Beiträge zur Geschichte, Theorie und Praxis der Zeicheninstrumente, insbesondere der Ellipsographen; von Prof. Ernst Fischer. (Fortsetzung der Abhandlung S. 188 d. Bd.) Mit Abbildungen auf Tafel 14 und 20. Ernst Fischer, über Zeicheninstrumente. An Linealinstrumenten sind nun zunächst zwei Constructionen zu erwähnen, welche zur Dreitheilung eines Winkels dienen und von D. Matte und Warren-Holden im Scientific American, 1877 Bd. 36 S. 36 mitgetheilt wurden. Die eine Lösung Fig. 22 Taf. 14 ist auf den ersten Blick verständlich; die Breiecke 1 2 3 und 2 3 4 sind gleichschenklig, der Winkel 2 1 3 oder der demselben gleiche doc ist gleich ⅓abc. Der Gebrauch des Instrumentes ist folgender: abc sei der gegebene Winkel, von welchem der dritte Theil gewünscht wird; man verlängere den Schenkel bc in der Richtung nach o, lege das mit C bezeichnete Lineal an die Linie ba an, halte das Instrument mit einer Hand fest und bringe mit der anderen Hand das Ende des Lineales A in die verlängerte Geradere, so ist od die gewünschte Richtung. Bei der anderen Lösung besteht der Apparat aus einem Paare zusammengesetzter Zirkel mit 4 Beinen, welche so mit einander verbunden sind, daſs in jeder Stellung des Zirkels das zweite Bein den Winkel halbirt, welcher durch das erste und dritte Bein gebildet wird, während gleichzeitig das dritte Bein den Winkel halbirt, welchen das zweite und vierte Bein mit einander einschlieſsen; auf diese Weise wird der Winkel zwischen dem ersten und vierten Beine in 3 gleiche Theile getheilt. In Fig. 21 Taf. 14 sind OG, OH, OJ und OK die 4 Beine des Zirkels. AE, CE, BF und DF sind stangenförmige Verbindungsglieder, drehbar und feststellbar in A, B, C und D, verbunden mittels Stiften in E und F, welche in Schlitzen der Beine OH und OJ gleiten können. In den Dreiecken OAE und OCE ist OA = OC, AE = CE und OE ist gemeinschaftlich; folglich ist Winkel GOH = Winkel HOJ. In derselben Weise findet sich, daſs Winkel HOJ = Winkel JOK ist. Es sind daher die 3 Winkel einander gleich. Man hat also beim Gebrauche des Instrumentes nur die Seiten OG und OK auf die Schenkel des gegebenen Winkels zu legen, die Punkte H und J zu markiren, schlieſslich HO und JO zu ziehen. Diese Construction setzt eine Methode der Dreitheilung eines Winkels voraus durch zwei Paare von parallelen Linealen (vgl. Fig. 20 Taf. 14). Mache OA = OD und mit derselben Gröſse als Radius und den Mittelpunkten A und D beschreibe zwei Bögen. Der Punkt E auf der Linie OH wird durch den einen Bogen gefunden und der Punkt F auf der Linie OJ durch den anderen. Steche Nadeln in O, A und E, bringe die inneren Kanten des Parallelogrammlineales LMNP gegen die Nadeln in A und O, in der gleichen Weise das Parallellineal QRST an die Nadeln in O und D, bewege dann die Lineale, dieselben gegen die Nadeln haltend, herum, bis LP die Linie QT auf dem einen und MN die Linie RS auf dem anderen der zuerst beschriebenen Bögen schneidet, ziehe hierauf die Gerade längs QT und MN, womit der Winkel dreigetheilt sein wird. Es ist leicht einzusehen, daſs LP und RS sich auch auf der Halbirungslinie des gegebenen Winkels schneiden, eine Wahrheit, welche als gute Probe dienen kann, wenn man die Lineale in die gewünschte Stellung bringt. Ergänzt man in dieser Weise die Parallelogramme OAEC und ODFB der ersten Figur 21 Taf. 14, so ist der Beweis derselbe. Auch der sogen. Polysecteur von Matton gehört zu dieser Gruppe von Apparaten- wir beschränken uns hier nur auf die betreffenden Veröffentlichungen hinzuweisen: Polysecteur et Polysectrices par Louis-Pierre Matton (Lyon 1878). Le Bisegment. Principe nouveau de Geometrie curviligne par Louis-Pierre Matton (Lyon 1876). Quadrature de tous les polygones réguliers, depuis le triangle équilatérales, jusqu'au polygone d'un nombre infini de côtés, par Louis-Pierre Matton (Lyon 1877). An die bisher betrachteten Apparate reihen sich nun die bekannten Parallellineale mit sich kreuzenden oder mit parallelen Verbindungsgliedern und an diese die Perspectivlineale, welche dazu dienen, Gerade nach unzugänglichen Fluchtpunkten zu ziehen, und die nunmehr einer näheren Betrachtung unterzogen werden sollen. Unter den Apparaten zum perspectivischen Zeichnen nehmen die sogen. Fluchtpunktlineale, auch Perspectivlineale genannt, unser