geschwindigkeit empfindlich seyn. Die Empfindlichkeit erster Art wird hauptsächlich von den Widerständen abhängen, welche der Bewegung der Hülse entgegenstehen, die der zweiten Art dagegen von dem Verhältniß der zu bewegenden Massen zu der bewegenden Kraft. Diese Bedingungen für die Empfindlichkeit wollen wir nun mathematisch ausdrücken, und zwar zunächst für den einfachen Centrifugal-Regulator, von welchem dann leicht zu dem Geiger'schen übergegangen werden kann. Dazu bezeichnet ϑ₀ die Ausweichung der Kugeln K, Fig. 1 für einen beliebigen Beharrungszustand, in welchem die Umdrehungsgeschwindigkeit φ' der Gleichung: αφ'² cos ϑ₀ = g Genüge leistet, ϑ die Ausweichung derselben bei steigender Bewegung der Hülse D am Ende der Zeit t, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit φ' + Δt φ' geworden ist, ψ = dϑ/dt die Winkelgeschwindigkeit und M das Massemoment der Kugeln in Bezug auf den Drehungspunkt C, w = dz/dt die aufwärts gerichtete Geschwindigkeit der Hülse D, und M das Moment sämmtlicher Widerstände gegen die Bewegung der Hülse in Bezug auf C; vernachlässigt man dann die Massen der übrigen Theile des Regulirungs-Apparates neben der der Kugeln, so hat man als Bewegungsgleichung der letzteren: 2M dψ/dt = 2 Fa cos ϑ – 2 Pa sin ϑ – M,      (11) worin der Bewegungsdruck F nun durch: P/g a (φ' + Δt φ')² sin ϑ zu ersetzen ist. Es ist aber auch z = 2b (cos ϑ₀ – cos ϑ) und daraus folgt w = dz/dt = 2b sin ϑ . ψ,   dw/dt = 2b cos ϑ ψ² + 2b sin ϑ  dψ/dt; nimmt man nun daraus den Werth von dψ/dt und setzt ihn in (11) ein, so ergibt sich die Bewegungsgleichung der Hülse D in der Form: Mdw/dt = 2M bψ² cos ϑ + b sin ϑ (2 Fa cos ϑ – 2 Pa sin ϑ – M),      (12) und aus ihr ziehen wir die Bedingungen für beide Arten der Empfindlichkeit des Regulators durch folgende Erwägungen: 1) die steigende Bewegung der Hülse und der Kugeln beginnt vom Beharrungszustande an jedenfalls mit der Ausweichung ϑ₀, und den Geschwindigkeiten w₀ = 0, ψ₀ = 0; es kann also keine solche Bewegung eintreten, bis der Factor 2 Fa cos ϑ – 2 Pa sin ϑ – M, welcher im Beharrungszustande wegen der Bedingung: Fa cos ϑ₀ – Pa sin ϑ₀ = 0 negativ ist, durch Vergrößerung der Umdrehungsgeschwindigkeit φ' bei der ursprünglichen Ausweichung ϑ₀ größer als 0 geworden ist; der Anfang jener Bewegung ist demnach bedingt durch die Gleichung: 2 F₀a cos ϑ₀ – 2 Pa sin ϑ₀ – M₀ = 0,      (13) worin F₀ den Bewegungsdruck: P/g a (φ' + Δ₀ φ')² sin ϑ₀ und M₀ das Moment der Widerstände für die Ausweichung ϑ₀ und den Anfang der Zeit t bezeichnet, und diese Gleichung wird dazu dienen, die kleinste relative Aenderung Δ₀ φ'/φ' der Beharrungsgeschwindigkeit φ' zu bestimmen, mit welcher eine Bewegung der Hülse eintreten kann, durch welche wir also einen Maaßstab für die Empfindlichkeit der ersten Art erhalten werden. Dazu ist aber noch das Moment M₀ auszudrücken. Die Widerstände, welche der Bewegung der Hülse entgegenstehen, sind doppelter Art; sie bestehen a) aus den Widerständen des Steuerungsapparates und der Hülse selbst, und b) aus den Widerständen gegen die steigende Bewegung der Schwungkugeln. a) Der Gesammtwiderstand des Steuerungsapparates ist zwar streng genommen nicht constant; man wird aber keinen großen Fehler begehen, wenn man den Mittelwerth desselben als constant annimmt, und diesen als ein Gewicht W einführt, das durch die ganze Bewegungshöhe der Hülse fallend eine Arbeit leistet gleich derjenigen, welche an der Hülse (bei weggenommenen Schwungkugeln) zur Drehung der Dampfklappe um 90° geleistet werden muß. Dieses Gewicht W wird demnach der Bewegungshöhe der Hülse verkehrt proportional seyn, und sein Moment in Bezug auf C ist wie das des Druckes N in §. V = 2 Wb sin ϑ. b) Der Widerstand gegen die steigende Bewegung der Schwungkugeln ist wieder ein doppelter Reibungswiderstand; er besteht nämlich aus der Reibung an den Gelenkbolzen C in Folge des von den Kugeln auf sie ausgeübten Druckes, welcher der Resultirenden N aus dem Gewichte P und dem Bewegungsdruck F der Kugeln gleich ist, und, nach den gewöhnlichen Constructionen, aus der Reibung an den Backen der Gelenke C oder an einer Führung, an welcher die Arme CK gleiten können, in Folge des horizontalen Druckes, der auf die Kugeln ausgeübt werden muß, um deren Umdrehungsgeschwindigkeit zu beschleunigen, und dessen Moment in Bezug auf die verticale Drehungsachse dieser Beschleunigung Δt φ' und dem Massemoment der Kugeln in Bezug auf dieselbe Achse proportional ist. Dieser Druck selbst ist demnach dem Abstand der gedrückten Stelle des Armes CK von der verticalen Drehungsachse verkehrt proportional und deßhalb gar nicht unbedeutend, wenn er von den Gelenkbacken C selbst ausgeübt werden muß; das Moment oder die Arbeit der entsprechenden Reibung dagegen bleibt unabhängig von der Lage der gedrückten Stelle. Denn ist m der Abstand dieser Stelle von C, also m sin ϑ der von der verticalen Achse, und bezeichnet M' das Massemoment einer Kugel in Bezug auf diese Achse, so wird jener Druck = M'/(m sin ϑ) Δt φ'; die entsprechende Reibung, für welche der Coefficient = f₁ sey, ist = f₁ M'/(m sin ϑ) Δt φ', und deren Moment in Bezug auf C = f₁ M'/(sin ϑ) Δt φ' wird abhängig von m. Diese Reibung kann dagegen wesentlich vermindert werden, wenn man statt der gewöhnlichen Construction die Arme CK bei C mit erweiterten Gabeln versieht und die Gelenkbolzen entsprechend verlängert; denn ist die Weite der Gabeln = 2e, so ist der von der oben erwähnten Beschleunigung herrührende Druck auf die Gelenkbolzen = M'/2e Δt φ' und das Moment der entsprechenden Reibung in Bezug auf C wird fρ/2e M' Δt φ', wenn ρ den Halbmesser der Gelenkbolzen und f den Coefficient für die Zapfenreibung bezeichnet. Dazu kommt dann aber noch die Reibung an dem einen oder anderen Anlauf der Gelenkbolzen, deren Moment in Bezug auf C durch den Ausdruck P/g a sin ϑ Δt φ'. f₁ρ' gemessen wird, wenn ρ' der von ρ wenig verschiedene mittlere Halbmesser des Anlaufes ist. Das Verhältniß des ganzen Reibungsmomentes bei dieser Construction zu dem bei der gewöhnlichen Einrichtung wird daher mit Einführung des angenäherten Werthes: P/g a² sin² ϑ für M'Strenggenommen wäre M' = P/g (a² sin² ϑ + 2/5 r₁²), wenn r₁ der Halbmesser einer Schwungkugel