Zur Theorie der Schraubenventilatoren. Mit einer Abbildung. Einbeck, zur Theorie der Schraubenventilatoren. Da bei Ventilationsanlagen im Allgemeinen die Luft mit möglichst geringer Geschwindigkeit in die zu lüftenden Räume eintreten soll, so sind zu einem solchen Zwecke, da die Widerstände, welche sich der Bewegung der Luft entgegen stellen, mit der Pressung zunehmen, unter welcher die Luft sich befindet, zweckmäſsiger Weise solche Ventilatoren anzuwenden, welche jede unnütze Zusammenpressung der Luft vermeiden. Die Flügel Ventilatoren führen die zu fördernde Luftmenge durch einen verhältniſsmäſsig sehr engen Ausströmungsquerschnitt und ist in Folge der dadurch nöthigen bedeutenden Geschwindigkeit der ausströmenden Luft bezieh. in Folge der Pressung, unter welche die Luft gebracht werden muſs, um eine derartige Geschwindigkeit anzunehmen, für Flügelventilatoren eine erheblich gröſsere Betriebskraft erforderlich als für Schraubenventilatoren, bei welchem die Pressung der Luft hinter dem Ventilator nur der Druckhöhe entsprechen muſs, welche die Widerstände der durch die Leitungskanäle getriebenen Luft zu überwinden im Stande ist. In Folgendem soll der für eine bestimmte Leistung eines Schraubenventilators erforderliche Arbeitsaufwand theoretisch berechnet werden. Es möge die Summe aller Widerstandshöhen der in den Leitungskanälen vor und hinter dem Ventilator sich bewegenden Luft gleich H berechnet worden sein und sei die dieser Zahl H entsprechende theoretische Geschwindigkeit V=\sqrt{2\,g\,H}. Die in der Secunde zu fördernde Luftmenge sei Q, die Winkelgeschwindigkeit des Ventilators = ω. Die Flächen der Ventilatorschaufeln sind Schraubenflächen, deren Erzeugende durch die Achse des Ventilators gelegt ist, und sind die Schaufeln so gestellt, daſs eine jede um ihre Steighöhe in der Richtung der Ventilatorachse nach vorwärts gerückt, die Fortsetzung der einen Nachbarschaufel bildet. Wenn man sich daher eine Schaufel um ihre Steighöhe, die nächste, deren Fläche alsdann nicht der Anfang der Schraubenfläche der ersten ist, um die doppelte Steighöhe, die weitere um die dreifache Steighöhe u.s.f. nach vorwärts geschoben denkt, so bilden die Flächen der sämmtlichen Schaufeln eine einzige fortlaufende Schraubenfläche, für welche die Erzeugende einen Winkel = 2 π beschrieben hat. Die dieser einen Schraubenfläche entsprechende Steigung sei gleich h. Da eine Kraft in ihrer eigenen Richtung verlegt werden kann, ohne daſs ihre Wirkung geändert wird, so leistet ein Schraubenventilator mit einer fortlaufenden Schaufel dasselbe als ein solcher, bei dem diese eine Schaufel in mehrere zertheilt ist, welche, wie oben beschrieben, in der Richtung der Ventilatorachse zurück geschoben sind. Der weiteren Betrachtung sei ein Ventilator mit einer fortlaufenden Schaufel zu Grunde gelegt. Die Achse desselben sei AA. Es möge die Schaufel durch eine Cylinderfläche geschnitten werden, deren Achse mit der des Ventilators zusammenfällt und dessen Radius gleich