Interesse besonders in Anspruch und zwar scheint uns als vorzüglich beachtenswerth das vom Maler Streckfuſs in Berlin sinnreich construirte und einfachste derartige Instrument.Das Lineal wird in ganz vorzüglicher Ausführung von der Mechanischen Werkstätte Eduard Preißinger in München geliefert. Das von Streckfuß erfundene Perspectivlineal, welches zum Ziehen von Fluchtlinien nach unzugänglichen Verschwindungspunkten dient und das besonders bei der Anfertigung von architektonischen Perspectivzeichnungen in schräger Ansicht vorzügliche Dienste leistet, beruht auf folgenden einfachen geometrischen Prinzipien: 1) Läſst man zwei im Punkte D (Fig. 17 Taf. 14) fest verbundene Winkelschenkel an zwei fixen Punkten B und C (z.B. an in ein Reiſsbrett eingeschlagenen Stiften) gleiten, so beschreibt der Scheitel D einen Kreisbogen BDC; denn durch drei gegebene Punkte kann man nur einen Kreis beschreiben (hier den Kreis BDCF). In diesem Kreise ist der Winkel BDC Peripheriewinkel auf dem Bogen CFB und, da sich beim Gleiten der Winkelschenkel an den Stiften B und C weder der Winkel BDC, noch der Bogen CFB ändert, so muſs – nach dem Satze: Peripheriewinkel auf gleichen Bögen sind einander gleich – der Punkt D sich nothwendiger Weise auf dem Kreise BDCF bewegen. 2) Verbindet man nun mit den ursprünglich betrachteten zwei Winkelschenkeln noch einen dritten solchen Schenkel fest im Punkte D (vgl. Fig. 18 Taf. 14), so schneidet dieser beim Gleiten der beiden ersten Schenkel an B und C den Kreis immer in ein- und demselben Punkte F; denn die Winkel BDF und CDF sind Peripheriewinkel und bleiben beim Gleiten der beiden Schenkel B und C immer dieselben; es muſs also Punkt F, da ja gleiche Peripheriewinkel auf gleichen Bögen stehen und die Punkte B und C festliegen, auch immer an ein und derselben Stelle der Kreislinie sich befinden. Liegt der dritte Schenkel nach der entgegengesetzten Richtung, wie DA in Fig. 19 Taf. 14, also auſserhalb des Kreises, so geht natürlich dessen Verlängerung, beim Gleiten der beiden ersten Schenkel an B und C, immer durch einen und denselben Punkt F des Kreisumfanges. Ist nun, wie in Fig. 23 Taf. 14 angenommen, ein Gebäude in schräger Ansicht in Perspective zu setzen, und es fällt z.B. der rechts liegende Fluchtpunkt Fr für die wagerechten Linien des Bauwerkes über das Reiſsbrett hinaus, so denkt man sich durch Fr mit dem Mittelpunkte M auf dem Horizonte einen Kreis so gelegt, daſs derselbe den Horizont in einem auf das Reiſsbrett und nahe an den Rand desselben fallenden zweiten Punkt D schneidet. Hierauf bestimmt man sich zwei weitere Punkte dieses Kreises B und C symmetrisch zum Horizonte so, daſs sie noch auf das Reiſsbrett zu liegen kommen, indem man CE = BE als mittlere geometrische Proportionale zu den bekannten Strecken DE und EFr berechnet. Es sei beispielsweise die Entfernung vom Augpunkte A bis zum unzugänglichen Fluchtpunkte Fr = 300m und der Augpunkt A liege vom Randpunkte R des Reiſsbrettes (natürlich im Maſsstabe der Zeichnung gemessen) 200m entfernt, so daſs also RFr = 100m ist. Man lege nun durch Fr, wie vorhin angegeben, einen Kreis, etwa mit dem Durchmesser DFr = 120m, wodurch DR = 20m wird. Nimmt man nun z.B. DE = 18m (also EFr = 102m), so hat man: DE : CE = CE : EFr (oder auch: DE : BE = BE : EFr) also: 18 : CE = CE : 102 und daraus C\,E=\sqrt{18\,\times\,102}=42^m,84=B\,E. Fällt hierbei einer dieser Punkte, B oder C, über das Brett hinaus, so muſs man DE oder etwa auch DFr und DE entsprechend kleiner annehmen. Die drei geradlinigen Arme des Perspectivlineals sind nun nach Form und Gröſse vollständig gleich angefertigt; aber sie sind so zusammengestellt, daſs das obere und das untere sich decken, das dazwischen liegende jedoch zu beiden Seiten entgegengesetzt liegt. Zum Ziehen der Fluchtlinien nach dem unzugänglichen Punkte wird immer das untere Lineal benutzt und zwar dessen innere, durch den Mittelpunkt des kreisförmigen Linealanfanges gehende Kante, In dem vorliegenden Falle wird man nun den Punkt D auf dem Horizonte markiren, dann in den Punkten B und C (auſsen an den gedachten Kreis berührend) zwei Stifte einschlagen und die drei Lineale mittels des demselben beigegebenen Schlüssels so feststellen, daſs das untere mit seiner inneren Kante am