ist. fρ/2e a sin ϑ + f₁ρ' : f₁a oder fρ/2f₁e sin ϑ + ρ'/a, also ein ziemlich kleiner Bruch, wenn e > ρ, da f₁ wenigstens = 2,5 f und a > 50 ρ'. Für e = 5ρ z.B. und mit den Werthen f₁ = 2,5 f, a = 50 ρ', ϑ = 30° würde dieses Verhältniß = 1/50 + 1/50 = 1/25, d.h. der entsprechende Reibungswiderstand gegen die Bewegung der Kugeln wäre bei der ersten Einrichtung 25 mal so groß, als bei der letzten. Für den Druck N auf die Gelenkbolzen C hat man N = F sin ϑ + P cos ϑ = P/g a (φ' + Δt φ')² sin² ϑ + F cos ϑ, und das Moment der entsprechenden Reibung ist fρN; damit und mit den vorhergehenden Reibungsmomenten wird daher entweder Textabbildung Bd. 187, S. 103 nach der gewöhnlichen Construction des Regulators, oder Textabbildung Bd. 187, S. 103 wenn die Arme CK bei C erweiterte Gabeln erhalten. Da nun Δ₀ φ' gegen φ' sehr klein bleiben soll, so kann man (φ' + Δ₀φ')² mit hinreichender Annäherung durch φ'²+ 2φ'Δ₀φ' ersetzen; beachtet man dann noch die Bedingung für den Beharrungszustand: aφ'²/g cos ϑ₀ = 1 und vereinigt alle mit Δ₀φ' multiplicirten Glieder, so findet man für M₀ die Werthe: Textabbildung Bd. 187, S. 103 welche ich bezüglich der mit fρ multiplicirten Glieder sogleich in Zahlen ausdrücken will, um deren relative Größe augenfällig zu machen, und zwar mit Zugrundlegung der obigen Werthe für f, a, e und ϑ₀ und dann der weiteren ρ' = ρ, a = 0,1. g und φ' = √(10/cos 30°) = 3,4, was einer Umdrehungszeit von nahe 1,85 Secunden entspricht; man findet so Textabbildung Bd. 187, S. 104 und ersieht daraus, daß in der oberen Zeile Δ₀φ'/φ' ein viel kleinerer Bruch seyn muß, wenn das damit multiplicirte Glied neben der Einheit soll vernachlässigt werden können. Der größeren Einfachheit wegen soll für das Folgende der Werth von M₀ durch den Ausdruck: Textabbildung Bd. 187, S. 104 dargestellt werden, welcher je nach dem Werthe von λ auf die beiden Fälle anwendbar ist, und damit und mit dem Werthe von F₀, dann mit der Bedingung für den Beharrungszustand in der Form: P/g a²φ'² sin ϑ₀ cos ϑ₀ – Pa sin ϑ₀ = 0 nimmt die Gleichung (13) zuerst die Form an: 2 P (a sin 2ϑ₀ – fρλ sin² ϑ₀) Δ₀φ'/φ' = Wb sin 2ϑ₀ + 2 fρP, und wenn man dann noch die kleinen Brüche: Textabbildung Bd. 187, S. 104 setzt, so ergibt sich endlich der einfache Ausdruck: Textabbildung Bd. 187, S. 104 für die kleinste relative Aenderung der Beharrungsgeschwindigkeit φ', mit welcher eine steigende Bewegung der Hülse beginnt. Wenn die Hülse sinken soll, so ändern der Widerstand W und alle mit f multiplicirten Glieder das Zeichen, und es wird demnach Textabbildung Bd. 187, S. 104 der Ausdruck für die relative Aenderung der Beharrungsgeschwindigkeit, mit welcher eine sinkende Bewegung der Hülse eintritt. In diesen Ausdrücken sind bei den gewöhnlichen Verhältnissen die Glieder des Zählers unter sich und mit Δ₀φ'/φ' von gleicher Größe-Ordnung; das Glied γλ sin² ϑ₀ des Nenners dagegen wird besonders bei unserer zweiten Einrichtung des Regulators, für welche die zweite Zeile der obigen Werthe von M₀ gilt, in Bezug auf sin 2ϑ₀ von der zweiten Ordnung seyn, und kann neben diesem vernachlässigt werden; man hat dann für die steigende wie für die sinkende Bewegung der Hülse denselben einfachen Ausdruck: Textabbildung Bd. 187, S. 105 da sich die gleichzeitige Aenderung der Zeichen aller Glieder dieser Gleichung von selbst versteht; und damit ist denn auch die gesuchte Bedingung E₁ für die Empfindlichkeit der ersten Art gefunden, aber in solcher Weise, daß diese Empfindlichkeit zu dem Werthe von E₁ im umgekehrten Verhältniß steht. Wir schließen daraus, daß diese Empfindlichkeit um so größer ist, je kleiner die Quotienten β und γ und je größer sin 2ϑ₀ ist. Soll daher die Empfindlichkeit in der normalen Lage am größten seyn, so muß man den diese Lage bestimmenden Winkel α = 45° nehmen, und hat dann für diesen einfach Textabbildung Bd. 187, S. 105 Außerdem zeigen die Werthe (14) von β und γ, daß diese Empfindlichkeit hauptsächlich mit der Vergrößerung der Länge a der Arme CK wächst, weil durch Vermehrung des Gewichtes P zwar β kleiner wird, dafür aber der Halbmesser ρ des Gelenkbolzens, wenn auch nur im Verhältniß der Quadratwurzeln aus P stärker werden muß, also γ größer wird. Setzt man demzufolge ρ = c √P, so erhält Textabbildung Bd. 187, S. 105 in Bezug auf P einen kleinsten Werth, wenn man hat Textabbildung Bd. 187, S. 105 dieser Werth von P wäre demnach der vortheilhafteste, und eine weitere Vermehrung der Empfindlichkeit nur durch Vergrößerung von a zu bewerkstelligen, und man wird sich leicht überzeugen, daß so der Werth (15) leicht viel kleiner gemacht werden kann, als die aus (2a) sich ergebenden Abweichungen von der normalen Umdrehungsgeschwindigkeit. 2) Die Empfindlichkeit zweiter Art, welche auch erst in zweiter Linie zu berücksichtigen ist, bemißt sich nach dem Werth des Verhältnisses der Beschleunigung dw/dt der Hülse zu der beschleunigenden Ursache für den Anfang der Bewegung der Hülse oder für den Anfang der Zeit t. Dazu bringe ich die Gleichung (12) mit den vorhergehenden Umwandlungen zuerst auf die Form: Textabbildung Bd. 187, S. 106 und ziehe daraus mit Einführung des constanten Factors g, welcher mit dw/dt gleichartig ist, um überall die Verhältnißform herzustellen, das Verhältniß: Textabbildung Bd. 187, S. 106 welches mit dem angenäherten Werth: Pa² für gM und sec ϑ₀ für aφ'²/g für den Anfang der Zeit t, wo ψ = 0 ist, den Ausdruck gibt: Textabbildung Bd. 187, S. 106 Dieser Ausdruck zeigt, daß die Empfindlichkeit zweiter Art, welche zu dem E₂ in geradem Verhältniß steht, bei dem einfachen Regulator mit dem Verhältniß b/a wächst und in Bezug auf ϑ₀ seinen größten Werth erreichen würde, wenn sin ϑ₀ = 1 wäre; von dem Gewichte oder der Masse P ist sie natürlich unabhängig, da diese die bewegende und die bewegte ist. VII. Kehren wir nun wieder zu dem Geiger'schen Regulator zurück, um die vorhergehende Untersuchung auf diesen anzuwenden, so haben wir der Gleichung (11) für die neu hinzukommende Masse und das Gewicht Q auf der linken Seite noch ein Glied: d.M'ψ'/dt worin M' das veränderliche Massemoment und ψ' die Winkelgeschwindigkeit des Gewichtes Q in Bezug auf den Drehungspunkt A des Hebels AB, Fig. 3, bedeutet, auf der linken Seite das