x ist. Die Schnittlinie dieses Cylinders mit der Schaufelfläche ist eine Schraubenlinie, deren Steigung gleich h. Die Tangente des Steigungswinkels ist bekanntlich tg\,\varphi=\frac{h}{2\,x\,\pi}. Textabbildung Bd. 240, S. 332 Die Erzeugende des in der Schraubenlinie liegenden Punktes C der Schraubenfläche ist: CB = x Während des Betriebes des Ventilators wirken zwei Kräfte auf den Punkt C, die eine entsprechend der theoretischen Geschwindigkeit V, deren Gröſse durch die zur Ueberwindung der Leitungswiderstände nöthige Pressung der Luft bedingt ist, die andere entsprechend der wirklichen Geschwindigkeit v = ωx des Punktes C, welche die Trägheit der in Bewegung zu setzenden Luft überwinden soll. V wirkt in der Richtung der Achse des Ventilators, v in der Richtung der Tangente an den durch C gelegten Normalschnittkreis des Cylinders. Da x sowohl auf F, als auch auf v senkrecht ist, so steht es auch senkrecht auf die durch V und v gelegte Ebene, welche die Tangentialebene des Cylinders ist. Legt man in dieser durch den Punkt C eine Tangente DE an die Schraubenlinie, so bildet diese mit der Richtung von v den Winkel φ. DE ist zugleich eine Tangente an die Schraubenfläche, eine zweite Tangente an dieselbe ist die Erzeugende CB; somit ist die durch OB und DE gelegte Ebene eine Tangentialebene an die Schraubenfläche im Punkte C. Die in diesem Punkte errichtete Normale CF zur Schraubenfläche muſs sowohl auf CB, als auf DE senkrecht stehen; folglich fällt CF in die Tangentialebene des Cylinders, also in eine Ebene mit V und v. Da CF ⊥ DE, V ⊥ v und < vCE = φ, so ist auch < VCF = φ. Die Summe der Normalpressungen auf die Schaufel im Punkte C wird daher ausgedrückt durch: \frac{(V\,cos\,\varphi)^2+(v\,sin\,\varphi)^2}{2\,g}\,\gamma, wenn γ das specifische Gewicht der Luft ist. Dieser Normaldruck wird mit der Geschwindigkeit v sin φ überwunden. Die Länge der Schraubenlinie ist \frac{2\,x\,\pi}{cos\,\varphi}, somit ist der Inhalt der Flächenelemente \frac{2\,x\,\pi}{cos\,\varphi}\,d\,x. Es berechnet sich daher das Arbeitselement zu: d\,L =\frac{(V\,cos\,\varphi)^2+(v\,sin\,\varphi)^2}{2\,g}\,\gamma\,\frac{2\,x\,\pi}{cos\,\varphi}\,v\,sin\,\varphi\ d\,x. =\frac{V^2+(v\,tg\,\varphi)^2}{2\,g}\,cos^2\,\varphi\,\gamma\,2\,x\,\pi\,\omega\,x\,tg\,\varphi\ d\,x. Nun ist 2\,x\,\pi\,tg\,\varphi=h und cos^2\,\varphi=\frac{1}{1+tg^2\,\varphi}, somit: d\,L=h\,\omega\,\gamma\,\frac{V^2+v^2\,tg^2\,\varphi}{2\,g\,(1+tg^2\,\varphi)}\ x\ d\,x. Es ist ferner v\,tg\,\varphi=\omega\,x\,tg\,\varphi=\frac{h\,\omega}{2\,\pi}= der Geschwindigkeitscomponente in der Richtung der Ventilatorachse, somit die der zu bewegenden Luft ertheilte Geschwindigkeit; dieselbe ist, wie obige Gleichung zeigt, für verschiedene x constant und soll mit C bezeichnet werden. Demnach ist: h\,\omega=2\,\pi\,C und tg\,\varphi=\frac{C}{v}=\frac{C}{\omega\,x}, folglich: d\,L=2\,\pi\,C\,\gamma\,\frac{V^2+C^2}{2\,g\,\left[1+\left(\frac{C}{\omega\,x}\right)^2\right]}\ x\ d\,x=\frac{\pi\,\gamma\,C}{g}\,(V^2+C^2)\,\frac{x^3}{x^2+\left(\frac{C}{\omega}\right)^2}\ d\,x. Es sei: \frac{C}{\omega}=m, so ist: L=\frac{\pi\,\gamma\,C}{g}\,(v^2+C^2)\,\int_{x=r_0}^{x=r_1}\frac{x^3}{x^2+m^2}\ d\,x,\ \int_{x=r_0}^{x=r_1}\frac{x^3\ d\,x}{x^2+m^2}=\int_{x=r_0}^{x=r_1}\,\left(x-\frac{x\,m^2}{x^2+m^2}\right)\ d\,x, somit: L=\frac{\pi\,\gamma\,C}{2\,g}\,(V^2+C^2)\,\left(({r_1}^2-{r_0}^2)-m^2\,l\,\frac{{r_1}^2+m^2}{{r_0}^2+m^2}\right). Der dem äuſseren und inneren Radius entsprechende Steigungswinkel sei φ1 bezieh. φ0; dann ist aus der Gleichung tg\,\varphi=\frac{C}{\omega\,x} der Werth r_0=m\ cotg\,\varphi_0. Es erscheint vortheilhaft, den Steigungswinkel nicht gröſser als 45° zu nehmen; setzt man daher φ0 = 45°, so ist r0 = m. Macht der Ventilator in der Minute n Touren, so ist \omega=\frac{2\,\pi\,n}{60}, folglich m=\frac{C}{\omega}=\frac{60\,C}{2\,\pi\,n}. Im Allgemeinen kann angenommen werden, daſs diejenigen Ventilatoren, welche mit gröſserer Tourenzahl arbeiten, auch der zu bewegenden Luft eine entsprechend gröſsere Geschwindigkeit ertheilen können. Es möge daher der Verhältniſszahl m für alle Ventilatoren ein bestimmter Werth gegeben werden, und zwar sei derselbe zu m = 0,15 festgestellt. Demnach ergibt sich für: n = 100 ω = 10,5 C = 1,575 n = 200 ω = 21 C = 3,15 n = 300 ω = 31,5 C = 4,725. Wenn nun in obige Gleichung für L die Werthe eingeführt werden: m = 0,15, r0 = 0,15, n = 3,14, γ = 1,29 und g = 9,81, so ergibt sich, wenn wir r1 = r setzen: L=0,207\,C\,(V^2+C^2)\,\left[r^2-0,0225\,\left(1+l\,\frac{r^2+0,0225}{0,045}\right)\right]=C\,(V^2+C^2)\,f\,(r). Folgende Tabelle gibt die verschiedenen Werthe von f(r) für r = 0,3 bis 1m,5: r = f (r) r = f (r) r = f (r) 0,3 0,01025 0,8 0,115 1,3 0,3284 0,4 0,022 0,9 0,149 1,4 0,3834 0,5 0,0388 1,0 0,1878 1,5 0,443 0,6 0,0599 1,1 0,230 0,7 0,0858 1,2 0,277 Wenn der Ventilator die Luft frei ansaugt und frei austreten läſst, so ist V = 0 und L = f(r) C3. Danach bestimmt sich L für: r C = r C = 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0,3 0,01025 0,082 0,277 0,656 1,28125 1,0 0,1878 1,5024 5,076 12,032 23,475 0,4 0,022 0,176 0,594 1,408 2,75 1,1 0,230 1,840 6,21 14,72 28,75 0,5 0,0388 0,3104 1,053 2,482 4,85 1,2 0,277 2,216 7,479 17,628 34,625 0,6 0,0599 0,48 1,62 3,84 7,5 1,3 0,3284 2,6272 8,90 20,818 41,05 0,7 0,0858 0,6864 2,322 5,504 10,752 1,4 0,3834 3,0672 10,35 24,538 47,915 0,8 0,115 0,92 3,105 7,36 14,375 1,5 0,443 3,544 11,961 28,352 55,375 0,9 0,149 1,192 4,05 19,536 18,605 Die in der Secunde geförderte Luftmenge Q berechnet sich theoretisch nach der Gleichung Q = G (r2 – 0,152) n und ist danach folgende Tabelle für Q zusammengestellt: r C = r C = 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0,3 0,213 0,425 0,638 0,851 1,063 1,0 3,072 6,144 9,216 12,288 15,360 0,4 0,433 0,865 1,297 1,730 2,163 1,1 3,731 7,462 11,193 14,924 18,655 0,5 0,715 1,431 2,146 2,862 3,577 1,2 4,454 8,908 13,362 17,816 22,270 0,6 1,061 2,122 3,183 4,244 5,305 1,3 5,239 10,678 15,717 