Horizonte, die beiden oberen mit ihren äuſseren Kanten an den beiden Stiften anliegen und der Schnittpunkt dieser drei Kanten über den Punkt D zu liegen kommt. Die rückwärtige Verlängerung der inneren Kante des unteren Lineals geht dann, während die beiden oberen Lineale an den zwei Stiften gleiten, immer durch den unzugänglichen Fluchtpunkt Fr und die Kante AD halbirt den Winkel BDC. Der vorstehend betrachtete Fall gilt, wenn der Horizont nicht zu weit aus der Mitte des Reiſsbrettes zu liegen kommt. Rückt jedoch der Horizont nahe an den oberen oder unteren Rand des Brettes, so bestimmt man die Punkte B und C nicht mehr symmetrisch zum Horizonte, sondern so, daſs sie sich eben wieder möglichst an den Rändern des Brettes befinden, und schlägt die beiden oberen Lineale durch, so daſs nicht deren äuſsere, sondern ihre inneren Kanten an den Stiften gleiten. Der Schnittpunkt D der drei Winkelschenkel fällt dann mit dem Mittelpunkte des kreisförmigen Linealanfanges zusammen und man hat durch den auf dem Horizonte markirten Schnittpunkt D einen kleinen Kreis vom Durchmesser des scheibenförmigen Linealanfanges zu verzeichnen, um die drei Lineale mittels des Schlüssels richtig einstellen zu können (vgl. Fig. 24 Taf. 14). Das vom Architekten K. W. Ellersdorfer in München abgeänderte Schloſs des Streckfuß'schen Perspectivlineales gestattet die Benutzung zum Ziehen von Fluchtlinien nach einem links liegenden unzugänglichen Verschwindungspunkte F1, ohne daſs man das Lineal aus einander zu nehmen braucht, indem man dasselbe einfach umkehrt, so daſs das für einen Fr oben befindliche Lineal jetzt nach unten zu liegen kommt, wobei wieder dessen innere Kante zum Ziehen der Fluchtlinien benutzt wird. Die Berechnungsweise der nöthigen Punkte, sowie das Einstellen der Linie bleiben natürlich unverändert, ob nun der unzugängliche Fluchtpunkt links oder rechts vom Augenpunkte gelegen ist. Ein einfaches, gut brauchbares Fluchtpunktlineal hat Prof. ThibaultVgl. Thibault: Linien-Perspective, deutsch von Reindel, Direktor der Kunstschule zu Nürnberg, 1834 S. 118 ff. in Paris (1798) erdacht und eingeführt- derselbe bezeichnet es als ein Instrument, womit auf mechanische Weise in einem Bilde, ohne dessen Grenzen zu überschreiten, zusammenlaufende Linien, deren Verschwindungspunkt unzugänglich ist, gezogen werden können. Das Instrument ist nur auf wagerechten Flächen anwendbar. Fig. 2 Taf. 20 zeigt den geometrischen Satz, auf welchem dieses Instrument beruht. Man ersieht daraus, daſs, wenn zwei Linien DE und de als die Bahn von zwei ähnlichen Dreiecken DEA und deA in zu einander proportionale Theile getheilt werden, die Verbindungslinien – wie Ji und Ll – sich auf die gemeinschaftliche Spitze A der Dreiecke hinziehen. Das Gleiche findet statt in Bezug auf die zu einander ähnlichen Bögen FGE und fge. Fig. 1 Taf. 20 stellt das Instrument im verjüngten Maſsstabe dar, mit dem an den beiden Seitenarmen dergestalt angebrachten Lineale, und es erklärt sich hieraus die Art und Weise, wie man damit Linien, welche in einem rechts liegenden Fluchtpunkte zusammenlaufen, ziehen kann. Das vorliegende Instrument besteht also aus einem Parallelogramme DFdf, dessen bewegliche Seiten sich mittels an den Ecken angebrachter Gelenke drehen; es ist zusammengesetzt aus einem Lineale, welches zur Grundlage dient und an dessen Enden die beiden gleich langen Arme DF und df angebracht sind; in einiger Entfernung von dem Lineale in den Punkten D und d können sich die Arme ungehindert zusammenlegen. Diese Arme sind unter sich durch einen Querarm Ff, welcher an ihren oberen Enden durch zwei Gelenke verbunden ist, parallel zusammengehalten. Mittels der vier Gelenke läſst sich das Instrument längs einer geraden Linie ausstrecken. Jeder Seitenarm hat einen Falz oder eine Rinne mit übergreifenden Rändern; dieselben sind bei dem einen Arme auf der äuſseren Seite, bei dem anderen auf der inneren Seite angebracht und dienen zum Festhalten zweier kleinen Schieber; diese letzteren sind aus drei Stücken zusammengesetzt: das erste, im Falze oder in der Rinne befindlich und durch die überstehenden Ränder gehalten, hat eine aus dem Falze hervorragende Schraube; das zweite Stück besitzt einen auf den Rändern aufliegenden Querstift; dieser Stift ist ein