frühere Glied: 2Qb (x' sin ϑ)/(l cos ζ) beizufügen, und das Widerstandsmoment M noch um das Reibungsmoment in A und B zu erweitern. Die Gleichung (11) nimmt damit zuerst die Form an: Textabbildung Bd. 187, S. 107 da bei diesem Regulator die normale Umdrehungsgeschwindigkeit für jedes ϑ die Beharrungsgeschwindigkeit ist, und kommt mit der Bedingung (4) für den Beharrungszustand auf die einfachere Gleichung: Textabbildung Bd. 187, S. 107 zurück, aus welcher sich für t = 0, die Bedingung: Textabbildung Bd. 187, S. 107 zur Beurtheilung der Empfindlichkeit erster Art oder der Empfindlichkeit für kleine Aenderungen der Umdrehungsgeschwindigkeit ergibt. Ist dann W' der Reibungswiderstand, welcher von dem Druck des Gewichtes Q auf die Gelenkbolzen A und B herrührend auf die Hülse D übertragen wird, so haben wir Textabbildung Bd. 187, S. 107 oder mit Vernachlässigung der mit fρ und Δ₀φ multiplicirten Glieder einfacher Textabbildung Bd. 187, S. 107 Ersetzen wir nun noch den Factor: aφ²/g durch μ sec ϑ₀, und führen den Werth von M₀ in die Gleichung (18) ein, so gibt diese für die relative Aenderung der Umdrehungsgeschwindigkeit oder für die Beurtheilung der Empfindlichkeit erster Art den Ausdruck: Textabbildung Bd. 187, S. 107 welcher mit dem für den einfachen Regulator gefundenen (15) verglichen, zeigt, daß die Empfindlichkeit des Geiger'schen Regulators bei sonst gleichen Maaßen der Arme und Stelzen u.s.f. fühlbar kleiner seyn muß als die des einfachen, da der Zähler des ersten Gliedes der rechten Seite (19) um W'b größer ist als β, und das zweite den Factor μ enthält, welcher nach der Bedingung (4) auch durch den Ausdruck: Textabbildung Bd. 187, S. 108 dargestellt wird, der also für positive x' immer größer als 1 ist. Der Widerstand W' besteht aus drei verschiedenen Reibungswiderständen, aus der Zapfen-Reibung in A, aus der gleitenden Reibung des Bolzens B längs ab, und aus der drehenden Reibung dieses Bolzens auf ab; ist also N der Druck in B auf ab, N₁ der Druck in A, ρ₂ der Halbmesser der Gelenkbolzen A und B, so hat man für das Moment in Bezug auf A der ersten Reibung: fρ₂N₁, für das der gleitenden Reibung auf ab: f₁Nl sin ζ, und für das der drehenden Reibung auf ab in Bezug auf die Achse von B; fρ₂N. Die Summe dieser Momente gibt das Moment W'l cos ζ des auf die Hülse übertragenen Widerstandes, und man hat demnach Textabbildung Bd. 187, S. 108 worin die Summe N + N₁ als eine absolute, d.h. ohne Rücksicht auf die Zeichen von N und N' aufzufassen ist. Was nun die Empfindlichkeit zweiter Art betrifft, so geht aus der Untersuchung des vorhergehenden § hervor, daß es dazu genügt, die Beziehungen zwischen den Winkelbeschleunigungen: dψ/dt und dψ'/dt und der Beschleunigung der Hülse: dw/dt für den Anfang der Zeit t auszudrücken. Dazu ergibt sich aus der Gleichung: z = 2 b (cos ϑ₀ – cos ϑ) wie oben Textabbildung Bd. 187, S. 108 und für Textabbildung Bd. 187, S. 108 ferner genügt es für unseren Zweck die Coordinaten von J in Bezug auf AB, Fig. 3, als constant anzunehmen, und demgemäß ψ' = dζ/dt zu setzen, so daß aus der Gleichung: z = l sin ζ einfach Textabbildung Bd. 187, S. 108 folgt. Damit gibt dann die Gleichung (17) zur Beurtheilung der Empfindlichkeit zweiter Art das Verhältniß: Textabbildung Bd. 187, S. 109 dessen rechte Seite noch mit den Werthen von gM und gM'o umzuformen wäre; es genügt aber schon die vorhergehende Form, um zu sehen, daß auch bezüglich dieser Empfindlichkeit der Geiger'sche Regulator dem einfachen nachsteht, da der Nenner der rechten Seite durch das zweite Glied wesentlich vergrößert erscheint. VIII. Werfen wir nun zur Anwendung des Vorhergehenden die Frage auf: Wie muß der Geiger'sche Regulator eingerichtet werden, damit er für sonst gleiche Verhältnisse die größte Empfindlichkeit erhält? so kann sich die Beantwortung dieser Frage nur auf die zweckmäßigste Lage der Curve G' FG, Fig. 3, oder des Berührungspunktes F beziehen und für eine bestimmte Stellung der Kugeln und des Hebels AB gelten. Dazu bietet sich natürlich die normale Stellung der Kugeln und die horizontale Lage des Hebels AB am nächsten dar, da man ohnehin darnach streben muß, die Empfindlichkeit für diese normale Lage am größten zu machen, wodurch übrigens die Berücksichtigung anderer Lager nicht ausgeschlossen ist. Die allgemeine Antwort auf unsere Frage wird dann dahin gehen, daß diejenige Lage des Punktes F die günstigste ist, für welche der Widerstand W' und das Massemoment M'₀ die kleinsten Werthe erhalten und der Factor μ = 1 wird, und alle diese Bedingungen führen auf die eine: x₀ = 0, wornach also der Punkt F mit dem Punkt A zu vereinigen ist. Denn der Werth (20) von W' zeigt, daß für ζ = 0. W' = fρ₂/l (N + N₁) wird, und da man mit Vernachlässigung der Reibungswiderstände bei der Bestimmung von N und N₁ setzen kann: Q =     N + N₁, für x₀ > 0, < l, und Q = ± (N – N₁), für x₀ > l, < 0, und da man immer Nl = Qx₀ haben muß, so ergeben sich die absoluten Summen: N + N₁ = Q, und N + N₁ = ± Q (2 x₀/l – 1). Es hat demnach nur von x₀ = 0 bis x₀ = l Summe N + N₁ den kleinsten Werth: Q; für x₀ = 0 aber wird N₁ = Q, N = 0, und damit fällt in dem Ausdruck (20) für W' das Glied: f₁ N tang ζ auch für ein von 0 verschiedenes ζ weg, und dieser Widerstand wird so für alle Lagen des Hebels der möglich kleinste. – Der Werth von gM' kommt für ζ = 0, x' = x₀ auf den einfachen: gM' = Q (x₀² + 1/2 r₂²) zurück, wenn r₂ der Halbmesser des als Cylinder berechneten Läufers ist, und wird demnach auch für x₀ = 0 am kleinsten, und daß der Werth von Textabbildung Bd. 187, S. 110 mit x₀ = 0 der 1 gleich wird, fällt unmittelbar in die Augen. Für diese Annahme kann dann die 2. Gleichung (5) nicht mehr zur Bestimmung von Q dienen; dieses Gewicht bleibt mehr oder weniger willkürlich, da es nur durch den Ausdruck (6) für den Parameter k der Curve G'FG, für unsere jetzige Annahme: Textabbildung Bd. 187, S. 110 nach welchem k und Q verkehrt proportional sind, in seiner Größe oder vielmehr Kleinheit beschränkt wird; denn unsere Bedingungen für die Empfindlichkeit, von denen die erste (19) nun die bestimmtere Form: Textabbildung Bd. 187, S. 110 die zweite (21) die Form: Textabbildung Bd. 187, S. 110 erhält, zeigen, daß die