Zur Theorie der Kühlverfahren von Linde, Siemens und Mix mittels Kaltluftmaschine. Von Dr. Paul Berkitz, Charlottenburg. Zur Theorie der Kühlverfahren von Linde, Siemens und Mix mittels Kaltluftmaschine. Die Theorie der Kaltluftmaschinen hat infolge des Erfolges, den Linde durch sein Luftverflüssigungsverfahren errungen hat, im Laufe der letzten Jahre eine erhöhte Bedeutung erlangt, da ja die Verwendung der flüssigen Luft in Wissenschaft und Technik, wenn auch nicht in so hohem Masse, wie man nach den ersten brauchbaren Versuchsergebnissen vielfach erwartet hat, so doch immerhin stetig und sicher zugenommen hat. Die Früchte, welche Linde zeitigte, förderten die alten Luftverflüssigungsversuche von Siemens aus der Vergessenheit, der sie bereits anheimgefallen waren, wieder ans Tageslicht. Gleichzeitig bezw. vor Lindes Versuchen wurde dagegen ein scheinbar ganz anderes Luftverflüssigungsverfahren, das sich von dem alten Siemensschen Verfahren nur durch Fortlassung des zur Gewinnung von mechanischer Nutzarbeit dienenden Expansionszylinders unterscheidet, von dem Naturwissenschaftler Conrad Mix in Berlin gefunden und auf Grund des ersten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie als richtig nachgewiesen. Im Anschluss an die vorgenannten Kühlverfahren, insbesondere aber infolge des Lindeschen Kühlverfahrens, durch das die permanenten Grase, wie Stickstoff, Sauerstoff und selbst Wasserstoff, in grösseren Mengen verflüssigt worden sind, sind vielfach theoretische Arbeiten über die verschiedenen Kühlverfahren mittels der Kaltluftmaschine und über die Ausführbarkeit dieser Verfahrungsarten in den Fachzeitschriften veröffentlicht worden. In solchen Arbeiten sind jedoch nicht selten Aussprüche enthalten, welche, insbesondere soweit sie sich auf das Siemenssche und das aus demselben abgeleitete Verfahren von Mix beziehen, unhaltbar sind bezw. irrige Vorstellungen über deren Durchführbarkeit erwecken. Da die Prüfung und Bewertung dieser drei wichtigsten Kühlverfahren mittels der Kaltluftmaschine auch über das Wesen des Lindeschen Verfahrens neues und klares Licht ausstrahlen dürfte, so soll dieser Gegenstand unter möglichster Benutzung der früheren Arbeiten hier eingehend besprochen werden; insbesondere sollen die von Mewes in „Dinglers polytechn. Journal“ sowie in der „Zeitschrift für die gesamte Kälteindustrie veröffentlichten theoretischen Arbeiten über das Lindesche Kühlverfahren berücksichtigt werden, in welchen eine Prüfung der Grundlagen der Theorie, nämlich der Joule- Thomsonschen Formel \delta_0=\frac{p_2-p_1}{4}\cdot \left(\frac{289}{T}\right)^2 an der Hand der Grundgesetze der mechanischen Wärmetheorie versucht worden ist. Auch Joules Versuche selbst sollen eingehend besprochen werden. Den bisherigen Standpunkt der Theoretiker und Praktiker kennzeichnet Professor M. Schröter in dem Vortrage, welchen er über „Lindes Verfahren der Sauerstoffgewinnung mittels verflüssigter Luft“ in der 36. Hauptversammlung des Vereins deutscher Ingenieure am 19. August 1895 zu Aachen gehalten und in der Zeitschrift des Vereins Bd. 39 H. 39 veröffentlicht hat, auch heute noch für weite Fachkreise als richtig geltend dahin, dass im Gegensatz zu den Kaltdampfmaschinen die Kaltluftmaschine ausschliesslich auf der durch äussere Arbeit – Nutzarbeit – zu erzielenden Abkühlung