Ueber die Schwingungsdauer feiner Wagen. Von A. Verbeek, Mechaniker in Dresden. Mit Abbildungen. Ueber die Schwingungsdauer feiner Wagen. Die Mittel, um feine Wagen schneller schwingend zu machen, sind bekanntlich in der Hauptsache Verkürzung des Wagebalkens und Erleichterung desselben durch Verwendung von Aluminium als Material dazu, ersteres von Bunge, letzteres durch Sartorius eingeführt. Nun wirkt aber jedes dieser Mittel in seiner besonderen eigenthümlichen Weise, wie sich mathematisch schon unschwer beweisen lässt. Um den praktischen Nachweis zu geben, untersuchte ich die Schwingungsdauer mehrerer Wagen, deren Balken von möglichst ähnlicher Gestalt waren, dabei aber einestheils verschiedene Längen bei annähernd gleichem Gewicht, anderentheils verschiedenes Gewicht bei gleicher Länge besassen. Die Balken mögen mit I, II, III und IV bezeichnet sein. Die Längen derselben, von Seitenachse zu Seitenachse gemessen, betrugen 233, 152, 130 und wieder 152 mm. Die drei ersten waren von Messing – der längste für diesen Zweck eigens dünner gefeilt – im Gewichte von 123,3, 119,6 und 120,02 g. Balken IV aus Aluminium wog 51 g. Für die Trägheitsmomente dieser Balken, bezogen auf ihre Armlängen als Einheiten, ergaben sich die Werthe 88,25, 87,76, 87,76 und 36,72 g. Die Uebereinstimmung der Trägheitsmomente bei Balken II und III mag auffallen. Ursprünglich war allerdings das Gewicht des Balkens III nur 98,2 g und sein Trägheitsmoment 65,94. Allein, um diesen Balken mit den beiden ersteren vergleichen zu können, beschwerte ich die Seitenachsen desselben mit je 10,91 g, wodurch Gewicht und Trägheitsmoment auf die oben angegebenen Grössen gebracht wurden. Die Trägheitsmomente ermittelte ich sehr einfach, indem ich die Schwingungsdauer t des betreffenden Balkens allein durch Beobachtung bestimmte, darauf noch die Schwingungsdauer t1 des mit Q belasteten Balkens und die Gleichung K=\frac{Q\,t^2}{{t_1}^2-t^2} benutzte. Voraussetzung bei diesem Verfahren ist nur, dass die Empfindlichkeit constant ist, was allerdings möglichst besorgt war. Wie gross die Empfindlichkeit dabei ist, ist einerlei.Unter Empfindlichkeit ist hier immer das Maass des Zungenausschlages für ein gewisses kleines Zulagegewicht auf einer Seite gemeint, obschon die andere, sich mit Präcision deckende Bedeutung richtiger ist. Denn unter Empfindlichkeit einer Wage im strengeren Sinne ist die Fähigkeit zu verstehen, für die kleinsten Gewichtsdifferenzen andere Stellungen anzunehmen, welche Fähigkeit bei einer Wage mit kleinem Ausschlag für sagen wir 1 mg in höherem Grade vorhanden sein kann als bei einer Wage mit grösserem, wie ja bekannt ist. Es ist nämlich die Schwingungsdauer t eines materiellen Pendels, also auch eines Wagebalkens =\pi\,\sqrt{\frac{K}{C\,g}}, wo mit K das Trägheitsmoment des Balkens bezeichnet ist und mit C die Summe der statischen Momente aller auf den Balken wirkenden beschleunigenden Kräfte, π und g die bekannten Bedeutungen haben. Werden die Seitenachsen des Balkens mit Q belastet, so wird seine Schwingungszeit t_1=\pi\,\sqrt{\frac{K+Q}{C\,g}} sein. Aus diesen beiden Gleichungen erhält man nun durch Elimination von C, wobei zugleich die Grössen π und g wegfallen, die von mir benutzte K=\frac{Q\,t^2}{{t_1}^2-t^{2}}.Vgl. Physik, Müller-Pfaundler, I. S. 330. Eine SchwingungEine Schwingung ist immer als Hin- und Hergang der Zunge, zweimal den Gleichgewichtspunkt passirend, zu verstehen – eine wirklich ganze Schwingung. Es wurde immer die Dauer von 10 Schwingungen bestimmt und durch 10 dividirt. des Balkens 1 im unbelasteten Zustande währte 13 ½ Secunden. Als derselbe mit Schalen und Gewichten, zusammen 496 g, belastet war, ergab sich eine Schwingungsdauer von 34 ¾ Secunden. Das Trägheitsmoment war demnach K=\frac{496\,.