Empfindlichkeit in beiden Fällen um so größer wird, je kleiner Q ist. Es darf aber auch k nicht zu groß werden, weil der Läufer Q dann zu große Wege zurückzulegen hat. Es dürften sich daher für diese in Fig. 7 angedeutete zweckmäßigste Einrichtung des Geiger'schen Regulators die folgenden Maaße als die geeignetsten empfehlen: α = 45°,   b = l = cos α = 1/2 √2,   k = a√2,   Q = 1/2 P; nimmt man dann noch ρ₂ = ρ, r₂ = 1/5 a, so erhält man die entsprechenden Werthe: Textabbildung Bd. 187, S. 110 Dem letzteren Ausdruck ist keine absolute Bedeutung beizulegen, er kann nur zur Vergleichung verschiedener Constructionen dienen; der erste Ausdruck dagegen gibt die Grenze der Genauigkeit an, welche mit dem Regulator erreicht werden kann, und dient auch umgekehrt dazu, das Verhältniß von W zu P zu berechnen, welches zur Erreichung einer gegebenen Genauigkeit nothwendig ist. Soll z.B. unser Regulator, der vollkommen der Theorie entsprechend construirt sey, nicht mehr als 1/2 Proc. = 1/200 von der normalen Umdrehungsgeschwindigkeit abweichen, so muß in der normalen Lage die Abweichung noch geringer, also etwa 1/250 seyn, und wenn man hat γ = fρ/a = 1/500, so muß β = 1/250 – 1/400 = 3/2000 = 0,0015 werden; da nun nach den angenommenen Werthen β = √2/4 W/P, so muß man P = 2000/3. √2/4 W oder nahe = 236 W nehmen, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen. IX. Die zuletzt besprochene zweckmäßigste Einrichtung des Geiger'schen Regulators führt auf eine naheliegende Abänderung desselben, welche zwar vom theoretischen Standpunkte nicht als eine Verbesserung angegeben werden kann, die aber wegen größerer Einfachheit in der Ausführung durch Beseitigung des Läufers und seiner Bahn von dem praktischen Maschinenbauer als eine wesentliche Verbesserung der Geiger'schen Construction aufgefaßt werden mag. Nimmt man nämlich den Kreis G'AG Fig. 7, vom Halbmesser k mit dem Mittelpunkt O als Bahn des Läufers J, so wirkt das Gewicht Q in allen Lagen des Hebels AB gerade so, als wenn es im Mittelpunkte O der Bahn befestigt wäre, da O und J immer in derselben Verticalen liegen.Dieß gilt übrigens, wie Fig. 5 andeutet, nicht nur für die obige besondere Lage der kreisförmigen Bahn, sondern für jede Lage derselben. Man kann daher das Gewicht Q in Kugelform unmittelbar am Ende des zu AB senkrecht stehenden Halbmessers AO = k befestigen und so dem Regulator die durch Fig. 8 angedeutete Construction geben, wobei es dann aber vortheilhafter seyn wird, k kleiner und Q größer zu nehmen als oben angegeben wurde. Man könnte damit zugleich noch eine andere Abänderung verbinden, welche zwar dem Praktiker weniger zusagen dürfte, die aber eine noch größere Annäherung an die vollkommene Gleichung (7) gibt, als sie die Construction Fig. 7 mit kreisförmiger Bahn besitzt, indem man nämlich statt der Verbindung Fig. 3 zwischen AB und T die Verbindung Fig. 5 mittelst Zahnstange und Bogen einführt.Die Verzahnung könnte übrigens auch zur Erzielung eines sanfteren Ganges durch zwei, an den Endpunkten des Bogens CD Fig. 5 und an der Stange T zu befestigende schwache Uhrfedern ersetzt werden. Denn man hat dann die Beziehungen: 2b (cos ϑ – cos α) = lζ,   N = Q (k sin ζ)/l, und demnach für den Beharrungszustand die Bedingung: P/2g a²φ² l/b ζ – Q kb/l sin ζ = 0, oder mit Berücksichtigung des Werthes von k einfach:       ζ – sin ζ = 0,      (23a) während die Verbindung Fig. 3 zwischen AB und T, wie leicht zu sehen, auf die Bedingung: sin ζ – tang ζ = 0      (23b) führt, welche offenbar weniger genau ist als die erste, da die Differenz: tang ζ – sin ζ über dreimal so groß ist als die Differenz: ζ – sin ζ. Beide Gleichungen (23) sind übrigens durch keinen Werth von ζ, außer ζ = 0 zu befriedigen, und sie deuten dadurch an, daß strenggenommen nur bei der horizontalen Lage des Hebels AB der Beharrungszustand mit der normalen Umdrehungsgeschwindigkeit φ eintreten kann; es wird daher nothwendig seyn, den bei diesen Constructionen vorkommenden größten Fehler, d. i. den relativen Unterschiedet Δφ/φ zwischen der normalen Umdrehungsgeschwindigkeit φ und derjenigen φ + Δφ, welche bei der größten oder kleinsten Ausweichung ϑ₁ der Kugeln oder der entsprechenden Neigung ζ₁ des Hebels den Beharrungszustand herstellt, durch Rechnung nachzuweisen. Dazu hat man folgende den Gleichungen (4) und (5) entsprechende Beziehungen, und zwar a) für die Verbindung Fig. 7: P/g a² (φ + Δφ)² cos ϑ – Pa – Q bk/l tang ζ = 0 P/g a²φ² cos α – Pa = 0,     2b (cos ϑ – cos α) = l sin ζ, b) für die Construction Fig. 8: P/g a² (φ + Δφ)² cos ϑ – Pa – Q bk/l sin ζ = 0 P/g a²φ² cos ϑ – Pa = 0,     2b (cos ϑ – cos α) = lζ; setzt man nun darin wieder φ² + 2φΔφ für (φ + Δφ)², zieht die zusammengehörenden Gleichungen von einander ab, und führt für cos ϑ den Werth in ζ ein, so ergeben sich folgende Werthe für die größten relativen Abweichungen von der normalen Umdrehungsgeschwindigkeit, und zwar im Falle a): Textabbildung Bd. 187, S. 113 und im Falle b): Textabbildung Bd. 187, S. 113 Man schließt daraus, daß die betreffenden Fehler nahezu den Differenzen ζ₁ – sin ζ₁ und ζ₁ – sin ζ₁ proportional sind; im Falle a) ist die Umdrehungsgeschwindigkeit für positive ζ zu groß, für negative zu klein, und das Umgekehrte findet im Falle b) statt; in beiden Fällen aber ist der Fehler für negative ζ größer als für gleiche positive ζ. Wie klein übrigens diese Fehler sind, geht augenfällig aus folgenden Zahlenwerthen hervor. Für l = b, α = 45°, ζ₁ = ± 8° findet man: ζ₁ = + 8°,– 8°,     a) Δφ/φ = + 0,000440,– 0,000536,     b) Δφ/φ = – 0,000146+ 0,000178 im Falle a) beträgt also die größte Abweichung von der normalen Umdrehungsgeschwindigkeit nur etwas mehr als 1/2000 oder 1/20 Proc., und im Falle b) ist sie weniger als ein Dritttheil davon; sie ist also in beiden Fällen kaum wahrnehmbar, und beide Constructionen können selbst für noch größere Werthe von ζ₁, besonders mit Rücksicht auf die beschränkte Empfindlichkeit erster Art, als vollkommen genaue Regulatoren bezeichnet werden. Diese Empfindlichkeit erster Art, bezüglich der Ausdruck (22a) für dieselbe, bleibt nämlich der gleiche für beide Constructionen, Fig. 7 und 8, und dürfte nach dem am Ende des §. VIII berechneten Beispiel kaum auf 1/10 