Theil eines Cylinders mit kreisförmiger Basis, auf seiner Achse von einem sehr kurzen Halbmesser abgeschnitten, der nicht mehr als den vierten Theil des Kreises seiner Basis enthalten soll; das dritte Stück ist eine Schraubenmutter, um den Stift auf dem Arme anzudrücken und denselben an beliebiger Stelle zu befestigen. Diese Stifte dienen zur Anlage eines beweglichen Lineales. Da das Instrument sowohl auf der einen, als auch auf der anderen Seite gebraucht werden soll, je nachdem die damit zu ziehenden Linien rechts oder links zusammenlaufen, so müssen die Stifte der Schieber auf beiden Seiten über die Dicke der Arme so viel hervorstehen, daſs sich noch das anzulegende Lineal, frei und ohne anzustreifen, unter ihnen bewegen kann; ihre Achsen müssen gegen das Lineal gewendet sein, welches sie beim Gebrauche immer berühren sollen. Die Achsen der Gelenke, welche an dem feststehenden Theil der Seitenarme angebracht sind, sollen von dem Lineale der Basis wenigstens um so viel gleich weit entfernt sein, als die Breite des beweglichen Lineals beträgt, damit dessen Rand, der zur Ziehung der verlangten Linien dient, sich leicht unter die Achsen der Gelenke, welche immer auf eine der gegebenen Linien treffen sollen, anlegen könne. Die Länge der beweglichen Theile der Seitenarme von der Achse der Gelenke bis zum oberen Ende soll etwas weniger betragen, als ihre gegenseitige Entfernung, damit, wenn sie sich beim Gebrauche zusammenlegen, derjenige Theil, welcher sich innerhalb des Instrumentes befindet, ohne Hinderniſs die gegebene Linie erreichen könne. Einer dieser Arme, derjenige, an welchem sich der Falz auſsen befindet, soll auf dieser Seite einen Anhaltepunkt haben, damit der Arm sich nicht weiter als bis zu einer Senkrechten zur Basis öffnen kann. Der Querarm muſs über die Seitenarme etwas erhöht stehen, damit beim Gebrauche die Stifte der Schieber ihn nicht aufhalten, sondern, ohne den Arm zu berühren, leicht unter dem letzteren durchgehen; da der Querarm, wenn es nöthig ist, weggenommen und auf der anderen Seite des Instrumentes angebracht werden soll, so müssen in demselben die Mittelpunkte der Gelenke liegen. Endlich sollen an den beiden Enden des Lineals der Basis beiderseits gleich hohe schmale Vorsprünge etwas höher, als die Dicke des beweglichen Lineals beträgt, angebracht sein, damit dieses unter den Armen, ohne zu streifen, sich hin- und herbewegen kann. Diese Vorsprünge sind gezahnt und verhindern das Ausrutschen des Lineals der Basis, wenn es auf einer gegebenen Linie angelegt ist. Das Instrument sammt dem beweglichen Lineale können aus hartem trockenem Holze hergestellt werden, die Mittelstücke der Gewinde bezieh. Gelenke und die Schieber aus Messing oder Stahl. – Wenn die Breite des Instrumentes zwischen den Achsen der Gewinde 30cm beträgt, so kann damit ein Lineal von ungefähr 150cm Länge angelegt werden. Thibault gibt an, es sei dem seinigen ein ähnliches Instrument vorausgegangen; dasselbe sei in einem Werke abgebildet, welches von Lahure im J. 1790 zu Paris herausgegeben wurde.Das Thibault'sche Lineal ist auf Taf. 50 dieses empfehlenswerthen Werkes in wahrer Gröſse abgebildet. Thibault sagt: „Unser Instrument wurde zum ersten Male im J. 1798 angefertigt; wir wollen zwar nicht auf den Vorrang Anspruch erheben und, hätte das erste Instrument alle Vortheile erfüllt, welche wir wünschten, so hätten wir nie an ein zweites gedacht.“ Nicholson zu London hat ein drittes derartiges Instrument construirt; ein gewisser Castellan hat ein viertes erfunden. Thibault bemerkt hierzu: „Es kommt uns nicht zu, hier Lob oder Tadel über die verschiedenen dem unseren vorangegangenen oder nachgefolgten Instrumente auszusprechen; diejenigen, welche Gebrauch davon machen, sind allein im Stande, sie zu vergleichen und zu würdigen; doch legen wir ihnen mit einem gewissen Vertrauen dieses hier vor, nachdem wir seit langer Zeit dessen Nützlichkeit erkannt haben.