Ellipsograph von Prof. V. Thallmayer in Ungarisch-Altenburg. Mit Abbildungen auf Tafel 21. Thallmayer's Ellipsograph. Einen Ellipsographen, welchem dieselbe Idee zu Grunde liegt wie jenem in D. p. J. * 1877 226 237 beschriebenen, erlaube ich mir nun in einer Form vorzuführen, die seine Verwendung auch auf dem Zeichenbrete möglich macht. Er besteht aus zwei Führungsschienen F (Fig. 1 und 2 Taf. 21), zwischen welche ein Gleitstück G eingesetzt ist. Die Bewegung dieses Gleitstückes wird durch eine Kurbelschiene K, die in einen Schlitz einspielt, hervorgebracht. In dem Gleitstücke befindet sich ein verticaler Zapfen, in dessen unteres Ende eine Zirkelschiene Z Angesteckt ist und deren Umdrehung gleichzeitig mit der Bewegung des Gleitstückes durch die Drehung der Handkurbel H veranlasst wird. Hierbei wird vom Stifte S der Zirkelschiene eine Ellipse beschrieben, was weiter unten bewiesen ist. Der Halslagerständer, welcher die Achse des horizontalen Kegelrades R und jenes Ende der wagrechten Welle W aufnimmt, auf das ein mit R gleichgrosses Kegelrad aufgesteckt wird, ist an die Führungsschienen unbeweglich befestigt. Die Horizontalwelle W ist mit ihrem andern Ende in den Bügel B gelagert, der ebenfalls auf den Führungsschienen aufruht. Die Welle W ist, mit Ausnahme jener Stellen, wo sie in Lagern läuft, von quadratischem Querschnitte und nimmt das mit einem Muff M versehene und lose aufgesteckte conische Rad C1 auf; dasselbe setzt das gleichgrosse conische Rad C2 und den verticalen Zapfen der Zirkelschiene in Bewegung. Es ist nun leicht einzusehen, dass mit dem Umdrehen der Handkurbel H die Drehung und die fortschreitende Bewegung der Zirkelschiene gleichzeitig eintreten müssen. Damit während des Verschiebens des Muffes M auf der quadratischen Welle W der richtige Eingriff der Räder C1 und C2 aufrecht erhalten bleibt, ist das Ende des Muffes als Scheibe geformt, die in eine am Gleitstücke befindliche Nase N einspielt. Der Nachweis, dass die vom Stifte S beschriebene Curve eine Ellipse ist, lässt sich leicht führen. Vorerst sei angenommen, dass in der Anfangsstellung (Fig. 3 Taf. 21) Zirkelschiene und Kurbelschiene in eine Richtung fallen. Während einer vollen Umdrehung legt der verticale Zapfen der Zirkelschiene, wenn die zur Wirkung kommende Länge der Kurbelschiene mit r1 bezeichnet wird, die geradlinige Strecke bc=2\,r_1 zurück. Nimmt man nun den Halbirungspunkt O dieser Strecke als Ursprung eines rechtwinkligen Coordinatensystemes an, dessen Abscissenachse parallel der Richtung der Führungsschienen liegt, so nähert sich, nach einer aus der Anfangslage stattgehabten Umdrehung der Kurbelschiene um den Winkel φ, der verticale Zapfen der Zirkelschiene dem Ursprünge des Coordinatensystemes auf die Entfernung dO=r_1\,cos\,\varphi und es ist dann, wie aus Fig. 3 leicht zu entnehmen, MP=y=r\,sin\,\varphi und OP=x=(r+r_1)\,cos\,\varphi. Durch Elimination der trigonometrischen Functionen des Winkels φ ergibt sich als Resultat die Gleichung einer Ellipse, \frac{x^2}{(r+r_1)^2}+\frac{y^2}{r^2}=1, deren Halbmesser r und r+r_1 betragen. Sind Kurbelschiene r1 und Zirkelschiene r in ihrer Anfangslage unter beliebigen Richtungen zu einander gekehrt, wie in Fig. 4 Taf. 21, so beschreibt der Stift der Zirkelschiene ebenfalls eine Ellipse, was im Nachfolgenden erwiesen ist. Der Winkel, den die Kurbelschiene r1 mit der Richtung der Führungsschiene einschliesst, sei α und jener, den die Richtung der Zirkelschiene mit der der Führungsschiene einschliesst, β. Nehmen wir als Abscissenachse eines schiefwinkligen Coordinatensystemes die Linie an, in welcher der Verticalzapfen der Zirkelschiene hin und her geht, und als Ordinatenachse