Proc. herabzubringen seyn. Bezüglich der Empfindlichkeit zweiter Art dagegen steht die Construction nach Fig. 8 ziemlich im Nachtheil gegen die nach Fig. 7, da bei jener das Massemoment gM' constant und größer als Q/g k² = P/g . P/4Q . l⁴/b⁴. a²/cos² α wird. Macht man daher Q = P, k = 1/2 a√2 = b = l, so hat man gM' = 1/2 Pa² und E₂ = 2/3 √2, und dieser Werth verhält sich zu dem in VIII gefundenen: E₂ = √2 (1 – 0,0002) nahe wie 2 : 3. Gegen die praktischen Vortheile der Einrichtung Fig. 8 dürfte indessen dieser Nachtheil nur wenig in Anschlag zu bringen seyn. X. Nun besteht aber noch zwischen den Voraussetzungen für die Theorie des Geiger'schen Regulators und der gewöhnlichen, auch in Fig. 12 dargestellten Ausführung ein wesentlicher Unterschied; bei jener Theorie wurde nämlich angenommen, daß die horizontalen Drehungsachsen für die Kugeln in der verticalen Drehungsachse zusammenfallen, während sie in der Ausführung zu beiden Seiten dieser Achse liegen. Um den daraus entspringenden Fehler zu ermitteln, sey CC ' Fig. 9, und ebenso, damit das Knie C' ED ' ein gleichschenkliges bleibt, auch DD ' = n, und n/a = v; dann ist der Centrifugaldruck einer Kugel in der normalen Stellung = P/g aφ² (v + sin α) und sein Moment in Bezug auf C' wird: P/g a²φ² (v + sin α) cos α, und da alles Uebrige unverändert bleibt, so hat man mit Beibehaltung der Verbindung und Einrichtung Fig. 7, und l = b gesetzt, für den Beharrungszustand bei horizontaler Stellung des Hebels AB die Bedingungsgleichung: P/g a²φ² (v + sin α) cos α – Pa sin α = 0, für irgend eine andere Stellung wird die Umdrehungsgeschwindigkeit wieder = φ + Δφ werden müssen, und die Gleichung für den Beharrungszustand die aus den früheren abgeleitete Form: P/g a² (φ + Δφ)² (v + sin ϑ) cos ϑ – Pa sin ϑ – Qk tang ζ sin ϑ = 0 annehmen. Zieht man die erste Gleichung von dieser letzten ab, nachdem das Glied mit v ausgeschieden und für (φ + Δφ)² der frühere angenäherte Werth gesetzt worden, so folgt die Bedingung: P/g a²φ² (cot ϑ – cot α) + 2 P/g a²φ² (v cot ϑ + cos ϑ) Δφ/φ           + P/g a²φ² (cos ϑ – cos α) – Qk tang ζ = 0 oder mit den früheren Werthen von cos ϑ – cos α und k einfacher 4 (v cot ϑ + cos ϑ) Δφ/φ + 2v (cot ϑ – cot α) + sin ζ – tang ζ = 0.  (25) Vernachlässigt man dann noch die kleine Differenz: tang ζ – sin ζ, so kann man daraus den Ausdruck für den größten relativen Fehler in der Umdrehungsgeschwindigkeit in der nachstehenden einfachen Form ziehen: Textabbildung Bd. 187, S. 115 worin ϑ₁ der größte oder kleinste Werth von ϑ ist. Man findet z.B. für α = 30°, ϑ₁ =20° und 40°, was einem ζ₁ = + 8° 30' und = – 11° 30' entspricht und ν = 1/20 = 0,05, was ziemlich der kleinste in der Anwendung vorkommende Werth seyn dürfte, die Abweichungen: Δφ/φ = – 0,0236 und = + 0,0164, oder im Mittel nahe 2 Proc. Diese Abweichung mag für viele Fälle der Anwendung hinreichend klein erscheinen, um unberücksichtigt bleiben zu können; aber im Hinblick auf die oben bewiesene viel größere Genauigkeit der Regulatoren Fig. 7 und 8 und die möglicherweise zu erreichende Empfindlichkeit derselben ist eine solche Abweichung doch kaum zulässig, oder jede Theorie ist zwecklos. Diese Abweichung kann aber auch leicht vermieden werden, wenn man, wie oben in §. VI schon vorgeschlagen wurde, die oberen Enden der Arme C'K mit erweiterten Gabeln versieht, diese die verticale Welle umspannen, und die vereinigten horizontalen Achsen C' die geometrische Achse CD senkrecht schneiden läßt. Man erzielt dadurch nicht nur eine vollständige Uebereinstimmung der Construction mit den Forderungen einer Theorie, welche zu einfachen Ergebnissen führt, während eine solche mit Zugrundelegung der Einrichtung Fig. 9 nicht durchgeführt werden kann; man vermindert auch wesentlich die Reibung an den Gelenken C, und erspart endlich die Führung für die Arme CK, ohne daß durch das so häufig wechselnde Bestreben der Kugeln, bald der Umdrehungswelle vorzueilen bei verminderter Umdrehungsgeschwindigkeit, bald zurückzubleiben bei eintretender Beschleunigung derselben, die Gelenke C wackelig werden. Endlich kann man diesen ganzen Regulirungs-Apparat noch dadurch vereinfachen, daß man an dem Hebel AB selbst das Gestänge zur Uebertragung der Bewegung der Hülse auf die Dampfklappe einhängt, wodurch ein Hebel und zwei Gelenke erspart werden und man erhält so die in Fig. 13 dargestellte einfachste und mit der Theorie vollkommen übereinstimmende Einrichtung des Geiger'schen Regulators. An der Welle M sind in entsprechenden Entfernungen die Hebel L, N und K befestigt; der erstere ist wie ursprünglich und in Deutschland meistens gebräuchlich, mit einer Gabel versehen, welche in die mit einer Nuth versehene Hülse D eingreift, und besitzt demnach die unserer Theorie in Fig. 3 zu Grunde gelegte Verbindung mit dieser Hülse; der senkrecht zu L stehende Hebel N trägt am oberen Ende die Kugel Q, deren Gewicht dem Gewichte einer Schwungkugel K gleich ist, weßhalb denn auch alle anderen am Ende des §. IX angegebenen Gleichheiten, nämlich CE = ED = L = N, oder b = l = k = 1/2 a√2 für α = 45°, beobachtet sind. Der Hebel R dient zur Verbindung mit der Dampfklappe. XI. Einfacher noch als der in Fig. 13 dargestellte Regulator, weil des Hülfsgewichtes Q entbehrend, aber auch weniger genau, ist die im polytechnischen Journal, 1855, Bd. CXXXVIII S. 321 aus Wien mitgetheilte „Vereinfachung des Franke'schen parabolischen Centrifugal-Regulators.