20,956 26,195 0,7 1,469 2,938 4,467 5,876 7,345 1,4 6,086 12,172 18,258 24,344 30,430 0,8 1,941 3,882 5,823 7,764 9,705 1,5 6,999 13,998 20,997 27,996 34,995 0,9 2,745 4,950 7,425 9,900 12,375 Durch Division der einzelnen Werthe von L durch die entsprechenden von Q erhält man die Anzahl Kilogramm-Meter, welche 1cbm in der Secunde zu fördernder Luft für die verschiedenen Verhältnisse beansprucht. Diese Werthe sind in folgender Tabelle zusammengestellt: r C = r C = 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0,3 0,046 0,19 0,43 0,77 1,21 1,0 0,061 0,24 0,55 0,98 1,52 0,4 0,051 0,20 0,45 0,81 1,27 1,1 0,062 0,25 0,55 0,99 1,54 0,5 0,054 0,21 0,49 0,86 1,35 1,2 0,062 0,25 0,56 1,00 1,56 0,6 0,056 0,22 0,51 0,90 1,41 1,3 0,063 0,25 0,56 1,00 1,57 0,7 0,058 0,23 0,52 0,93 1,46 1,4 0,063 0,25 0,57 1,01 1,58 0,8 0,059 0,24 0,53 0,95 1,48 1,5 0,063 0,25 0,57 1,01 1,58 0,9 0,060 0,24 0,54 0,96 1,50 Hieraus geht in der klarsten Weise hervor, wie wichtig es ist, die Geschwindigkeit der Luft möglichst gering anzunehmen. Wären z.B. 7cbm in der Secunde zu fördern, so berechnen sich für verschiedene Werthe von C die entsprechenden Radien und die theoretisch erforderliche Arbeit für: C = 1 2 3 4 5 r = 1,5 1,00 0,9 0,8 0,7 L = 0,441 1,75 3,78 6,65 10,22 und verhalten sich die letzteren Werthe wie 1 : 4 : 8,5 : 15 : 23. Wird die Luft mittels des Ventilators durch Kanäle getrieben, so daſs für die Berechnung von L die Geschwindigkeit V mit zu berücksichtigen ist, so ist zu obigen Werthen von C3 f(r) noch das Glied G V2 f(r) zu addiren. Bei constant bleibendem V nimmt dasselbe proportional mit C zu; es wird sich daher bei einigermaſsen bedeutendem V der Einfluſs eines groſsen Werthes von C nicht in der Weise geltend machen, als wenn V = 0 ist; immerhin jedoch ist dieser Einfluſs noch groſs genug, um den Werth C nach Möglichkeit klein annehmen zu lassen. Bei obigen Berechnungen sind die Zapfenreibung und die Widerstände der Luft beim Durchgang durch den Ventilator unberücksichtigt geblieben; ebenso ist der bei der Bestimmung der geforderten Luftmenge angenommene Nutzeffect des Ventilators zu 100 Proc. sehr bedeutend zu hoch angenommen. Die sonstigen praktischen Erfahrungen jedoch sprechen dafür, daſs die Berücksichtigung dieser Factoren den für je 1cbm in der Secunde zu fördernde Luft nöthigen Arbeitsaufwand bei zunehmender Geschwindigkeit in noch höherem Maſse wachsend erscheinen lassen werden, als schon oben erwiesen. Die genauere Bestimmung der Coefficienten, welche die Werthe der oben theoretisch berechneten Leistung der Schraubenventilatoren und des hierfür erforderlichen Arbeitsaufwandes zu den der Wirklichkeit entsprechenden umformt, möge der Praxis vorbehalten sein. Bevor genauere Versuche gemacht sind, von denen wir hoffen, daſs sie uns in Bälde vorliegen werden, möchten wir nach den bis heut gemachten Erfahrungen rathen, zu setzen: Q=0,5\,C\,({r_1}^2-0,15^2)\,\pi und L=1,5\,C\,(V^2+C^2)\,f\,(r). Berlin, April 1881. J. Einbeck.