\,(13,5)^2}{(34,75)^2-(13,5)^2}=88,25\mbox{ g} Das Verfahren ist auch anwendbar bei Wagen, deren Empfindlichkeit bei steigender Belastung abnimmt; nur muss in diesem Falle bei Belastung der Wage mit Q die Empfindlichkeit durch entsprechende Höherlegung des Schwerpunktes ebenso gross gemacht werden, wie sie vorher beim leeren Balken war, oder man hat die geringere Empfindlichkeit mit in Rechnung zu stellen, wie am Schluss gezeigt ist. Bei den vier Wagebalken war die Empfindlichkeit vorerst so fixirt, dass die Zungenspitze bei 1 mg Zulage auf einer Seite bei allen Belastungen bis zu 400 g (auf beiden Schalen zusammen) 2,5 mm Ausschlag im schwingenden Zustande der Wage gab. Die Entfernung der Zungenspitze von der Mittelachse betrug bei allen vier Balken 268 mm. Die folgende Tabelle enthält nun die Schwingungszeiten der Balken I, II und III bei den beistehenden Belastungen: Belastung des Balkens Schwingungsdauer in Secunden I.233 mmlang II.152 mmlang III.130 mmlang                                            – g 13,5 11,0 10,14 Zwei Schalen und Zubehör     80 g 18,6 15,2 14,0 dazu noch 40 g, zusammen 120 g 20,7 16,9 15,6    „      „   100 g          „        180 g 23,5 19,2 17,7    „      „   200 g          „        280 g 27,6 22,5 20,7    „      „   300 g          „        380 g 31,1 25,4 23,4    „      „   400 g          „        480 g 34,3 28,0 25,8 Bei genauerem Hinsehen erkennt man, dass die Schwingungszeiten bei gleichen Belastungen sich verhalten wie die Wurzeln aus den Balkenlängen. Das ist allerdings nichts Neues und wie auch die weiter angeführten Beziehungen an anderen Orten schon genügend erörtert und mathematisch begründet worden. Nur der experimentelle Nachweis dafür wurde bisher wohl noch nicht auf dem von mir eingeschlagenen Wege und der theoretischen Forderung so nahekommend geführt. Es ist nämlich – greifen wir heraus \frac{13,5}{11}=1,227\mbox{ oder }\frac{31,1}{25,4}=1,224\mbox{ und }\sqrt{\frac{233}{152}}=1,238 ebenso \frac{13,5}{10,14}=1,331\mbox{ oder }\frac{31,1}{23,4}=1,329\mbox{ und }\sqrt{\frac{233}{130}}=1,338 desgleichen \frac{11}{10,14}=1,084\mbox{ oder }\frac{25,4}{23,4}=1,085\mbox{ und }\sqrt{\frac{152}{130}}=1,081 u.s.w. Berücksichtigt man, dass die Balkenlängen nur rund in Millimeter eingesetzt sind, dass auch die Schwingungszeiten nur näherungsweise die angegebenen sind, so darf man wohl mit obigen Resultaten zufrieden sein. Kennt man das Trägheitsmoment K eines Wagebalkens und die zu einer gewissen Belastung zugehörige Schwingungszeit, so kann man hieraus leicht die Schwingungsdauer bei jeder beliebigen Belastung berechnen. Der einfachste Fall ist derjenige, wenn man die behufs der Ermittelung des Trägheitsmomentes beobachtete Schwingungszeit t des Balkens allein benutzt. Dann ist bei der Belastung Q die Schwingungsdauer: t_1=\sqrt{(K+Q)\,\frac{t^2}{K}}. Textabbildung Bd. 304, S. 157 Fig. 1. Es ist das nichts als eine Umformung der ersten Gleichung  K=\frac{Q\,t^2}{{t_1}^2-t^2}. Aus t1 bei der Belastung Q lässt sich wiederum die Schwingungszeit t2 bei der Belastung Q ± R nach t_2=\sqrt{(K+Q\,\pm\,R)\,\frac{{t_1}^2}{K+Q}} berechnen. Wohlverstanden: wenn die Wage constant empfindlich ist. Es wird also beispielsweise die Schwingungsdauer des Balkens II mit Schalen und 400 g, zusammen 480 g belastet t_1=\sqrt{(87,76+480)\,\frac{11^2}{87,76}} =11\,\sqrt{\frac{567,76}{87,76}}=27,978\mbox{ Secunden} sein, welches mit den beobachteten 28 Secunden recht gut übereinstimmt. Ist aber 28 Secunden (= t1) die Schwingungsdauer bei 480 g (= Q) Belastung, so muss dieselbe bei 280 g t_2=\sqrt{(87,76+480-200)\,\frac{28^2}{87,76+480}} =28\,\sqrt{\frac{367,76}{567,76}}=22,535\mbox{ Secunden} sein, und in der That wurde sie mit 22,5 Secunden beobachtet. Ich untersuchte nun und berechnete darauf auch nach obigen Gleichungen die Schwingungszeiten für alle Belastungen von 20 zu 20 bis 400 g und erhielt die Curven Fig. 1. Es sind Parabeln, die bei der Rückwärtsconstruction, wo K + Q = 0 wird (Q negativ genommen), in ihren Scheiteln auf die Querlinie für 0 Secunden Schwingungszeit stossen, welche die Achse der Parabeln ist. Die Verkürzung der Balken findet bald eine Grenze in dem für die Schalen benöthigten Raume. Für Wagen mit 200 g Tragfähigkeit auf jeder Schale habe ich in Rücksicht hierauf die Armlänge von etwa 75 mm als passendste gefunden und haben bekanntlich alle unsere 200-g-Wagen diese Dimension. Und doch ist es möglich, selbst ganz kurze Balken mit grossen Schalen zu versehen, wie Fig. 2 bis 4 zeigen. In dem einen Falle, wo die Schalen in verschiedener Höhe hängen, ist das Stativ an der Gehäusedecke befestigt und die Zunge nach der Seite gerichtet. Bei der anderen Wage ist der Balkenkörper von Metallrohr und die kurzen Arme sind vorn und hinten rechtwinkelig zur Rohrachse befestigt. Die Mittelachse geht durch das ganze Rohr hindurch und findet ihre Auflage an den Enden. Bei dieser Wage, die ich schon vor mehr als 12 Jahren anfertigte, betrug der Abstand von Mittelachse zu Seitenachse nur je 2 cm und die beiden Balkenhälften waren 9,5 cm von einander entfernt. Das Stativ hatte zwischen den Schalen hinreichend Platz. Die Empfindlichkeit war constant und mit 1 mm Ausschlag für 1 mg fixirt. Selbstverständlich habe ich diese Sache nicht weiter verfolgt, denn es hätten sich doch keine Liebhaber für solche Wagen gefunden. Anfangs hatte ich die Wage in anderer Weise construirt, nämlich mit geradem Balken und schräggestellten Achsen, wie Fig. 4 andeutet. Man sollte meinen, es sei ganz dasselbe wie bei dem vorhin beschriebenen Balken von der Form: Eigenthümlicher Weise ergab sich aber die Unmöglichkeit, die Wage constant empfindlich zu machen. Es gelang zwar leicht, ihr für 200 oder 250 g Belastung auf jeder Seite dieselbe Empfindlichkeit zu geben, die sie im unbelasteten Zustande hatte, bei zwischenliegenden Belastungen war sie dann aber immer geringer, am geringsten bei mittlerer Belastung, wo sie nur ungefähr halb so gross war. Textabbildung Bd. 304, S. 158 Fig. 2. Textabbildung Bd. 304, S. 158 Fig. 3. Textabbildung Bd. 304, S. 158 Fig. 4. Kürzere Wagebalken werden naturgemäss leichter sein und müssen bei ähnlicher Gestalt auch schon darum schneller schwingen. Zur Ermittelung der Wirkung dieses Umstandes benutzte ich die Balken II und IV, die zwar ganz gleiche Länge, aber die Trägheitsmomente 87,76 und 36,72 haben. Die Curven der Schwingungszeiten geben nun hier ein wesentlich anderes Bild (Fig. 5). Gingen sie nämlich vorhin je weiter nach rechts, desto mehr aus einander, so nähern sie sich hingegen hier, je grösser die Belastung wird. Augenscheinlich sind diese Parabeln ganz identisch, nur liegen ihre Scheitel so weit aus einander, wie die Differenz der Trägheitsmomente beträgt. Unsere Formeln liefern hierfür den Beweis. Denn nehmen wir ein beliebiges Paar Punkte a und b von gleicher Schwingungsdauer t2 auf den Parabeln an und nennen wir