Neue Theorie der Turbinen. Von Emil Herrmann, Oberbergrat, Professor in Schemnitz. (Schluss des Berichtes S. 165 d. Bd.) Neue Theorie der Turbinen. 5. Formeln zur Berechnung der Turbinen. Ehe ich auf Grund der vorhergehenden Entwickelungen die Formeln zur Berechnung der Turbinen zusammenstelle, will ich einige Bemerkungen über die Höhe der Räder machen. Es ist gebräuchlich, dieselbe dem Durchmesser proportional zu machen. Dies scheint mir nicht richtig zu sein, weil der Durchmesser bei sonst gleichbleibenden Umständen um so kleiner wird, je grösser das Gefälle ist. Die Höhe des Laufrades wird demnach um so geringer, je grösser das Gefälle ist, weshalb dem Wasser dessen lebendige Kraft auf einem um so kürzeren Wege entzogen wird, je grösser dieselbe ist, d.h. die Kraftabgabe ist um so mehr stossartig, je grösser das Gefälle ist. Es müssen demnach die nach dieser Regel gebauten Räder um so ungünstiger arbeiten, je grösser das Gefälle und je kleiner die Wassermenge ist. Um dies zu vermeiden, halte ich es für begründet, die Höhe des Rades mit der Gefällshöhe zunehmen zu lassen; ich nehme deshalb ungefähr h = 0,14 + 0,08√H0 . . . . . 31) und jene des Leitrades h0 = 0,75 h . . . 0,8 h . . . . . 32) Damit aber bei so hohen Rädern der Effektverlust durch Reibung und Adhäsion an den Schaufeln nicht zu gross werde, muss man die Schaufelung nicht zu dicht machen. Man kann nun die Formeln zur Berechnung der Turbinen für die verschiedenen Systeme zusammenstellen. A. Vollbeaufschlagte freihängende achsiale Aktionsturbine (Druck- oder Girard-Turbine). Höhe des Laufrades h = 0,14 + 0,08√H0. Das Freihängen h1 so gross, dass das Laufrad nie in das Unterwasser tauche. Demnach H = H0 – (h + h1 ) (Nach Fig. 1). Reaktionsgefälle z = 0, somit nach Gl. 4) H1 = 0,857 H + h. Die absolute Eintrittsgeschwindigkeit des Wassers (ζ = 0,857) nach Gl. 3) v = 4,1√H. Austrittswinkel des Leitrades α = 15°. . . 30°. Je grösser α, desto kompendiöser wird das Rad, aber desto kleiner auch dessen Nutzeffektskoeffizient. Verhältnis der Radien nach Gl. 9) \frac{r}{r_1}=\varrho=1, somit r = r1. Hieraus folgt nach Gl. 13) \delta+\kappa_1=\frac{19,61\,H_1}{v^2\,cos^2\,\alpha} (log 19,61 = 1,2925) und nach Gl. 14) a=\frac{v\,cos\,\alpha}{\sqrt{19,611}}=\sqrt{\frac{H_1}{\delta+\kappa_1}}. Wir wählen ferner x = 2,0 . . . 2,5 . . . 3,0 und zwar bei kleinem Winkel α den kleineren, bei grösserem α den grösseren Wert. Damit erhält man nach Gl. 12) \kappa_1=\frac{tg^2\,\alpha}{0,9\,\kappa^2} und \delta=\delta+\kappa_1-\frac{tg^2\,\alpha}{0,9\,\kappa^2}. Kennt man δ, so geht man damit in die Tabelle ein oder man bestimmt nach Gl. 27) und 28) den Wert von ε, φ und ψ. Nach Gl. 18) ist dann tg\,\gamma=\frac{tg\,\alpha}{\varepsilon\,\kappa} und nach Gl. 19) tg\,\beta=\frac{tg\,\alpha}{1-\varphi}. Den mittleren Radius des Rades kann man nehmen r=\sqrt{\frac{Q_0}{v\,sin\,\alpha}} . . . . . 33) Dabei wird die Breite des Leitrades ungefähr der fünfte Teil des mittleren Radius. Je grösser r genommen wird, desto kleiner erhält man die Breite des Rades. Die Anzahl der Schaufeln des Laufrades kann man nehmen λ = 10 + 40 r. Es ist gut, wenn die Schaufelzahlen der zwei Räder relative Primzahlen sind, damit nicht mehrere Schaufelköpfe sich zugleich decken. Dem Leitrade gibt man immer um eine oder mehrere Schaufeln mehr als dem Laufrade, daher λ0= λ + 1 . . . 