“ – Hier zeigt sich so recht der Werth der historischen Forschung auch auf dem von uns betretenen Gebiete; denn würde man das Thibault'sche Lineal einfach nachgeahmt haben, so besäſsen wir heute ein durchaus gutes Fluchtpunktlineal; so aber verkehrt auf dem Markte ein Instrument, allerdings auf demselben Prinzipe beruhend wie das Thibault'sche, aber durch seine unzweckmäſsige Constructionsart mit solchen Fehlern behaftet, daſs es Jedermann verwerfen wird, welcher es mit dem richtig construirten Thibault'schen Instrumente vergleichen kann. Weniger elementar in ihrer Theorie als die bisher betrachteten einfachen Instrumente sind die als Pantograph oder Storchschnabel bekannten EinrichtungenVgl. Ernst Fischer: Ueber Pantographen in Carl's Repertorium für physikalische Technik, 1866 S. 258 ff. Mit 61 Figuren auf 6 Tafeln., welche uns in den Stand setzen, irgend eine gegebene Figur in anderem Maſsstabe wiederzugeben. Von diesen Instrumenten kommen zwei Hauptformen vor; die eine ist als der ältere Storchschnabel, die andere als Mailändischer Pantograph bekannt. Bei beiden ist eine Gelenkbewegung vorhanden, bei welcher nur ein einziger Punkt absolut fest ist. Der Gelenkmechanismus ist so eingerichtet, daſs zwei auf verschiedenen Armen liegende Punkte stets auf derselben geraden Linie bleiben und ihre Abstände von diesem in einem bestimmten Verhältnisse stehen. Hieraus folgt, daſs wenn man einen dieser beiden Punkte eine Figur umfahren läſst, der andere eine ähnliche und ähnlich liegende Figur beschreiben wird, wobei der Aehnlichkeitsmittelpunkt beider Figuren der feste Punkt ist. Bei dem älteren Storchschnabel findet eine direkte, bei dem Mailändischen eine umgekehrte Aehnlichkeit statt, d.h. im ersten Falle liegen die Figuren auf derselben Seite ihrer Aehnlichkeitsmittelpunkte, im zweiten liegen sie auf entgegengesetzten Seiten. In der vorhin angeführten Abhandlung über Pantographen haben wir nachgewiesen, daſs der Pantograph schon vor 250 Jahren bekannt war und daſs ein Pater Christoph Scheiner als der Erfinder anzusehen ist. Scheiner hat eine ausführliche Beschreibung seiner Erfindung nebst Andeutung der mannigfaltigsten Anwendung, welcher dieselbe fähig, in seinem Werke: Pantographice seu ars delineandi (Rom 1631) niedergelegt. Auf dem Titelblatte zu diesem Werke deutet der Verfasser durch eine höchst originelle Darstellung an, wie der Pantograph sogar an der Staffelei benutzt werden könnte, um räumliche Gegenstände abzuzeichnen. Wir haben einige Figuren aus dem Scheiner'schen Werke in unserer oben angegebenen Abhandlung gebracht. Die ersten Verbesserungen des Pantographen erwähnt Nils Marelius, Premier-Lieutenant des kgl. schwedischen Landmesser-Comptoirs, in seiner Schrift über den Storchschnabel, welche in den Abhandlungen der kgl. schwedischen Akademie der Wissenschaften aus der Naturlehre, Haushaltungskunst und Mechanik auf das J. 1766 abgedruckt ist. Auch Bion hat in seiner mathematischen Werkschule schon im J. 1766 einen Pantographen abgebildet und beschrieben. Wir haben 1866 in unserer angeführten Schrift sämmtliche bis dahin bekannten Constructionen des Pantographen beschrieben und gute Zeichnungen davon gegeben und verweisen daher im Uebrigen um so mehr auf dieselbe, als seitdem eine wesentliche Aenderung in diesen Constructionen nicht vorgenommen worden ist. In London 1876 bildeten die Pantographen, an deren Ausstellung sich auch Ott und Coradi in Kempten, Adrian Gavard in Paris und Oertling in London betheiligt hatten, eine Abtheilung für sich. Bei der Mehrzahl dieser Pantographen war die Verbindung zwischen dem festen Pole und dem Fahr- und Zeichenstifte in der bekannten Weise durch ein Gelenkparallelogramm, in einzelnen Fällen jedoch durch Rollen und Schnurlauf hergestellt. Das Bestreben der Verfertiger, möglichste Leichtigkeit, Sicherheit und Genauigkeit der Führungen und der Berichtigung zu erreichen, hat zu zum Theile sehr abweichenden Constructionen, welche man auch bereits aus unserer genannten Abhandlung ersieht, geführt, wie z.B. bei Ott und Coradi, wo die Laufrollen dadurch ersetzt sind, daſs der ganze Apparat mittels Metalldrähten an einem krahnartigen Gestelle frei über der Zeichnung schwebt. Diese Idee ist übrigens bereits früher von Goldschmidt in Zürich praktisch ausgeführt worden. Ueber die Instrumente zum Zeichnen der Kreisbögen von so groſsen Radien, daſs die Mittelpunkte am Rande oder selbst auſserhalb der Zeichnungsebene liegen, verdanken wir Prof. Helmert in Aachen höchst werthvolle Mittheilungen.Vgl. Helmert: Hilfsmittel zum Zeichnen sehr flacher Kreisbögen in der Zeitschrift für