“ Das Princip desselben besteht darin, daß der Parabelbogen, auf welchem sich der Mittelpunkt der Schwungkugel bewegen sollte, durch einen Kreisbogen ersetzt wird, der durch die Mitte und die beiden Endpunkte jenes parabolischen Bogens geht, und nach der bekannten Construction eines durch drei Punkte zu ziehenden Kreises bestimmt werden soll. Was nun zunächst das Princip betrifft, so ist dieses darin mangelhaft, daß zwar der betreffende Kreisbogen dem idealen Parabelbogen sehr nahe kommt, daß aber der Halbmesser des ersteren, welcher die Richtung des von dem festen Mittelpunkte ausgeübten Widerstandes angibt, nicht auch in allen Punkten mit der Normalen zur Parabel, d. i. mit der Richtung der Resultirenden N Fig. 2 aus dem Gewicht und dem Bewegungsdruck einer Schwungkugel zusammenfallen kann, wie es für den Beharrungszustand erfordert wird. Diese Bedingung wird bei jener Construction nicht einmal für die Mitte des Bogens, welcher die normale Lage seyn soll, erfüllt, es muß daher sowohl für diese Lage als für die beiden Endpunkte die Umdrehungsgeschwindigkeit von der als normal angenommenen mehr oder weniger abweichen. Bezeichnet man den Parameter der Parabel mit p und berechnet man den Halbmesser r und die Coordinaten a und b des Mittelpunktes für den Kreisbogen durch drei Punkte der Parabel, deren Coordinaten in Bezug auf Achse und Scheitel sind: y₁ = 1/2 p,x₁ = 1/8 p, y₀ = 3/4 p,x₀ = 9/32 p, y₂ = p,x₂ = 1/2 p, so findet man:Die nicht sehr einfachen Formeln zu dieser Berechnung finden sich in jedem Lehrbuche der analytischen Geometrie. a = 119/64p = 1,8594p,   b = – 105/256p = – 0,4102p,   r = 1,9587p, wobei das – Zeichen vor dem Werthe von b andeutet, daß der Mittelpunkt der betreffenden Kreisbogen je auf der entgegengesetzten Seite der verticalen Drehungsachse liegt. Es ist aber einfacher das b absolut zu nehmen, so daß y + b die Ordinate und Textabbildung Bd. 187, S. 117 die Abscisse eines Kreisbogen-Punktes in Bezug auf ein durch den Mittelpunkt dieses Bogens gelegtes zur Parabelachse paralleles Coordinatensystem ausdrückt. Damit wird dann die Gleichung für den Beharrungszustand bei der Umdrehungsgeschwindigkeit φ zuerst Textabbildung Bd. 187, S. 117 und dann mit der Beziehung: g = pφ² einfacher: x'y – p (b + y) = 0,     (27) und man wird sich leicht überzeugen, daß zwar für die drei Punkte, welche in der Parabel selbst liegen, x' auch a – x wird, daß aber die Gleichung (27) durch keines der obigen Paare zusammengehöriger Werthe von x und y, also für keinen der drei Punkte der Parabel, durch welche der Kreisbogen gezogen wurde, befriedigt wird. Setzen wir daher zur Berechnung der Abweichungen von der normalen Geschwindigkeit φ in der Gleichung (27) wieder φ² (1 + 2 Δφ/φ) statt φ² oder nun 1/p (1 + 2 Δφ/φ) statt 1/p, so finden wir allgemein: Textabbildung Bd. 187, S. 117 und darnach ergeben sich für die genannten drei Punkte die Werthe: Δφ/φ = + 11/444, = – 6/606, = + 13/696,           = + 0,0248, = – 0,0099, = + 0,0187; für die als normale Lage angenommene Mitte des Bogens beträgt demnach die Abweichung 1 Proc., für die Endpunkte desselben nahe 2 und 2 1/2 Proc., und es wird also die Genauigkeit dieses Regulators von der möglichen Empfindlichkeit desselben, die von der des einfachen Regulators wenig verschieden ist, weit übertroffen, und es dürfte zweifelhaft seyn, ob derselbe für Spinnereien und Webereien den Anforderungen an einen solchen Apparat genügt.Es scheint wenigstens die rasche Verbreitung des Geiger'schen und des complicirten Farcot'schen Regulators dafür zu sprechen, daß man in vielen Etablissements das Bedürfniß eines genaueren Regulators fühlt. Der in dem belgischen Bericht über die Pariser Industrie-Ausstellung beschriebene und abgebildete Farcot'sche Regulator beruht zunächst auf demselben Princip wie der obige vereinfachte Franke'sche, er unterscheidet sich aber von diesem einmal dadurch, daß bei ihm nicht bloß die Kugelträger, sondern auch die die Hülse schiebenden Stelzen gekreuzt, und an dieser so befestigt sind, daß sie mit den Kugelträgern immer ein gleichschenkeliges Knie bilden, dann aber hauptsächlich dadurch, daß derselbe mit einer weiteren Correction für die aus dieser Construction sich ergebenden Abweichungen versehen ist. Dieser Correctionsapparat besteht aus einer Spiralfeder und einem Gegengewicht, von denen die erste die Hülse abwärts drückt, und der Beschreibung zufolge dem Bewegungsdruck der betreffs ihrer wirksamen Masse veränderlichen Kugelträger entgegen wirken soll, während das Gegengewicht durch einen zweckmäßig gekrümmten Hebel, auf welchen sich die zur Dampfklappe niedergehende und verlängerte verticale Stange des Steuerungsapparates mittelst einer Rolle stützt, die anderen Fehler des Apparates zu beseitigen bestimmt ist. Es ist daher sowohl die Construction als die Theorie des Farcot'schen Regulators eine ziemlich complicirte (weßhalb der ersteren auch viel Empirie zu Grunde liegt), und der Geiger'sche Regulator nach der in Fig. 13 dargestellten Construction ist ihm gewiß in jeder Hinsicht vorzuziehen, eine weiter eingehende Untersuchung desselben also überflüssig. Uebrigens kann dieser Regulator für solche Fälle, in dienen seine Genauigkeit genügt, bezüglich seiner Construction mehrfach verbessert werden. Denn beachtet man, wie schwierig es ist Mittelpunkt und Halbmesser eines Kreisbogens, der durch drei im Vergleich zur Länge des Halbmessers sehr nahe liegende Punkte gezogen werden soll, genau zu construiren, so wird man zugeben müssen, daß zur Vermeidung noch größerer Fehler jene Stücke strenggenommen, wie oben geschehen, berechnet werden müßten; diese etwas umständliche Berechnung kann man sich aber ersparen, wenn man statt des vorgeschlagenen Kreisbogens durch drei Punkte der Parabel pq Fig. 10 den Krümmungskreis mn derselben für die normale Lage nimmt; denn die Bestimmungsstücke für diesen sind durch die einfachen Formeln: Textabbildung Bd. 187, S. 118 gegeben, wenn y₀ die Ordinate des betreffenden Parabelpunktes, und a und b die Coordinaten des Krümmungs-Mittelpunktes auf Achse und Scheitel der Parabel bezogen, bezeichnen. Man findet darnach für den Punkt: y₀ = 3/4 p der Parabel die Werthe: a = 59/32p = 1,844p,   b = – 0,422p,   r = 125/164 p = – 1,953p, welche von den oben berechneten für den Kreis durch drei Punkte so wenig verschieden sind, daß auch die allersorgfältigste Construction kaum im Stande ist, solche und noch größere Abweichungen von den richtigen Werthen für den letzteren Kreis zu vermeiden. Demungeachtet werden nun die Abweichungen von der normalen Umdrehungsgeschwindigkeit fühlbar andere; denn man findet nun durch die Gleichung (28) mit Textabbildung Bd. 187, S. 119 folgende zusammengehörende Werthe:       y = 1/2 p, = 3/4 p, = p,      x' = 1,7219 p, = 25/16 p, = 1,3390 p, Δφ/φ = + 0,0354, = 0, = + 0,03095 der Fehler in der Umdrehungsgeschwindigkeit wird demnach für die beiden äußersten Lagen der Schwungkugeln etwas größer als oben, da er sich auf 3 und 3 1/2 Proc. erhöht, dafür