5. Die Teilung des Leitrades für den mittleren Halbmesser gerechnet ist in Millimeter t_0=\frac{6283\,r}{\lambda_0}; jene des Laufrades t=t_1=\frac{6283\,r}{\lambda}. Die Dicke für Blechschaufeln in Millimeter e = 3 (1+ r), für gegossene Schaufeln e = 5 (1 + r). Gewöhnlich ist e0 = e = e1, d.h. alle Schaufeln sind gleich dick. Nach Gl. 6) und 8) ist \vartheta_0=\left(\frac{t_0\,sin\,\alpha-e_0}{t_0\,sin\,\alpha}\right)\,\left(\frac{t\,sin\,\beta-e}{t\,sin\,\beta}\right) und \vartheta_1=\frac{t_1\,sin\,\gamma-e_1}{t_1\,sin\,\gamma}. Die Breite des Leitrades nach Gl. 7), mit Rücksicht darauf, dass \sqrt{\frac{\zeta_0}{\zeta}}=\sqrt{\frac{0,927}{0,857}}=1,04 und der Wasserverlust durch den Spalt wegen fehlenden Ueberdrucks zu vernachlässigen, also x = 1 ist, wird b_0=\frac{0,153\,Q_0}{r\,\vartheta_0\,v\,sin\,\alpha}. Die Breite des Laufrades an der Eintrittsseite, welche auf den Gang von keinem Einflüsse, vorausgesetzt, dass dieselbe gross genug ist, um ein seitliches Verspritzen des Wassers zu vermeiden, kann man nehmen b = 1,05 b0 + 0,01. Diese Breite genügt bei seitlicher Ventilation. Soll die Luft von oben eintreten, so muss man b entsprechend vermehren; z.B. kann man b = 1,25 b0 + 0,01 nehmen. Die Breite des Laufrades an der Austrittsstelle nach Gl. 11) mit x = 1 b_1=\frac{1,04\,\kappa\,\vartheta_0}{\vartheta_1}\,b_0. Man trachtet gewöhnlich γ so zu wählen, dass \frac{b_1}{b_0}=2,2\ .\ .\ .\,3,5 werde. Die Anzahl der minutlichen Umdrehungen nach Gl. 17) n=\frac{9,55\,\varphi}{r}\,v\,cos\,\alpha=\frac{42,3\,\varphi\,a}{r}. Der hydraulische Wirkungsgrad, mit Rücksicht darauf, dass Q = Q0, nach Gl. 22) \eta_h=\frac{a^2\,\psi}{H_0}. Die Reibungsverluste kann man nach Bach auf 3 bis 7 % annehmen. Nehmen wir das Mittel, so ist der wahre Nutzeffektskoeffizient η = ηh – 0,05. B. Partialbeaufschlagte freihängende achsiale Druckturbine. Ist die Wassermenge so klein oder das Gefälle so gross, dass der Halbmesser einer Vollturbine zu klein, die Umdrehungszahl aber zu gross ausfällt, dann wählt man eine teilweise beaufschlagte Druckturbine. Man berechnet dies Rad für eine Wassermenge, welche ein Vielfaches der wirklich zu Gebote stehenden Wassermenge ist. Man kann, wenn Q0 die wahre Wassermenge und Q' die zur Berechnung gewählte bedeutet, Q' = mQ 0 nehmen, wobei m von 1 bis 10 und darüber gewählt werden kann, damit nach G. Meissner die minutliche Umdrehungszahl unter 350 bleibe. Von den Leitradkanälen hat man dann nur den mten Teil wirklich anzubringen. Die Berechnung mit der Wassermenge mQ0 bleibt ganz dieselbe wie im Falle A. C. Achsiale Ueberdruckvollturbine (Jonval- und Hentschel-Turbine). Zweck der Reaktion oder des Ueberdruckes ist, ohne Verbreiterung des Laufrades gegen den Ausfluss hin doch einen kleinen Austrittswinkel beim Laufrade zu ermöglichen. Ueberdruckturbinen können nur als Vollturbinen einen guten Effekt haben, weil bei teilweiser Beaufschlagung zu viel vom Reaktionsgefälle verloren geht; sie eignen sich demnach nur für ganz konstante Wasser mengen. Die Ueberdruckturbinen gehen alle unter Wasser, das Freihängen h = h1 = 0 und H = H0, weshalb nach Gl. 4), wenn ζ = 0,857 gesetzt wird, H1 = 0,857 H0 ist. Die Höhe des Laufrades nehmen wir auch hier nach Gl. 31) h = 0,14 + 0,08 √H0, h0 = 0,75 . . . 0,8 h. Den Winkel α wählen wir α = 18 . . . 