Vermessungswesen, 1877 S. 147 ff. Zum Vorzeichnen von Kreisbögen nach groſsen Krümmungsradien bedient man sich des Stangenzirkels, der vorgearbeiteten Lehre, der gebogenen SchieneVgl. Seyfert 1881 242 * 36. Ohnesorge 1882 246 * 366. Schönborn 1885 255 * 98., des Centrographen und der Zirkelparallelogramme. Der Stangenzirkel, dessen wir schon weiter vorn kurz Erwähnung gethan, gestattet nur eine beschränkte Anwendung und versagt für alle Radienwerthe, welche einen gewissen Betrag überschreiten. Zudem erfordert seine Anwendung einen beträchtlichen Raum auſserhalb des Umfanges der Zeichnung und es gehört eine besondere Aufmerksamkeit dazu, nicht nur die Fehler wegen radialer Schwankungen der Spitzen in Folge von Biegungen des Stabes zu vermeiden, sondern überhaupt eine schöne und richtige Zeichnung zu erhalten. Bequemer und zuverlässiger sind Lehren, welche in Kartenpapier, Holz oder anderem passendem Materiale für bestimmte Radien bearbeitet sind. Die Construction derselben erfolgt nöthigenfalls mittels zahlreicher aus rechtwinkligen Coordinaten abgeleiteter Punkte. Ihrer allgemeinen Anwendung steht aber der Umstand entgegen, daſs eben jeder Radius eine eigene Lehre erfordert, wodurch auch nicht unerhebliche Kosten entstehen. Eine gewissermaſsen veränderliche Lehre ist gewährt durch gebogene elastische Schienen. Kleine Theile einer solchen können ohne weiteres als Kreisbögen angesehen werden. Längere Bögen erfordern jedoch zu ihrer Herstellung einer besonderen Vorrichtung, welche der Schiene eine Kreisform verleiht. Helmert hat im Literaturberichte der Zeitschrift für Vermessungswesen, 1875 S. 36 bereits auf eine Abhandlung von H. Resal über einen Apparat zu kreisförmiger Biegung von Schienen bis 80° Centriwinkel aufmerksam gemacht. Ein verwandtes, wohl noch sichereres Hilfsmittel ist das Kreiscurvenlineal von Prof. Tchebichef, welches auf der Ausstellung in London 1876 vertreten war. Aus Fig. 3 Taf. 20 ist zu ersehen, daſs die Schiene L, welche eine kreisförmige Biegung erhalten soll, an der Rückseite begrenzt und eingefügt ist in eine Kette von mit einander zusammenhängenden gleichen Gliedern. Je zwei benachbarte Glieder sind durch ein einfaches Gelenk B, B1 B2 u.s.w. verbunden; auſserdem sind das erste und dritte, das zweite und vierte, das dritte und fünfte Glied u.s.w. durch je ein das zwischenliegende Glied durchdringendes Verbindungsstück, wie z.B. AC, verbunden. Die ersten Glieder K1 und K2 können, wie die Figur zeigt, durch eine Klemmschraube in einer bestimmten Stellung festgehalten werden; in Wirklichkeit ist daselbst auch eine feine Bewegung, um mit aller Schärfe K1 und K2 der Länge nach so gegen einander verschieben zu können, daſs die gewünschte Krümmung eintritt. Wenn nämlich eine solche Längsverschiebung vorgenommen wird, so pflanzt sich dieselbe durch die Gelenke fort und, weil nur die äuſseren Längsstrecken AA1, A1 A2, A2 A3... sowie CC1, C1 C2, C2 C3 ... sich ändern können, dagegen die mittleren Längsstrecken BB1, B1 B2, B2 B3... unveränderlich sind, muſs eine Krümmung der Gliederkette eintreten. An dieser nimmt die Schiene L Theil, weil sie durch passende einfache Vorrichtungen gezwungen ist, sich dem von der Innenseite der Glieder gebildeten Polygon tangential anzuschlieſsen. Das in Fig. 3 Taf. 20 ungefähr in ⅓ n. Gr. (ohne strengen Anschluſs an die Modellabmessungen) dargestellte Lineal gibt Krümmungen von r = ∞ bis r =4/3m. Um sich eine Vorstellung von dem Betrage der zur Herstellung endlicher Werthe von r nöthigen Verkürzungen von A1 A2 zu bilden, kann man, wie in Fig. 4 Taf. 20 BB1 = x0 und A1 A2 = x als zu gleichen Centriwinkeln gehörende Bögen von Kreisen mit den Radien r und r – a betrachten und hat dann r : r – a = x0 : x, woraus sich sofort findet: x0 – x = (a : r)x0. Für die Werthe a = 40/3mm und x0 = 3a = 40mm wird daher, entsprechend rmin = 4/3m, (x0 – x)max = 0,01. x0 = 0mm,4. Unsere Aufgabe wird nun sein, nachzuweisen, daſs die Aenderungen von AA1, A1 A2, A2 A3... durch geeignete Wahl der Abmessungen, ungefähr Fig. 3 und 4 entsprechend, immer nothwendig gleich groß werden; dann wird auch die Krümmung der Schiene L ihrer ganzen Länge nach in jedem Falle demselben Radius angehören. Wir betrachten zu dem Zwecke die beiden stumpfen Winkel CBA1 und C1 B1 