der Luft beruhe, welche zuvor in einem Kompressionszylinder auf den gewünschten Druck (6 bis 8 Atmosphären) gebracht und durch Kühlwasser auf ihre ursprüngliche Temperatur abgekühlt wurde. (Vgl. den Streit zwischen Prof. Raoul Pictet und Linde über die Sauerstoffgewinnung nach Pictetschem Verfahren.) Auf ein solches Kühlverfahren, bei welchem gleichzeitig noch das Gegenstromprinzip benutzt wurde, hat William Siemens im Jahre 1857 ein englisches Patent, No. 2064,genommen. Die Ausführung dieses theoretisch günstigsten Verfahrens scheiterte damals an praktischen Schwierigkeiten. Da die Kompression möglichst isothermisch und die Expansion unter äusserer Arbeitsleistung in einem Zylinder adiabatisch erfolgt, so gelten für die Kompression und Expansion des Siemensschen Verflüssigungsverfahrens die bekannten thermodynamischen Grundformeln erstens für die Kompressionsarbeit in Wärmemass A\,L=Q=A\,B\,T\,ln\,\frac{p_1}{p_0} . . . . (1) worin A=\frac{1}{425}, B = 29,269 (für Luft), T = 289, p0 der Atmosphärendruck, p1 der Höchstdruck ist, zweitens für die Expansionsarbeit AL1 = Q1 = cv (T – Tx) . . . . . (2) also theoretischer Arbeitsaufwand Q-Q_1=A\,B\,T\,ln\cdot \frac{p_1}{p_0}-c_v\,(T-T_x)     (3) drittens für die Beziehung zwischen Temperatur, Volumen und Druck \frac{T}{T_x}=\left(\frac{v_14}{v_0}\right)^{k-1}=\left(\frac{p_0}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} Infolge der Vorkühlung der erzeugten Pressluft nach dem Gegenstromprinzip sinkt die Temperatur T immer mehr, so dass, wie Gleichung 2 erkennen lässt, die Expansionsarbeit stetig abnimmt und somit die verbrauchte Arbeit in dem Arbeitsprozess bis zu einem dem stationären Zustande entsprechenden Grenzwert zunimmt. Ferner bemerkt Schröter a. a. O., dass man in allen technischen Lehrbüchern den Satz findet, dass eine Kaltluftmaschine vollkommen unwirksam werden müsste, wenn man nach dem Beispiel der Kaltdampfmaschine den Expansionszylinder weglassen und die Luft einfach durch ein Drosselventil ausströmen lassen wollte; diese Anschauung gründe sich darauf, dass man mit einer für technische Zwecke genügenden Genauigkeit die Luft als ein vollkommenes Gas betrachtet, bei welchem zwischen den einzelnen Molekülen gar keine Kräfte wirken, und dass daher die gesamte innere Arbeit durch die zur Veränderung der Temperatur erforderliche Wärme geleistet wird. Die hier von Schröter vertretene Anschauung älterer Kühlmaschineningenieure ist nicht nur theoretisch unhaltbar, sondern auch längst experimentell durch die Versuche von de Saint-Vemant und Wantzel (Mémoire et éxperiences sur l'écoulement de l'air, détérminé par des differences de pressions considérables; Journal de l'École polytechnique Bd. 16, 1839) und von Weissbach (Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinenmechanik, 3. Auflage, 1855 Bd. 1, S. 820). als unrichtig nachgewiesen worden. Auch in der neuesten Ausgabe von Zeuners Thermodynamik Th. I, S. 163 und Th. II, S. 290 und 291, wird jene Anschauung Schröters vertreten und durch eine angebliche Beobachtung Joules begründet, nach welcher die in einem Gefässe eingeschlossene hochgespannte atmosphärische Luft keine Temperaturänderung erleidet, wenn man dieselbe nach einem zweiten Gefässe, welches vorher luftleer gepumpt wurde, expandieren lässt, vorausgesetzt, dass man die Temperatur