aber ist er in der Nähe der normalen Lage, und in dieser Nähe werden sich die Kugeln doch am meisten bewegen, kleiner, da er für diese Lage selbst Null wird. Aus diesen Beispielen wird man erkennen, wie viel es auf die genaue Ausführung der Construction des Kreises durch drei Punkte der Parabel ankäme. Uebrigens zeigt die Gleichung (28), daß der relative Fehler der Ordinate y verkehrt proportional ist, daß derselbe also für die ganze Bewegung der Hülse um so kleiner wird, je größer man das y₀ für die normale Lage nimmt, womit aber freilich auch b und r rasch wachsen. Was dann die weitere Ausführung betrifft, so läßt sich die vorgeschlagene „Vereinfachung des Franke'schen Regulators“ noch wesentlich mehr vereinfachen, wenn man, wie es in Fig. 10 angedeutet ist, die Arme CMK, welche die Schwungkugeln tragen, zu beiden Seiten der verticalen Welle vorbeigehen läßt, sie in solcher Weise krümmt, daß der Theil C, M derselben für die normale Lage der Hülse D horizontal gerichtet ist, und darin der verticalen Achse gegenüber einen cylindrischen Bolzen B befestigt, welcher in eine entsprechende horizontale Nuth der Hülse D eingreift, so daß die Arme CMK selbst ohne das bei der Vereinfachung des Franke'schen Regulators (auch bei dem Farcot'schen Regulator) beibehaltene Knie die Hülse D durch den Bolzen B heben und niederdrücken. Der Doppelarm CAC', welcher die Gelenke für die Arme CMK enthält, kann dann, wenn man nicht die oben besprochene bessere Einrichtung vorzieht, zugleich zur Führung dieser Arme eingerichtet werden, so daß der Arm für die Kugel rechts am rechten Arm AC gleitet, der für die Kugel links am linken Arm. Durch diese Einrichtung erspart man nicht nur die Kniestelzen mit ihren Gelenken, sie besitzt auch den Vorzug, daß die Verschiebungen der Hülse für gleiche Ausweichungen der Schwungkugeln aus der normalen Lage nahe gleich werden, und diese letztere Lage demnach auch die mittlere Lage ist, und daß der Widerstand gegen die Bewegung der Hülse immer nahe senkrecht zu den Hebelarmen bleibt, welche die Hülse bewegen. Für diese Einrichtung sind dann auch die Bedingungen für die Empfindlichkeit leicht herzustellen, was ich indessen dem sich dafür interessirenden Leser überlassen will. XII. Allen Anforderungen an einen guten Regulator genügt in der einfachsten Weise der rein parabolische Centrifugal-Regulator, wenn ihm die in den Fig. 14 und 15 dargestellte Einrichtung gegeben wird, bei welcher er die größtmögliche Genauigkeit mit der größten Einfachheit und Empfindlichkeit verbindet. Die gewöhnlichen Schwungkugeln sind hier in schwere massive cylindrische Läufer L umgewandelt, welche mit ihren gewölbten Mantelflächen zwischen abgerundeten Ansätzen auf der festen cylindrischen Bahn BAB rollen und von dieser selbst den nöthigen Druck zur Beschleunigung oder Verzögerung ihrer rotirenden Bewegung um die verticale Achse AA erhalten. Bei der rollenden Bewegung auf BAB drehen sich diese Läufer um die in die gabelförmigen Enden der Stelzen G eingeschraubten Spitzen J, welche in ihren horizontalen geometrischen Achsen ii eindringen, und die Bahn BAB ist so gekrümmt, daß sich diese Achsen in der durch Gleichung (2) ausgedrückten Parabel bab bewegen. Die Stelzen G sind an ihren oberen Enden E mit den an der beweglichen Hülse S befestigten Armen F, deren Länge so bemessen ist, daß jene Stelzen für die normale oder mittlere Lage der Läufer L vertical stehen, durch Gelenke verbunden. Endlich ist an der Welle AA auf die Länge des Weges der Hülse S eine Rippe oder Feder M angebracht, um etwaigen Drehungen dieser Hülse in Folge der Reibung, welche durch die in ihre kreisförmige Nuth eingreifende Gabel erzeugt wird, vorzubeugen. Die in die Augen springenden Vorzüge dieser Einrichtung sind folgende: 1) der Apparat ist sehr einfach; es sind auf jeder Seite der verticalen Welle AA nur zwei Drehungspunkte E und J vorhanden; 2) diese Drehungspunkte haben nur einen geringen Druck zu erleiden; denn die Normalen zur Bahn AB sind auch normal zur Parabel ab, diese Bahn AB hält also in jeder Lage des Läufers L durch ihren Widerstand der Resultirenden aus dem Gewicht und Bewegungsdruck eines Läufers das Gleichgewicht, und die Drehungspunkte J und E haben daher nur den Druck zu erleiden, welcher aus dem Widerstand gegen die Bewegung der Hülse entspringt, während bei allen anderen Regulatoren jener ganze Druck auf den Gelenken, um welche sich die Kugeln bei ihrer steigenden oder sinkenden Bewegung drehen müssen, oder wie bei dem Franke'schen Regulator auf den Zapfen der Rollen, welche die parabolische Bewegung der Kugeln vermitteln, lastet und in Folge dessen auch eine entsprechend große Reibung erzeugt; 3) aus diesem Grunde können denn auch die Arme F, die Stelzen G, die Gelenkbolzen E und die Spitzen J ziemlich schwach seyn; nur die Bahn AB erfordert eine jenem Druck entsprechende Stärke und Steifigkeit, und während 4) bei allen sonstigen Regulatoren das Moment der Reibung an jenen Gelenken mit der Vergrößerung des Gewichtes der Schwungkugeln wächst, und zwar in einem größeren Verhältniß als dieses, weil auch die Gelenkbolzen stärker werden müssen, und demzufolge die Empfindlichkeit des Regulators durch das Glied γ in der Gleichung (15) beschränkt wird, ist diese bei unserem Regulator von jenem Gewicht ganz unabhängig, da zwischen dem Läufer, dessen Wälzungskreis einen ziemlich großen Durchmesser erhalten kann, und seiner Bahn nur rollende Reibung stattfindet, welche bei gehöriger Reinhaltung der letzteren verschwindend klein ist. 5) Die Hebung und Senkung der Hülse S erfolgt unmittelbar durch die schweren Massen L und hält nahe gleichen Schritt mit der verticalen Hebung und Senkung der Achsen J derselben; die Hebung der Hülse ist etwas kleiner als die der Achse J, die Senkung etwas größer, und da die Parabel aufwärts stärker steigt, als sie abwärts fällt, so erhält die Hülse für gleiche Wege der Achse J zu beiden Seiten der normalen Lage auch nahe gleich große Verschiebungen. Die Genauigkeit unseres Regulators ist nur durch die mechanische Ausführung des Bogens AB beschränkt, die zwar nicht so leicht ist, als die Herstellung eines cylindrischen Gelenkbogens, wogegen dieser Bogen aber auch, einmal