24°. Je kleiner α, desto grösser der Wirkungsgrad. Ferner pflegt man auch den Winkel β des Laufrades zu wählen; je grösser β ist, desto grösser ist das Reaktionsgefälle oder die Reaktion. Bei den Jonval-Turbinen ist durchweg β = 90 °. Hat man β angenommen, so findet man nach Gl. 19), mit Rücksicht auf r = r1, also ϱ = 1 \varphi=1-\frac{tg\,\alpha}{tg\,\beta}. Damit geht man in die Tabelle ein und findet danach δ, ε und ψ. Um den mittleren Radius der Räder bestimmen zu können, muss man die absolute Eintrittsgeschwindigkeit beiläufig bestimmen. Da ϰ wenig grösser ist als 1, kann man vorläufig \kappa_1=\frac{tg^2\,\alpha}{\sigma} setzen und bekommt auch nur beiläufig nach Gl. 14) a=\sqrt{\frac{H_1}{\delta+\frac{tg^2\,\alpha}{\sigma}}} und v\,sin\,\alpha=tg\,\alpha\,.\,\sqrt{\frac{19,61\,H_1}{\delta+\kappa_1}}=a\,tg\,\alpha\,\sqrt{19,61}. Mit diesem Werte ergibt sich nach Gl. 33) r=\sqrt{\frac{Q_0}{v\,sin\,\alpha}}=\sqrt{\frac{0,226\,Q_0}{a\,tg\,\alpha}}, welchen Wert man abrunden kann. Man kann nun die Dicke der Schaufeln wählen oder berechnen. Für Blechschaufeln in Millimeter e = 3 (1 + r), für gegossene Schaufeln e = 5 (1 + r). Die Schaufelzahl ist weit geringer als bei den Druckturbinen, weil eine so genaue Führung der Wasserstrahlen entbehrlich ist. Man kann nehmen für das Laufrad λ = 6 + 20 r, für das Leitrad λ0 = λ + 1 oder mehr, jedoch so, dass λ und λ0 relative Primzahlen seien. Man kann nun schon die Teilungen bestimmen. Für das Leitrad t_0=\frac{6283\,r}{\lambda_0}, für das Laufrad t_1=t=\frac{6283\,r}{\lambda}. Da α und β schon bekannt sind, findet man \vartheta_0=\left(\frac{t\,sin\,\beta-e}{t\,sin\,\beta}\right)\,\left(\frac{t_0\,sin\,\alpha-e_0}{t_0\,sin\,\alpha}\right). Um das Verhältnis b1 : b0 bestimmen zu können, müssen wir den Wasserverlust durch den Spalt berechnen. Unter der Voraussetzung, dass der Spalt am äusseren und inneren Umfang offen ist und die Höhe s hat, wird die in der Sekunde ausfliessende Wassermenge, bei dem Kontraktionskoeffizienten μ, und dem Ueberdruckgefälle z, q=2\,\mu\,.\,2\,\pi\,r\,s\,.\,\sqrt{2\,g\,z}. Das Ueberdruckgefälle z ist nach Gl. 2) mit Rücksicht darauf, dass das Rad unter Wasser geht, z=H_0-\frac{{v_0}^2}{2\,g\,\zeta_0}=H_0-\frac{v^2}{2\,g\,\zeta}. Nach Gl. 13) ist aber v^2=2\,g\,\frac{H_1}{(\delta+\kappa_1)\,\varrho^2\,cos^2\,\alpha}=\frac{2\,g\,a^2}{\varrho^2\,cos^2\,\alpha}, somit z=H_0-\frac{a^2}{\zeta\,\varrho^2\,cos^2\,\alpha}. Dies in obigen Ausdruck eingesetzt q=4\,\mu\,\pi\,\left(\frac{s}{r}\right)\,r^2\,\sqrt{2\,g}\,\sqrt{H_0-\frac{1}{\zeta}\,\left(\frac{a}{\varrho\,cos\,\alpha}\right)^2}. Die in das Laufrad eintretende Wassermenge ist somit Q=Q_0-q=Q_0\,\left[1-\frac{4\,\mu\,\pi\,\left(\frac{s}{r}\right)\,r^2\,\sqrt{2\,g}\,\sqrt{H_0-\frac{1}{\zeta}\,\left(\frac{a}{\varrho\,cos\,\alpha}\right)^2}}{Q_0}\right] und \frac{Q}{Q_0}=x, daher x=1-\frac{4\,\mu\,\pi\,\left(\frac{s}{r}\right)\,r^2\,\sqrt{2\,g}\,\sqrt{H_0-\frac{1}{\zeta}\,\left(\frac{a}{\varrho\,cos\,\alpha}\right)^2}}{Q_0}. Nach BachA. a. O. S. 57. ist für eine ebene Fläche μ = 0,5, für übergreifende Ränder aber β = 0,3. Nach MeissnerA. a. O. S. 112. ist μ = 0,7 und s=\frac{3\,r}{1000}. Lässt man μ vorläufig unbestimmt, dann ist x=1-\frac{\mu\,r^2\,\sqrt{H_0-\frac{1}{\zeta}\,\left(\frac{a}{\varrho\,cos\,\alpha}\right)^2}}{6\,Q_0} . . 34) Für μ = 0,7, ϱ = 1 und ζ = 0,857 wird x=1-\frac{r^2\,\sqrt{H_0-1,167\,\left(\frac{a}{\varrho\,cos\,\alpha}\right)^2}}{9\,Q_0}. Es genügt, hier für a den schon oben berechneten angenäherten Wert a^2=\frac{H_1}{\delta+\frac{tg^2\,\alpha}{\sigma}} einzusetzen. Aus Gl. 11) folgt \frac{b_1}{b_0}=\frac{1,04\,\vartheta_0\,x\,\kappa}{\vartheta_1}. Bei den Ueberdruckturbinen kann man immer b1 = b = 1,05 b0 machen. Dies und für ϑ1 nach Gl. 8) \vartheta_1=1-\frac{e_1}{t_1\,sin\,\gamma}, endlich für ϰ den Wert aus Gl. 18) \kappa=\frac{tg\,\alpha}{\varepsilon\,tg\,\gamma} eingesetzt, wird 1,05=\frac{1,04\,\vartheta_0\,x\,tg\,\alpha}{\varepsilon\,\left(1-\frac{e_1}{t_1\,sin\,\gamma}\right)\,tg\,\gamma}, woraus tg\,\gamma=0,99\,\frac{\vartheta_0\,x\,tg\,\alpha}{\varepsilon}+\frac{e_1}{t_1\,cos\,\gamma} . . . 