A2, welche im Anfangszustande bei gerade gestreckter Schiene einander gleich sein müssen und durch Verkürzung von A1 A2 nicht merkbar ungleich werden dürfen. Unter dieser Voraussetzung ist unschwer zu erkennen, daſs eine durch Verschiebung von K1 gegen K2 entstehende Verkürzung von AA1 und die damit verbundene Aenderung des Winkels CBA1 alle folgenden entsprechenden Gröſsen in gleicher Weise beeinfluſst. Eine kleine Ungleichheit dagegen wird proportional der Anzahl der Glieder anwachsen und zwischen Anfang und Ende der Gliederkette eine gröſste Abweichung der Winkel und Krümmungen hervorrufen. An dem in London vorgelegenen Exemplare sollen die Winkelunterschiede weniger als 1/30° betragen; doch ist nicht genau gesagt, welche Winkelunterschiede; wahrscheinlich sind diese so, wie hier angenommen, zu verstehen. Die Veränderungen des stumpfen Winkels CBA1 sind denjenigen des Winkels ζ bei B, negativ genommen, gleich, wenn als Ursache der Veränderung eine Variabilität von A1 A2 = x auftritt. Wir drücken daher die Aenderung Δζ durch die Aenderung Δx aus und, da Δx nicht ohne weiteres als Differential angesehen werden darf, entwickeln wir Δζ als Function von Δx nach dem Taylor'schen Satze unter Beibehaltung auch des quadratischen Gliedes. Ebenso wird mit Δχ und Δψ, welche die Veränderungen des Winkels C1 B1 A2 zusammen setzen, verfahren. Für den Anfangszustand Fig. 4 Taf. 20, also für geradlinige Erstreckung der Schiene L, sei der Einfachheit halber A1 B und A2 B1 senkrecht A1 A2 und BB1, also x = x0, μ = 90°. Auch sei Winkel A1 C1 B1 = 90°. Zeichnet man die Werthe der Veränderlichen, wie schon für x geschehen, durch den Index Null aus, so ist ferner, wenn noch x0 : a = n gesetzt wird: x_0=a\,n.\ \ \ b=y_0=a\,\sqrt{1+n^2}\ \ \ \ \ \chi_0=\zeta_0. sin\,\zeta_0=cos\,\gamma_0=n\,:\,\sqrt{1+n^2}.\ \ \ \ \ \ cos\,\zeta_0=sin\,\gamma_0=1\,:\,\sqrt{1+n^2}. a\,b\,sin\,\zeta_0=b\,x_0\,sin\,\gamma_0=a^2\,n.\ \ \ \ c=y_0\,sin\,\psi_0.\ \ \ \ f=y_0\,cos\,\psi_0. Man hat nun aus Dreieck A1 BA2 für x2 = a2 + b2 – 2ab cos ζ und hieraus folgt: x=a\,b\,sin\,\zeta\,\frac{d\,\zeta}{d\,x} und 1=a\,b\,cos\,\zeta\,\left(\frac{d\,\zeta}{d\,x}\right)^2+a\,b\,sin\,\zeta\,\frac{d^2\,\zeta}{d\,x^2}. Setzt man die Anfangswerthe ein, so ergibt sich: \left(\frac{d\,\zeta}{d\,x}\right)_0=\frac{1}{a},       \left(\frac{d^2\,\zeta}{d\,x^2}\right)_0=\mbox{Null}, womit man nach Taylor's Satz hat: -\Delta\,\zeta=-\frac{\Delta\,x}{a} (einschl. Glieder mit Δx2) . . . . . . . . . . (1) Dasselbe Dreieck liefert noch die Gleichung a2 = b2 + x2 – 2xb cos γ, woraus man wie vorher schlieſst: 0=x-b\,cos\,\gamma+x\,b\,sin\,\gamma\,\frac{d\,\gamma}{d\,x}, 0=1+2\,b\,sin\,\gamma\,\frac{d\,\gamma}{d\,x}+x\,b\,cos\,\gamma\,\left(\frac{d\,\gamma}{d\,x}\left)^2+x\,b\,sin\,\gamma\,\frac{d^2\,\gamma}{d\,x^2}; \left(\frac{d\,\gamma}{d\,x}\right)_0=\mbox{Null}.    \left(\frac{d^2\,\gamma}{d\,x^2}\right)_0=-\frac{1}{a^2\,n}. Diese Differentialquotienten beziehen sich auch auf μ, da γ und μ nur um eine Constante unterschieden sind. Das Dreieck A1 B1 A1 ergibt: y^2=a^2+x^2-2\,a\,x\,cos\,\mu.    y\,\frac{d\,y}{d\,x}=x-a\,cos\,\mu+a\,x\,sin\,\mu\,\frac{d\,\mu}{d\,x}. \left(\frac{d\,y}{d\,x}\right)^2+y\,\frac{d^2\,y}{d\,x^2}=1+2\,a\,sin\,\mu\,\frac{d\,\mu}{d\,x}+a\,x\,cos\,\mu\,\left(\frac{d\,\mu}{d\,x}\right)^2+a\,x\,sin\,\mu\,\frac{d^2\,\mu}{d\,x^2} \left(\frac{d\,y}{d\,x}\right)_0=\frac{n}{\sqrt{1+n^2}}.    \left(\frac{d^2\,y}{d\,x^2}\right)_0=-\frac{n^2}{a\,\sqrt{1+n^2}}\,3. Dasselbe Dreieck gibt noch: x^2=a^2+y^2-2\,a\,y\,cos\,\chi.    x=(y-a\,cos\,\chi)\,\frac{d\,y}{d\,x}+a\,ysin\,\chi\,\frac{d\,\chi}{d\,x}. 1=(y-a\,cos\,\chi)\,\frac{d^2\,y}{d\,x^2}+\right(\frac{d\,y}{d\,x}\right)^2+2\,a\,sin\,\chi\,\frac{d\,y}{d\,x}\,\frac{d\,\chi}{d\,x}+a\,y\,cos\,\chi\,\left(\frac{d\,\chi}{d\,x}\right)^2+a\,y\,cos\,\chi\,\frac{d^2\,\chi}{d\,x^2}. \left(\frac{d\,\chi}{d\,x}\right)_0=\frac{1}{a\,(1+n)^2}.    \left(\frac{d_2\,\chi}{d\,x^2}\right)_0=\frac{n\,(n^2-1)}{a^2(1+n^2)^2}. \Delta\,\chi=\frac{\Delta\,x}{a\,(1+n^2)}+\frac{n\,(n^2-1)}{2\,(1+n^2)^2}\ \frac{\Delta\,x^2}{a^2} . . . . . . . . . . (2) Das Dreieck A1 B1 C1 ergibt: c^2=f^2+y^2-2\,f\,y\,cos\,\psi.    0=(y-f\,cos\,\psi)\,\frac{d\,y}{d\,x}+f\,y\,sin\,\psi\,\frac{d\,\psi}{d\,x}. 