D die Differenz der Trägheitsmomente beider Balken; ferner die Schwingungsdauer des Balkens IV allein t und diejenige bei der Belastung mit D desselben t_1=\sqrt{(K+D)\,\frac{t^2}{K}}, so ist für die Belastung (D + Q) die Schwingungszeit t_2=\sqrt{(K+[D+Q])\,\frac{t^2}{K}}. Für den Balken II ist t_2=\sqrt{([K+D]+Q)\,\frac{{t_1}^2}{K+D}}. Setzen wir hier für t1 den Werth \sqrt{(K+D)\,\frac{t^2}{K}}, so erhalten wir für t2 ganz dieselbe Formel, denselben Werth, wie beim Balken IV. Die Schwingungszeiten sind also immer gleich, sobald nur beim leichteren Balken die Belastung um die Differenz der Trägheitsmomente grösser ist, womit die Identität der beiden Parabeln bewiesen ist. Textabbildung Bd. 304, S. 158 Fig. 5. Schon aus dem Bilde ist zu entnehmen, dass bei Wagen für grössere Lasten das leichtere Balkenmaterial wenig Zweck haben wird. Ein Zahlenbeispiel möge das erläutern. Die Länge des Balkens bei einer 5-k-Wage von uns ist 43 cm, die Zungenlänge 48 cm. Das Gewicht des Balkens ist 1370 g. Man darf also wohl das Trägheitsmoment mit 993 g annehmen. Die Wage gibt für 1 mg einen Ausschlag von 0,5 mm. Die Schwingungszeit ist bei gleicher Belastung (K und Q immer zusammengenommen) = 0,562 derjenigen des Balkens II. Wegen der grösseren Balkenlänge ist sie nämlich \sqrt{\frac{43}{15,2}}, wegen der geringeren Empfindlichkeit \sqrt{\frac{0,5}{2,5}}=\sqrt{\frac{1}{5}} und wegen der längeren Zunge \sqrt{\frac{26,8}{48}}, wie weiter unten noch erörtert werden soll, demnach also \sqrt{\frac{43\,.\,26,8}{15,2\,.\,5\,.\,48}}=0,562 Wird der Balken nun auf jeder Seite mit 4 k belastet, so macht das mit dem Trägheitsmoment 8993 g. Die Schwingungsdauer wird nun 0,562 derjenigen des Balkens II bei der gleichen Belastung sein, wenn dieser überhaupt soviel tragen könnte, also 0,562\,\sqrt{8993\,.\,\frac{11^2}{87,76}}=62,6\mbox{ Secunden}. Derselbe Balken aus Aluminium, 571 g schwer und mit dem Trägheitsmoment 411, würde aber bei 4 k Belastung auf jeder Seite die Schwingungsdauer 0,562\,\sqrt{8411\,.\,\frac{11^2}{87,76}}=60,5\mbox{ Secunden} haben. Das ist ein Unterschied um 1/60, der wahrhaftig nicht von Belang ist. Einzig eine vermeintliche längere Haltbarkeit der Mittelachsenschneide wegen der Entlastung derselben um 799 g bei jeder Wägung, um die der Aluminiumbalken leichter ist, könnte hier in Betracht gezogen werden. Ganz anders bei geringen Belastungen. Hier tritt eine viel merkbarere Beschleunigung ein. Der Chemiker, der in den meisten Fällen so 20 bis 30 g zu wägen hat, wird für seine 200-g-Wage allemal dem leichten Aluminiumbalken den Vorzug geben, um so mehr, da die Wage bei dem jetzigen niedrigen Aluminiumpreise hierdurch nicht theurer wird. Bedenken rücksichtlich der Festigkeit des Metalls, die ich selbst früher hatte, stellten sich als grundlos heraus. Aluminium ist nur wenig weicher als Zink, es hat einen hellen Klang und bei ausreichender Stärke genügende Widerstandskraft gegen Verbiegen. Textabbildung Bd. 304, S. 159 Fig. 6. Bei den bisherigen Untersuchungen waren immer Schalen aus Nickel mit Bügeln und Gehängen aus Messing im Gewichte von je 40 g benutzt worden. Eine Verringerung dieses trägen Ballastes muss auf die Schwingungszeit ebenso wirken wie die Verminderung des Trägheitsmomentes. Darum griff ich die früher schon einmal gefasste und auch bei einigen Wagen zur Ausführung gebrachte Idee, die Bügel aus Aluminium zu machenVgl. D. p. J. 1880 238 166., wieder auf. Damals blieb die Sache liegen, weil sie erstens kostspielig war und weil man Aluminium nicht zu löthen verstand, was aber