35) folgt. Man kann auch hier für Blechschaufeln e = 3 (1 + r), für gegossene Schaufeln aber e = 5 (1 + r) nehmen. Bei Auflösung der Gl. 35) sucht man in der Nähe von tg\,\gamma'=\frac{0,99\,\vartheta_0\,x\,tg\,\alpha}{\varepsilon} den Wert von cosγ, berechnet \frac{e_1}{t_1\,cos\,\gamma'} und bei tg\,\gamma=\frac{0,99\,\vartheta_0\,x\,tg\,\alpha}{\varepsilon}+\frac{e_1}{t_1\,cos\,\gamma'} nochmals den Wert von cosγ, mit welchem nun schon der vollkommen genaue Wert von tgγ sich ergibt. Nunmehr berechnet man \kappa=\frac{tg\,\alpha}{\varepsilon\,tg\,\alpha},\ \vartheta_1=1-\frac{e_1\,sin\,\gamma}{t_1} und findet weiter \frac{b_1}{b_0}=\frac{1,04\,x\,\vartheta_0\,\kappa}{\vartheta_1}. Die Breite des Leitrades wird b_0=\frac{0,153\,Q_0}{\vartheta_0\,r\,v\,sin\,\alpha}. Die Breite des Laufrades an der Eintrittsseite ist gleich jener an der Austrittsseite b=b_1=\left(\frac{b_1}{b_0}\right)\,b_0. Ferner ist der korrigierte Wert a=\sqrt{\frac{H_1}{\delta+\frac{(\varepsilon\,tg\,\gamma)^2}{0,9}}} und damit erhält man die minutlichen Umdrehungen nach Gl. 17) n=\frac{42,30\,\varphi\,a}{r_1} und den hydraulischen Wirkungsgrad nach Gl. 22) \eta_h=\frac{x\,\psi\,a^2}{H_0}. D. Vollbeaufschlagte radiale Turbine mit vertikaler Achse. a) Druckturbine. Bei den radialen Turbinen geht das Laufrad fast ohne Ausnahme unter Wasser, weil mit dem Freigehen des Rades ein zu grosser Gefällsverlust verbunden ist. Unter Wasser gehende Räder geben nur als Vollturbinen gute Effekte, sind daher nur bei ganz unveränderlicher Wassermenge anzuwenden. Damit der Strahl zwischen den Schaufeln des Laufrades durch totes Wasser nicht gestört werde, muss man denselben durch Rückenschaufeln formen. Zur Berechnung dienen die nachstehenden Formeln. Zunächst ist h = h1 = 0, daher H = H0 und H1 = 0,857 H0. Die Eintrittsgeschwindigkeit v = 4,1√H0 Der Schaufelwinkel α des Leitrades ist wie früher zwischen 18 und 30° beliebig zu wählen. Den Halbmesser des Rades kann man nehmen r=\sqrt{\frac{Q_0}{v\,sin\,\alpha}}, wobei b0 ungefähr 0,2 r wird. Den Unterschied der Radien lassen wir von der Gefällshöhe abhängen, wir nehmen ungefähr ± (r1 – r) = 0,12 + 0,06√H0, daher r1= r ± (0,12 + 0,06 √H0). Nimmt man das obere Zeichen, so wird die Turbine eine innen-, sonst aber eine aussenbeaufschlagte. Eine Ausweitung des Laufrades gegen den Ausfluss hin ist auch bei dieser Turbinenart von Vorteil; wir wählen wieder ϰ = 2 bis 3, gewöhnlich ϰ = 2,5, dann wird mit σ = 0,9 \kappa_1=\frac{tg^2\,\alpha}{0,9\,\kappa^2}. Da v und α bekannt sind und \varrho=\frac{r}{r_1} bestimmt werden kann, erhält man, mit Rücksicht darauf, dass v2 = 2 gH1 ist, \delta+\kappa_1=\frac{1}{\varrho^2\,cos^2\,\alpha} und \delta=\frac{1}{\varrho^2\,cos^2\,\alpha}-\frac{tg^2\,\alpha}{0,9\,\kappa^2}. Mit diesem Werte geht man in die Tabelle ein und bestimmt φ, ε sowie ψ. Mit Hilfe dieser Grössen erhält man tg\,\gamma=\frac{tg\,\alpha}{\varepsilon\,\kappa},\ tg\,\beta=\frac{tg\,\alpha}{1-\varrho^2\,\varphi}. Die Konstante a wird a = 0,226 vϱcosα. Die Dicke der Schaufeln kann man wie bei den übrigen Rädern nehmen. Die Anzahl der Schaufeln ist wie bei allen Vollturbinen kleiner als bei den Girard-Turbinen. Man kann z.B. nehmen λ = 8 + 30 r, λ0 = λ + 1 . . . 