0=\left(\frac{d\,y}{d\,x}\right)^2+(y-f\,cos\,\psi)\,\frac{d^2\,y}{d\,x^2}+2\,f\,sin\,\psi\,\frac{d\,y}{d\,x}\ \frac{d\,\psi}{d\,x}+f\,y\,cos\,\psi\,\left(\frac{d\,\psi}{d\,x}^2+f\,y\,sin\,\psi\,\frac{d^2\,\psi}{d\,x^2}. \left(\frac{d\,\psi}{d\,x}\right)_0=-\frac{n\,tg\,\psi_0}{a\,(1+n^2)}.    \left(\frac{d^2\,\psi}{d\,x^2}\right)_0=\frac{n^2\,(tg^2\,\psi_0-1)}{a^2\,(1+n^2)^2\,tg\,\psi}. \Delta\,\psi=-\frac{n\,tg\,\psi_0}{(1+n^2)}\ \frac{\Delta\,x}{a}+\frac{n^2\,(tg^2\,\psi_0-1)}{2\,(1+n^2)^2\,tg\,\psi_0}\ \frac{\Delta\,x^2}{a^2}. Mit Rücksicht auf Gleichung (1) und (2) kann man nun auch setzen: \Delta\,\chi+\Delta\,\psi=\frac{n\,tg\,\psi_0-1}{1+n^2}\,(-\Delta\,\zeta)+\left(\frac{n\,(tg^2\,\psi_0-1)}{tg\,\psi_0}+n^2-1\right)\,\frac{n\,\Delta\,\zeta^2}{2\,(1+n^2)^2}  . . . . . . (3) Wählt man tgΨ0 so, daſs der Coefficient von (–Δζ) = 1 wird, so sind dann die Winkeländerungen bis auf Glieder erster Ordnung einschlieſslich einander gleich und es wird daher für sehr schwache Krümmungen die genaue kreisförmige Gestalt vorhanden sein. Dazu gehört: tg\,\psi_0=\frac{2+n^2}{n}.    \Delta\,\chi+\Delta\psi=(-\Delta\,\zeta)+\frac{n}{2+n^2}\,\Delta\,\zeta^2 . . . . . . . . . . (4) Nimmt man im Maximum Δx = –0,01x0 und setzt x0 = 3a, n = 3, so ist (–Δζ) = + 0,03, daher Δχ + ΔΨ  = (–Δζ) + 0,273 × 0,0009, d. i. im Winkelmaſse = 0,000245 × 3438 = 0,84 Minuten. Will man die Glieder zweiter Ordnung thunlichst berücksichtigen, so muſs man Sorge tragen, daſs Δχ + ΔΨ auch für einen mittleren Werth von Δζ = (–Δζ) wird, tgΨ0 erhält damit einen etwas anderen Werth als nach Gleichung (4); setzen wir also tg\,\psi_0=\frac{2+n^2}{n}+r, so folgt als Bedingungsgleichung für v aus Gleichung (3), wenn [Δζ] den besonderen in Rede stehenden Werth von Δζ bezeichnet: [-\Delta\,\zeta]=[-\Delta\,\zeta]\,\left(1+\frac{n\,r}{1+n^2}\right)+\frac{n}{2+n^2}\,[\Delta\,\zeta]^2, worin die Glieder von der Ordnung v und vΔζ, vernachlässigt sind. Es wird: tg\,\psi_0=\frac{2+n^2}{n}+\frac{(1+n^2)}{2+n^2}\,[\Delta\,\zeta]. \Delta\,\chi+\Delta\,\psi=(-\Delta\,\zeta)\,\{1+\frac{n}{2+n^2}\,([\Delta\,\zeta]-\Delta\,\zeta)\} . . . . . . . . . . (5) Gleichheit der Winkel besteht im Falle der Annahme des letzteren Werthes für tgΨ0 im Anfangszustande und für Δζ = [Δζ]. Dazwischen erreicht der Unterschied ein Maximum und zwar, wie die Gleichung zeigt, bei Δζ = ½[Δζ]. Sie beträgt alsdann: -\frac{n}{4\,(2+n^2)}\,[\Delta\,\zeta]^2. Nimmt man Δζ gröſser als [Δζ], etwa xmal so groſs, so wird der Winkelunterschied =+\frac{n}{2+n^2}\,\varkappa\,(\varkappa-1)\,[\Delta\,\zeta]^2. Beide Abweichungen werden entgegengesetzt gleich für: x (x – 1) = ¼ bezieh. x = ½ (1 + √2) = 1,207 . . . . . . . . . . (6) Um [Δζ] zu erhalten, muſs man demnach den Maximalwerth von Δζ mit 1,207 dividiren. Im Falle der mehrfach angenommenen besonderen Zahlwerthe ist: (-\Delta\,\zeta)\,max=+0,03.\ \ \ \ \ [-\Delta\,\zeta]=+\frac{0,03}{1,207}=+0,025.\ \ \ \ tg\,\psi_0=11/3-0,0226. Maximalwinkel unterschied ist gleich – 0,000043 in arc oder – 0,15 Minuten. Gegenüber der Annahme (4) bietet daher die Annahme (5) mit (6) bebedeutende Vortheile, denn der Unterschied benachbarter Winkel ist nur noch ⅙ des ersten Werthes und so klein, daſs auch bei einem Dutzend Gliedern Anfangs- und Endwinkel nur um nahezu 2 Minuten oder 1/30 Grad abweichen. Wenn es also praktisch möglich ist, die Glieder in genügender Annäherung den mathematischen Bedingungen entsprechend herzustellen, so erfüllt das Curvenlineal von Tchebichef überraschend gut seinen Zweck. Schlieſslich stellen wir nochmals die von Helmert theils gewählten, theils der besten Construction entsprechend berechneten Abmessungen zusammen: x0 = 3a.    b = 3,1623a.    c = 3,0495a.    f = 0,8368a.    CB1 = 3,5252a. ζ0 = χ0 =72°27',1.    Ψ0 = 74°39',3.Formel 4 gibt: Ψ0 = 74°44',7, c = 3,0509a, f = 0,8320a und die Vergleichung mit obigen Werthen läſst den hohen Genauigkeitsgrad beurtheilen, mit welchem die Theile des Lineals bearbeitet werden müssen, wenn sie genügen sollen. Das zu South Kensington ausgestellte Exemplar war sauber in Holz ausgeführt und schien dem Berichterstatter Prof. Helmert recht bequem in der Anwendung zu sein. Leider, bemerkt Helmert, war es nach Lage der Verhältnisse nicht möglich, seinen Genauigkeitsgrad zu prüfen. (Schluſs folgt.)