die Linie, welche jene zwei Punkte der entstehenden Curve verbindet, die von der Abscissenachse senkrecht um die Entfernung r abstehen. Diese Punkte werden offenbar jene sein, bei welchen die Zirkelschiene senkrecht auf die Abscissenachse steht. Die Zirkelschiene übergeht aus ihrer Anfangslage in diese Stellung nach Vollführung einer Drehung um den Winkel 90-(360-\beta) und es ist dann der Vertical zapfen der Zirkelschiene um das Stück dc=r_1\,sin\,(\alpha+\beta)-r_1\,cos\,\alpha=ap vom Punkte a aus auf der Abscissenachse vorgerückt. Errichtet man nun im Punkte p eine Senkrechte auf die Abscissenachse, bis sie die zu letzterer in der Entfernung r parallel gezogene Linie PN im Punkte P schneidet, so ist P offenbar ein Punkt der Curve, welcher von der Abscissenachse senkrecht um die Entfernung r absteht. Der zweite analoge Punkt der Curve findet sich ähnlich wie der erste, wenn man von a aus die Entfernung r_1\,cos\,\alpha+r_1\,sin\,(\alpha+\beta) bis zum Punkte q abträgt, dort eine Senkrechte auf die Abscissenachse errichtet und ihren Durchschnittspunkt Q mit der zur Abscissenachse parallelen Linie QR bestimmt. Nehmen wir nun den Halbirungspunkt der Strecke pq als Anfangspunkt des vorhin erwähnten schiefwinkligen Coordinatensystemes, dessen Coordinatenwinkel mit Δ bezeichnet sein möge, an, so steht nach einer Drehung um den Winkel φ die Zirkelschiene um den Winkel 360-\beta+\varphi von der Abscissenachse ab; die Strecke, um welche sich der Vertical zapfen der Zirkelschiene vom Anfangspunkte des Coordinatensystemes entfernt hat, ist Og=bf=r_1\,cos\,(\alpha+\varphi) und M ein Punkt der Curve, dessen Ordinate MS=y, die Abscisse OS=x. Errichtet man dann vom Punkte M eine Senkrechte Ml auf die Abscissenachse, so ist y\,sin\,\Delta=r\,sin\,(\beta-\varphi) und x=y\,cos\,\Delta+r\,cos\,(\beta-\varphi)-r_1\,cos\,(\alpha+\varphi). Behufs Elimination der trigonometrischen Functionen des Winkels φ aus diesen Gleichungen hat man aus der ersten sin\,(\beta-\varphi)=\frac{y\,sin\,\Delta}{r} und daraus: sin\,\varphi=-\frac{y\,cos\,\beta\,sin\,\Delta}{r}+sin\,\beta\sqrt{1-\frac{y^2\,sin^2\Delta}{r^2}} und cos\,\varphi=\frac{y\,sin\,\beta\,sin\,\Delta}{r}+cos\,\beta\sqrt{1-\frac{y^2\,sin^2\Delta}{r^2}}. Löst man in der zweiten Gleichung cos\,(\alpha+\varphi) in seine zwei Glieder auf und setzt darin die eben gefundenen Werthe von sin φ und cos φ, sowie jenen von cos\,(\beta-\varphi) ein, so erhält man die Gleichung x=y\,cos\,\Delta-\frac{r_1\,y\,sin\,(\alpha+\beta)\,sin\,\Delta}{r}+\sqrt{1-\frac{y^2\,sin^2\Delta}{r^2}}\,[r+r_1\,cos\,(\alpha+\beta)]x=y\,cos\,\Delta-\frac{r_1\,y\,sin\,(\alpha+\beta)\,sin\,\Delta}{r}+\sqrt{1-\frac{y^2\,sin^2\Delta}{r^2}}\,[r+r_1\,cos\,(\alpha-\beta)]. Nun ist sin\,\Delta=\frac{Pp}{OP},\ cos\,\Delta=\frac{Op}{OP} und da bc=op=r_1\,sin\,(\alpha+\beta) ist, auch: sin\,\Delta=\frac{r}{\sqrt{r^2+{r_1}^2\,sin^2(\alpha+\beta)}} und cos\,\Delta=\frac{r_1\,sin\,(\alpha+\beta)}{\sqrt{r^2+{r_1}^2\,sin^2(\alpha+\beta)}}. Diese Werthe in obige Gleichung eingeführt, geben ihr nach einfacher Reduction die Form: \frac{x^2}{[r+r_1\,cos\,(\alpha+\beta)]^2}+\frac{y^2}{r^2+{r_1}^2\,sin^2\,(\alpha+\beta)}=1,\frac{x^2}{[r+r_1\,cos\,(\alpha-\beta)]^2}+\frac{y^2}{r^2+{r_1}^2\,sin^2\,(\alpha+\beta)}=1, die Gleichung einer Ellipse, bezogen auf die conjugirten Halbmesser r+r_1\,cos\,(\alpha+\beta)r+r_1\,cos\,(\alpha-\beta) und \sqrt{r^2+{r_1}^2\,sin^2\,(\alpha+\beta)}. Schliesslich noch die Bemerkung, dass der Stift S auch dann noch Ellipsen beschreibt, wenn die als ruhend angenommene Unterlagsfläche durch die Kreis- oder Ellipsendrehung einer Kurbelwarze in geradlinig schwingende Bewegung versetzt würde.