5. Die Teilungen sind in Millimeter t_0=\frac{6283\,r}{\lambda_0},\ t=\frac{6283 r}{\lambda},\ t_1=\frac{6283\,r_1}{\lambda}. Damit erhält man \vartheta_0=\left(\frac{t_0\,sin\,\alpha-e_0}{t_0\,sin\,\alpha}\right)\,\left(\frac{t\,sin\,\beta-e}{t\,sin\,\beta}\right) \vartheta_1=\frac{t_1\,sin\,\gamma-e_1}{t_1\,sin\,\gamma}. Wegen der Konizität der Strahlen kann der Ausflusskoeffizient nur zu 0,92 genommen werden, demnach hat man \frac{1}{1,04\,.\,0,92\,.\,2\,\pi}=0,166, weshalb die Höhe des Leitrades b_0=\frac{0,166\,Q_0}{\vartheta_0\,r\,v\,sin\,\alpha}, diejenige des Laufrades auf der Eintrittsseite b = 1,05 b0; an der Austrittsseite wird wegen der Konizität des Strahles, welche eine Folge der nicht ganz parallelen Schaufelenden ist, der Ausflusskoeffizient ca. 0,92, daher statt b1 nur 0,92 b1 in Rechnung zu nehmen ist. Mit Rücksicht auf x = 1 wird b_1=1,04\,\frac{\kappa\,\vartheta_0}{\vartheta_1}\,b_0. Die minutlichen Umdrehungen n=\frac{42,3\,\varphi\,\alpha}{r_1}. Der hydraulische Wirkungsgrad \eta_h=\frac{a^2\,\psi}{H_0}. b) Ueberdruck- (Fourneyron-) Turbine. Wenn man die Eintrittsgeschwindigkeit wählt, bleibt der Gang der Rechnung derselbe wie bei der Druckturbine; will man aber den Eintrittswinkel für das Laufrad, d. i. β, wählen, dann kann man Proberechnungen nicht ausweichen. In diesem Falle ist der Gang der Rechnung der nachstehende. Angenommen wird α = 18 bis 30° und β, welcher Winkel bei den Fourneyron-Turbinen β = 90° ist. Nun muss man den Wert von ϱ wählen. Für aussen beaufschlagte Räder etwa ϱ = 1,25, für innen beaufschlagte ϱ = 0,8. Je grösser die Wassermenge und je kleiner das Gefälle ist, desto mehr nähert sich ϱ der Einheit. Hat man sich für einen Wert von ϱ entschieden, dann folgt aus Gl. 19) \varphi=\frac{1-\frac{tg\,\alpha}{tg\,\beta}}{\varrho^2}. Damit geht man in die Tabelle ein und bestimmt vorläufig nur den Wert von δ. Vorläufig schätzt man ϰ = 1, also \kappa_1=\frac{tg^2\,\alpha}{0,9}, und damit erhält man, ebenfalls nur vorläufig, a=\sqrt{\frac{0,857\,H_0}{\delta+\kappa_1}}. Der Halbmesser des Leitrades ergibt sich r=\frac{\sqrt{\frac{0,226\,Q_0}{tg\,\alpha}}}{\sqrt{a}}. Diesen Wert kann man abrunden und bestimmt damit \pm\,(r_1-r)=\pm\,\left(\frac{1-\varrho}{\varrho}\right)\,r=0,12+0,06\,\sqrt{H_0}. Ist diese Gleichung ungefähr erfüllt, kann man ϱ und alle anderen Grössen beibehalten, sonst muss man ϱ verbessern und die ganze Rechnung von neuem beginnen. Ist \pm\,\left(\frac{1-\varrho}{\varrho}\right)\,r zu gross, dann muss man ϱ mehr der Einheit nähern, und umgekehrt. Hat man ϱ erraten, dann kann nebst δ auch ε und ψ der Tabelle entnommen werden. Die Anzahl der Schaufeln ist für das Laufrad circa λ = 6 + 20 r, für das Leitrad etwas mehr λ0 = λ + 1 ... 5. Demnach sind die Teilungen in Millimeter t_0=\frac{6283\,r}{\lambda_0},\ t=\frac{6283\,r}{\lambda},\ t_1=\frac{6283\,r_1}{\lambda}. Die Dicke der Schaufeln wie früher. Damit erhält man \vartheta_0=\left(\frac{t_0\,sin\,\alpha-e_0}{t_0\,sin\,\alpha}\right)\,\left(\frac{t_0\,sin\,\beta-e}{t\,sin\,\beta}\right). Der Wert von x ergibt sich nach Gl. 34) x=1-\frac{r^2\,\sqrt{H_0-\frac{7}{6}\,\left(\frac{a}{\varrho\,cos\,\alpha}\right)^2}}{\left(\frac{6}{\mu}\right)\,Q_0}, worin der Ausflusskoeffizient μ bei ebenem Spalt μ = 0,7, für übergreifende Ränder μ = 0,5. Mit