richtig hergestellt, seine Form nicht so leicht ändert, als jener Bolzen, der sich, während der Regulator im Gange ist, fortwährend einseitig abnutzt. Die Herstellung des Bogens AB kann übrigens mit großer Genauigkeit ausgeführt werden, wenn man, wie in Fig. 16 angedeutet ist, die Evolute MN der Parabel abc zu Hülfe nimmt, für welche die nothwendigen Maaße in der Figur eingeschrieben sind, und zwar in der Art, daß man nach dieser Evolute MN einen Cylinder von hartem Holz möglichst genau herstellt, an der Mantelfläche desselben in N eine gerad ausgestreckte breite aber dünne Uhrfeder, und an dieser in der entsprechenden Entfernung NC = NMA einen Reißerstift befestigt; bringt man dann diesen Apparat über dem Metallbogen an, der für den Bogen AB bestimmt ist, so wird die Spitze des Reißers bei gleichmäßiger Spannung der Feder die Curve ABC auf jenen Metallbogen viel genauer und mit größerer Stetigkeit aufreißen, als es auf andere Weise zu erreichen ist, weil der Einfluß kleiner Fehler im Bogen MN für die Beschreibung der Curve ABC ein verschwindend kleiner ist. Es dürfte dann aber nicht überflüssig seyn, nach erfolgter Ausarbeitung des Metallbogens nach jenem Risse denselben Apparat auch zum feinen Ausschlichten zu verwenden, indem man statt des Reißerstiftes nun eine cylindrische Schlichtfeile befestigt und mit dieser der Cylinderfläche ABC die letzte Vollendung gibt. Wollte man übrigens hier betreffs der Genauigkeit recht bedenklich seyn und auch den Einfluß des Gewichtes und des Bewegungsdruckes der Stelzen G beachtet sehen (das Gewicht der Hülse S und ihrer Arme F wird immer als mit dem Steuerungsapparat in's Gleichgewicht gebracht angenommen werden dürfen), so bezeichne man die Länge EJ dieser Stelzen mit l, die Entfernung ihres Schwerpunktes von E mit l', ihr Gewicht mit q, und die Länge der Arme F von der Achse AA an mit b, so hat man für den Bewegungsdruck einer Stelze auf die entsprechende Achse J den Ausdruck: Textabbildung Bd. 187, S. 122 das Gewicht der Stelze dagegen fügt sich einfach dem des Läufers hinzu und die Gleichung für den Beharrungszustand oder die Differentialgleichung der Curve, für welche der Beharrungszustand überall mit der Umdrehungsgeschwindigkeit φ stattfindet, wird nun Textabbildung Bd. 187, S. 122 die Gleichung der Curve selbst ist demnach Textabbildung Bd. 187, S. 122 also immer noch eine Parabel, deren Parameter p' zu dem Parameter p der Parabel (3) im Verhältniß von l² (P + q): Pl² + ql'² steht und sonach etwas größer ist als p, deren Achse aber nicht mehr mit der verticalen Umdrehungsachse zusammenfällt, sondern derselben parallel zur Seite liegt, in einem Abstande: Textabbildung Bd. 187, S. 122 Es bietet daher auch die Ausführung dieser vollkommen strengen Theorie, bei welcher nun nichts mehr unberücksichtigt geblieben ist, was auf den Beharrungszustand Einfluß hat, nicht mehr Schwierigkeit als die der einfachen, für welche q = 0 oder l' = l angenommen wurde, und die auf die Gleichung (3) geführt hat. Zum Schlusse erübrigt noch, die Bedingungen für die Empfindlichkeit unseres Regulators abzuleiten, wobei es genügt, die einfache Parabel zu Grunde zu legen. Sey ER Fig. 11 die Größe des halben Widerstandes 1/2 W gegen die Bewegung der Hülse, ER' = JR' die entsprechende Seitenkraft in der Richtung der um den Winkel ϑ aus der verticalen Lage gedrehten Stelze EJ, JR'' und JN die nach der Tangente und Normale zur Parabel in J gerichteten Seitenkräfte der nach J übertragenen Kraft JR', so hat man zunächst Textabbildung Bd. 187, S. 123 Ist dann wieder P das Gewicht eines Läufers, φ + Δt φ die Umdrehungsgeschwindigkeit des Regulators während der steigenden Bewegung der Läufer, und beachtet man, daß der Widerstand gegen diese Bewegung der Läufer selbst verschwindend klein ist, so hat man als die in der Richtung der Tangente auf den Läufer J wirkende Kraft: Textabbildung Bd. 187, S. 123 und mit Einführung des angenäherten Werthes = φ² (1 + 2 Δtφ/φ) statt (φ + Δtφ)², dann mit Beachtung der Bedingung für den Beharrungszustand: Textabbildung Bd. 187, S. 123 wird jene Tangentialkraft Textabbildung Bd. 187, S. 123 Die Kraft, welche den Läufer an der Achse J in Bewegung setzt, hat aber nicht bloß die Masse P/g desselben zu beschleunigen, sondern, weil dabei der Läufer sich um die horizontale Tangente an der gewölbten Mantelfläche dreht, die Masse 3/2 P/g; wenn daher v die Geschwindigkeit der Achse J ist, so wird die Bewegungsgleichung derselben Textabbildung Bd. 187, S. 123 Für den Anfang der Zeit t oder den Anfang der steigenden Bewegung von einem Beharrungszustande an, für welchen die Winkel ϑ₀ und τ₀ gelten, zieht man daraus die Bedingung: Textabbildung Bd. 187, S. 123 welche mit den Beziehungen: tang τ₀ = p/y₀ = p/(b + l sin ϑ₀) auch die Form: Textabbildung Bd. 187, S. 124 und für die unserer Construction Fig. 14 zu Grunde liegenden Maaße: b = p, l = 2p, die besondere: Textabbildung Bd. 187, S. 124 annimmt, und so zeigt, daß die Empfindlichkeit erster Art unseres Regulators durch Verminderung des Bruches: W/4P beliebig groß werden kann, und daß sie bei den gewöhnlichen Verhältnissen, wo l sin ϑ₀ immer kleiner als b seyn wird, für positive ϑ₀ etwas größer, für negative ϑ₀ etwas kleiner ist, als für die normale Lage ϑ₀ = 0. Für diese Lage hat man einfach E₁ = W/4P, und schließt aus der Vergleichung dieses Werthes mit dem Ausdruck (15) für den einfachen Regulator, daß, abgesehen von dem Gliede γ, für gleiche Werthe W und P in dem Werthe (14) von β das α = 2b werden müßte, wenn die Empfindlichkeit E₁ jenes Regulators der unseres parabolischen nahe kommen sollte. Bezüglich der Empfindlichkeit zweiter Art dagegen steht der letztere dem ersten etwas nach. Man schließt aus Fig. 11 ζ = EE₀ = x – x₀ – l (l – cos ϑ),    y = b + l sin ϑ und daraus folgen die Ableitungen: Textabbildung Bd. 187, S. 124 womit aus der Gleichung (30) das Verhältniß folgt: Textabbildung Bd. 187, S. 124 Für die normale Lage ist ϑ₀ = 0 und daher einfach E² = 4/3 cos²τ₀; dieses E₂ ist daher für die zulässigen Verhältnisse, bei denen cos²τ₀ nicht viel größer als 1/2 seyn kann, nahe = 2/3 während der Ausdruck (16) für E₂ des einfachen Regulators mit α = 2b und sin² ϑ₀ = 1/2 den Werth: 1 erhält.