jetzt, wenigstens mit dem Loth von Dr. G. S. Neumann-Dresden, keine Schwierigkeiten mehr macht. Für die Schalen ebenfalls Aluminium zu verwenden, schien mir der Abnutzung wegen doch nicht rathsam, obgleich es für schnelles Schwingen selbstverständlich ebenfalls vortheilhaft wäre und auf Wunsch auch besorgt wird. Die Schalen mit den Aluminiumbügeln wiegen nur 52 g anstatt wie vorher 80 g. Um bei ihrer Verwendung die Schwingungszeiten der besprochenen Wagen zu erhalten, ist nur nothwendig, die senkrechten Linien für die Belastungen von 0 bis 400 g in den Bildern um eine Strecke gleich 28 g weiter nach links zu rücken. Wie durch die Erleichterung des Balkens, wird auch durch die Erleichterung der Schalenaufhängung die Schwingungsdauer besonders bei geringen Belastungen verkürzt. Meine weiteren Untersuchungen bezogen sich auf den Einfluss der Empfindlichkeit auf die Schwingungsdauer und benutzte ich hierzu den Balken IV, bei dem ich den Schwerpunkt nach einander in verschiedene Höhenlagen brachte. An Stelle einer Tabelle seien hier gleich die entsprechenden Curven gegeben (Fig. 6). Ein Vergleich der Schwingungszeiten bei gleichen Belastungen ergibt, dass sie sich verhalten wie die Wurzeln aus den Ausschlagsgrössen für ein bestimmtes kleines Gewicht. Am augenfälligsten ist das bei den zu oberst und zu unterst gezeichneten Parabeln. Die Schwingungsdauer des auf 8 mm Ausschlag eingestellten Balkens ist nämlich immer doppelt \left(\sqrt{\frac{8}{2}}\right) so gross wie bei 2 mm bei derselben Belastung; bei 100 g Schalenbelastung z.B. 29 und 14 ½ Secunden, bei 200 g 35 ⅔ und 17 ⅚ Secunden u.s.w. Zur Begründung dessen reicht allerdings nun die angezogene Gleichung für das Trägheitsmoment nicht mehr zu. Man muss zurückgehen auf die ursprüngliche Gleichung t=\pi\,\sqrt{\frac{K}{C\,g}}, weil durch die Verlegung des Schwerpunktes der Werth C verändert wird. C lässt sich, da K= 36,72 schon bekannt ist, leicht berechnen und findet man bei der Ausschlagsgrösse von 2 mm mit der Schwingungszeit 6,36 Secunden vom Balken allein C = 0,9134, für die Ausschlagsgrösse 8 mm aber mit der Schwingungszeit 12,72 Secunden C = 0,2284, gleich dem vierten Theil vom vorigen. Die Länge l des einfachen Pendels, welches mit dem Balken gleiche Schwingungsdauer haben würde, muss \frac{K}{C} m sein, im ersteren Falle also \frac{36,72}{0,9134}=40,20\mbox{ m}, im letzteren \frac{36,72}{0,2284}=160,80\mbox{ m}. Aus dem Bilde sind zugleich die Schwingungszeiten unserer mit Aluminiumbalken und Aluminiumschalenbügeln ausgestatteten Wagen zu ersehen, deren Nummern und Empfindlichkeiten beigedruckt sind. Die Länge der Zunge hat einen ganz ähnlichen, nur umgekehrten Einfluss wie die Empfindlichkeit. Ist die Zunge nämlich doppelt so lang, so wird der Neigungswinkel des Balkens zu einem gewissen Ausschlag nur halb so gross sein als bei einfacher Zungenlänge, mithin wird auch die Empfindlichkeit nur halb so gross sein, also die Schwingungsdauer t_1=t\,\sqrt{\frac{1}{2}}. Oben, bei Besprechung der 5-k-Wage, wurden diese Verhältnisse schon mit in Rechnung gezogen. Die Kenntniss der Verhältnisse der Schwingungszeiten bei verschiedenen Empfindlichkeiten ermöglicht nun auch, das Trägheitsmoment eines Balkens mit abnehmender Empfindlichkeit aus Schwingungsbeobachtungen zu berechnen. Man wird t1, die Schwingungszeit bei der Belastung Q, nur mit \sqrt{\frac{e}{e_1}} zu multipliciren haben, oder umgekehrt t mit \sqrt{\frac{e_1}{e}}, wo e die Empfindlichkeit des Balkens im unbelasteten Zustande und e1 diejenige bei der Belastung Q bedeutet.