Rücksicht darauf, dass die Konizität der Strahlen beim Leit- und Laufrad ungefähr gleich gross ist, wird \frac{b_1}{b_0}=1,04\,\frac{\vartheta_0\,x\,\kappa}{\vartheta_1}, weshalb statt Gl. 35) tg\,\gamma=\frac{1,04\,\vartheta_0\,x\,tg\,\alpha}{\left(\frac{b_1}{b_0}\right)\,\varepsilon}+\frac{e_1}{t_1\,cos\,\gamma}. Gewöhnlich ist bei den Ueberdruck- (Fourneyron-) Turbinen b1 = b = 1,05 b0. Man kann aber das Laufrad gegen den Ausfluss hin ausweiten, wie bei den Girard-Turbinen, nur ist der Nutzen dessen hier geringer als dort. Hat man \frac{b_1}{b_0} angenommen und damit tgγ berechnet, so ergibt sich \kappa=\frac{tg\,\alpha}{\varepsilon\,tg\,\gamma};\ \vartheta_1=\frac{t_1\,sin\,\gamma-e_1}{t_1\,sin\,\gamma}. Nachdem δ schon bekannt ist, findet man \delta+\kappa_1=\delta+\frac{(\varepsilon\,tg\,\gamma)^2}{0,9}, somit der korrigierte Wert von a a=\sqrt{\frac{0,857\,H_0}{\delta+\kappa_1}}. Weil v\,sin\,\alpha=\sqrt{19,61}\,a\,tg\,\alpha ist, wird die Breite des Leitrades mit Rücksicht auf die Konizität der Wasserstrahlen b_0=\frac{0,0375\,Q_0}{\vartheta_0\,r\,a\,tg\,\alpha}; jene des Laufrades an der Austrittsseite b_1=\frac{1,04\,\kappa\,\vartheta_0\,x}{\vartheta_1}\,b_0; auf der Eintrittsseite aber b = 1,05 b0. Die Anzahl der minutlichen Umdrehungen n=\frac{42,3\,\varphi\,a}{r_1}. Der hydraulische Wirkungsgrad \eta_h=\frac{x\,a^2\,\psi}{H_0}. Bei den aussen beaufschlagten Turbinen ist die Ableitung des toten Wassers mit einigen Schwierigkeiten verknüpft, weshalb man immer auf einen Gefällsverlust von 0,05 ... 0,1 m zu rechnen hat. Wäre dies nicht der Fall, würden diese Turbinen den besten Wirkungsgrad haben. E. Radiale Druckturbine mit horizontaler Achse (Girard-Turbine). Bei sehr grossem Gefälle und kleiner Wassermenge wendet man zumeist radiale Partial-Turbinen mit horizontaler Achse an. Dieselben sind fast nur innen beaufschlagt, weil bei den aussen beaufschlagten die Ableitung des toten Wasser mit Schwierigkeiten verbunden ist. Der beaufschlagte Teil des Laufrades soll nicht mehr als 0,2, d. i. ein Fünftel des ganzen Umfanges sein, oft ist nur ein einziger Leitkanal vorhanden. Die Breite der Leitkanäle kann man nehmen b_0=0,3\,\sqrt{\frac{Q_0}{\sqrt{H_0}}} bis 0,4\,\sqrt{\frac{Q_0}{\sqrt{H_0}}}. Wegen des ungünstigen Einflusses der äusseren Beaufschlagung auf den Wirkungsgrad ist es zweckmässig, die Differenz der Radien kleiner zu nehmen, als früher angegeben ist, und zwar kann man h = r1 – r = 0,1 + 0,05 √H0 setzen. Es ist zweckmässig, die Halbmesser des Leitrades so anzunehmen, dass \frac{r}{r_1}=\varrho nicht kleiner als 0,7 werde; ein grösserer Wert von ϱ ist für den Wirkungsgrad günstig. Hat man h bestimmt und ϱ gewählt, dann wird r_1-r=h,\ \frac{r}{r_1}=\varrho, woraus r_1=\frac{h}{1-\varrho},\ r=r_1-h folgt. Der Leitapparat ist nahe dem tiefsten Punkte des inneren Umfanges angebracht, das Laufrad geht frei, somit steht die Tangente an dem tiefsten Punkte des äusseren Umfanges des Laufrades um h1 über dem Spiegel des Unterwassers, weshalb H = H0 – h – h1 und, v = 4,1√H ist. Der Winkel a ist gewöhnlich sehr klein, obwohl ein mässig grosser Wert von α keinen bedeutenden Effektverlust bedingt; man wählt α = 15 bis 20°. Es genügt, das Verhältnis ϰ = 1,5 bis 2,5 zu wählen. Man hat hier wieder H1 = 0,857 (H0 – h1) + 0,143 h. Nach Gl. 13) ist dann \delta+\kappa_1=\frac{1,167\,H_1}{H\,\varrho^2\,cos^2\,\alpha}. Weil \kappa_1=\frac{1}{0,9}\,\left(\frac{tg\,\alpha}{\kappa}\right)^2 ist, folgt \delta=\delta+\kappa_1-\frac{1}{0,9}\,\left(\frac{tg\,\alpha}{\kappa}\right)^2. Mit diesem Werte geht man in die Tabelle ein und findet φ, ε und ψ. Damit wird tg\,\beta=\frac{tg\,\alpha}{1-\varrho^2\,\varphi};\ tg\,\gamma=\frac{tg\,\alpha}{\varepsilon\,\kappa}. Nach Gl. 14) ist ferner a=\sqrt{(0,857\,H)}\,\varrho\,cos\,\alpha, somit nach Gl. 17) die minutlichen Umdrehungen n=\frac{42,3\,a\,\varphi}{r_1}. Der hydraulische Wirkungsgrad nach Gl. 22), weil x = 1, ist \eta_h=\frac{a^2\,\psi}{H_0}. Die Teilung des Laufrades wählt man so, dass der normale Abstand zweier Schaufeln auf der Austrittsseite d1= 8 bis 12 mm beträgt. Die Teilung am äusseren Umfange ist dann, wenn e1 die Schaufeldicke ist, t_1=\frac{d_1}{sin\,\gamma}+e_1 und die Anzahl der Laufradschaufeln \lambda=\frac{6283\,r_1}{t_1}. Da λ eine ganze Zahl sein muss, ist t1 zu korrigieren t_1=\frac{6283\,r_1}{\lambda}. Die Teilung des inneren Umfanges ist t = t 1 ϱ Damit wird, wenn e die Dicke der Schaufeln am inneren Umfang, \vartheta=1-\frac{e}{t\,sin\,\beta}. Den freien Normalabstand zweier Leitschaufeln kann man so nehmen wie bei dem Laufrade d0 = 8 bis 12 mm. Wegen des nicht vollkommenen Parallelismus der Schaufelenden kann man den Ausflusskoeffizienten aus dem Leitapparate nur mit 0,92 nehmen. Daher sind λ0 Leitkanäle anzubringen \lambda_0=\frac{Q_0}{0,92\,\vartheta\,d_0\,b_0\,1,04\,v\,sin\,\alpha}=\frac{1,05\,Q_0}{\vartheta\,d_0\,b_0\,v\,sin\,\alpha}. Da dies eine ganze Zahl sein muss, wird man d0 entsprechend korrigieren. Der Bogen B, welcher dem Leitapparate entspricht, ist B = λ0 d0 + (λ0 – 1) e0, wenn e0 die Dicke der Leitschaufeln ist. Die Breite des Laufrades auf der Austrittsseite b_1=\frac{1,04\,\vartheta\,\kappa}{\vartheta_1}\,b_0, worin \vartheta_1=1-\frac{e_1}{t_1\,sin\,\gamma}=\frac{d_1}{d_1+e_1} ist. 6. Zahlenbeispiel. Folgerungen. Den Einfluss des Systems und der Konstruktionselemente kann man nur aus Beispielen ganz unzweifelhaft erkennen, weshalb es passend sein dürfte, einen bestimmten Fall zu berechnen. Es sei das Gefälle H0 = 4,10 m und die sekundliche Wassermenge Q0 = 5 cbm. Es ist die Turbine zu berechnen. A. Druckturbine nach Girard mit vertikaler Achse. Wir nehmen h1 = 0,05 m Freihängen und die Höhe des Laufrades h = 0,14+ 0,08√4,1, rund h = 0,3 m. Demnach H = 4,1 – 0,3 – 0,05. H = 3,75. v = 4,1√3,75 = 7,94. α = 15 °. H1 = 0,857 . 3,75 + 0,3 = 3,514. \delta+\kappa_1=\frac{19,61\,.\,3,514}{7,94^2\,.\,0,9659^2}=1,172. Wir wählen ϰ = 2,5, somit \kappa_1=\frac{1}{0,9}\,\left(\frac{0,2679}{2,5}\right)^2. ϰ1= 0,013. δ = 1,172 – 0,013 = 1,159. \varphi=0,500+\frac{100}{208}\,.\,0,159=0,576. \varepsilon=0,474+\frac{101}{208}\,.\,0,159=0,551. \psi=0,974+\frac{196}{208}\,.\,0,159=1,124. tg\,\gamma=\frac{0,2679}{2,5\,.\,0,551}=0,195.\ tg\,\beta=\frac{0,2679}{1-0,576}=0,632. γ = 11°. β = 32° 20'. Der mittlere Halbmesser der Räder r=\sqrt{\frac{5}{7,94\,.\,0,2588}}=1,56, wofür wir r = 1,6 nehmen. Die Anzahl der Schaufeln des Laufrades λ = 10 + 40 . 1,6 = 74, des Leitrades Die Teilungen sind t=t_1=\frac{6283}{77}\,.\,1,6=130,5;\ t_0=\frac{6283}{74}\,.\,1,6=136; t 0 sinα = 136    . 0,2588 = 35,2 mm; tsinβ = 130,5 . 0,534 = 69,7   „; t 1 sinγ = 130,5 . 0,191 = 24,9   „; e0 = e1 = e = 5 mm; \vartheta_0=\frac{30,2}{35,2}\,.\,\frac{64,7}{69,7}=0,796; \vartheta_1=\frac{19,9}{24,9}=0,799. Die Breite des Leitrades b_0=\frac{0,153\,.\,5}{1,6\,.\,0,796\,.\,7,94\,.\,0,2588}=0,293\mbox{ m}, jene des Laufrades beim Eintritt b = 0,32 m, beim Austritt b_1=\frac{1,04\,.\,2,5\,.\,0,796}{0,799}\,.\,0,293, b1 = 0,759 oder rund b1 = 0,80 m, a=\sqrt{\frac{3,514}{1,172}}=1,731. Die minutlichen Umdrehungen n=\frac{42,3\,.\,0,576\,.\,1,731}{1,6}=26,4. Der hydraulische Wirkungsgrad \eta_h=\frac{3\,.\,1,124}{4,1}=0,822. Rechnet man in ganz gleicher Weise mit verschiedenen Werten des Winkels α, so erhält man nachstehende Resultate (Tabelle 1). Hieraus ist ersichtlich, dass ein grösserer Eintrittswinkel die Räder verkleinert, den Gang beschleunigt, aber den Wirkungsgrad herabsetzt. Letzteres jedoch in so geringem Masse, dass man bei der Wahl des Winkels α nicht zu ängstlich zu sein braucht. B. Achsiale Ueberdruckturbine. Für dieselben Angaben Q0 = 5, H0 = 4,1 ist eine achsiale Ueberdruckturbine (nach Jonval) zu berechnen. Da hier β = 90°, folgt φ = 1; δ = 2,111; ε = 1,000; ψ = 2. Tabelle 1. Tabelle 2. α r n ηh % α r n ηh % 15 1,56 27,1 82,2 15 1,82 29,8 73,6 18 1,43 29,8 81,8 18 1,66 32,0 73,5 24 1,25 35,0 80,7 24 1,44 36,6 72,1 30 1,12 40,4 79,3 30 1,28 40,0 68,6 Die Elemente ändern sich mit dem Winkel α. Die vorstehende Tabelle 2 enthält die für unsere Zwecke wichtigsten Resultate. Vergleicht man diese Werte mit jenen der Tabelle 1, so sieht man, dass die Reaktion den Radius des Rades und dessen Umdrehungszahl vergrössert, den Wirkungsgrad aber herabsetzt. Bei α = 30° ist z.B. η um circa 10 % kleiner für die Reaktions- als für die Aktionsturbine. Ueberdies hat die erstere noch den Mangel, nur für ganz konstante Wassermengen gut brauchbar zu sein. C. Achsiale Druckturbine ohne Ausweitung. Um zu erfahren, welchen Einfluss die Ausweitung des Laufrades auf den Wirkungsgrad hat, berechne ich für das Gefälle H0 = 4,1 und die Wassermenge Q = 5, die Turbine ohne Ausweitung. Nimmt man \kappa=\frac{1}{\sqrt{0,9}}=1,054 und h1 = 0,05, dann wird δ = δ + ϰ 1 – tg 2 α. Für α = 15 18 30 wird 100 ηh = 78,2 75,7 60,0 Vergleicht man diese Werte mit jenen der Tabelle 1, so sieht man, welchen Nutzen die Ausweitung des Laufrades gegen den Abfluss hin gewährt. Selbst bei ganz kleinem Austrittswinkel der Leitschaufeln (α = 15°) beträgt derselbe ca. 4 % und der Gewinn wird um so grösser, je grösser der Austrittswinkel der Leitradschaufeln ist, bei α = 80° beträgt derselbe 19 %. Uebrigens ist aus den Tabellen auch zu ersehen, dass bei Austrittswinkeln α < 20° die Druckturbine ohne Ausweitung der Reaktionsturbine überlegen ist, über 20° aber. gibt diese bessere Wirkungsgrade als jene. Heutzutage ist man von den Aktionsturbinen ohne Ausweitung ganz abgekommen. D. Innenbeaufschlagte Radialturbine. Wir setzen voraus, dass dieselbe mit horizontaler Achse versehen ist. Das Gefälle sei H0 = 4,1 wie früher, die Breite des Kranzes r1– r = 0,25 und r = 1,5, somit \varrho=\frac{1,5}{1,75}=0,857. Wenn das Freihängen h1 = 0,05 beträgt, wird H= 3,8 und H1 = 0,857 . 3,8 + 0,25 = 3,51, \delta+\kappa_1=\frac{1,465}{cos^2\,\alpha}. Wählt man ϰ = 2,5, dann ist \kappa_1=\frac{tg^2\,\alpha}{5,625} und a2 = 2,393 cos2 α, weshalb der hydraulische Wirkungsgrad \eta_h=\frac{a^2\,\psi}{4,1}=0,583\,\psi\,cos^2\,\alpha. Vergleicht man diese Zahlen mit jenen der Tabelle 1, so sieht man, dass zwischen den zwei gebräuchlichsten Arten von Girard-Turbinen kaum ein Unterschied in den Wirkungsgraden besteht. Immerhin ist die Turbine mit vertikaler Achse etwas günstiger als jene mit horizontaler Achse. Tabelle 3. α δ ψ ηh % 15 1,558 1,496 81,3 18 1,601 1,535 81,0 24 1,721 1,646 80,0 30 1,894 1,802 78,8