nach der Druckausgleichung und nach dem Uebergange in den Ruhezustand beobachtet und eine Wärmemitteilung von aussen nicht stattfand. Zeuner hat leider die Stelle nicht angegeben, wo Joule diesen Versuch veröffentlicht hat. Die einzige Stelle, welche ich über diese Frage in Joules Abhandlungen (On the Thermal Effects experiment W. ced by air in rushing through small Apertures. By J. P. Joule and Thomson. Phil. Mag, 4th Series, Suppl. vol. p. 481, Joule, Scientific Papers, Bd. II. p. 216–218, 221–222) gefunden habe, stellt jene Behauptung nur als eine aus dem Mayer'schen, Aequivalentgesetze folgende Hypothese bezw. diese Hypothese als die Vorbedingung für die Richtigkeit des Mayer'schen Aequivalentgesetzes hin. Joule sagt nämlich auf S. 217 unten und S. 218 oben: „Then, if Mayers hypothesis were true, the aire after leaving the narrow passage would have exactly the same temperature as it had before reaching it. If, on the contrary, the air experiences either a cooling or a heating effect in these circumstances, we may infer that the heat produced by the fluid friction in the rapids, or, which is the same, the thermal equivalent of the work done by the air in expanding from its state of high pressure on one side oft the narrow passage to the state of atmosphäric pressure wich it has after passing the rapids, is one case less, and in the other more, than sufficient to compensate the cold due to the expansion; and the hypothesis in question would be disproved.“ Dieser von Zeuner Joule zugeschriebene Versuch ist, soviel ich weiss, von Regnault gemacht worden. Die in vorstehender Stelle von Joule gegen Mayer beliebte Kritik schwebt in der Luft, da einerseits das Ueberströmen hochgespannter Luft in ein Vakuum nur ein rein idealer Grenzfall ist, andererseits die von Joule ausgeführten Versuche, wie sich unten zeigen wird, nur eine Bestätigung des Mayer'schen Aequivalentgesetzes bringen. Allerdings hat Joule, dessen Arbeiten ja eingestandenermassen gegen das Mayer'sche Gesetz gerichtet sind, sich nicht die Mühe genommen, die gefundenen Resultate durch die bei der Expansion gegen die Atmosphäre geleistete Arbeit zu erklären, sondern vielmehr die geringfügigen Kühlwirkungen, welche er beobachtete, auf innere Arbeitsleistung bei der Ausdehnung der Luft zurückzuführen unternommen. Die von ihm und Thomson gefundenen Versuchsresultate lassen sich durch die Formel \delta=0,276\,(p_1-p_2)\,\left(\frac{273}{T}\right)^2 darstellen, in welcher p1 – p2 die Druckdifferenz in Atmosphären (10333 kg auf 1 qcm) und T die absolute Temperatur der Luft beim Eintritte in die Mündung bedeutet. Diese Formel ist von Linde und auch von Zeuner als richtig und massgebend für die Vorgänge beim Lindeschen Kühlverfahren angenommen und darauf nicht nur eine Theorie des Lindeschen Kühlverfahrens begründet, sondern daraus auch eine neue Zustandsgleichung der Luft \frac{p\,v}{T}=B-\frac{c_{p_0}}{3\,A}\,\left[1-\sqrt[3]{1-\frac{3\,\alpha}{T}\cdot \frac{p}{3}}\right] abgeleitet worden. In dieser Zustandsgleichung, welche auch Planck in seinen „Vorlesungen über Thermodynamik“ (Leipzig 1897) S. 118 entwickelt hat, ist B = 29,303, cpo = 0,237, a = 20570. Aus dieser Zustandsgleichung folgt das spezifische Volumen v der Luft bei –191° v = 0,2222 cbm. Dieser Zahlenwert stimmt jedoch weder mit der von Mewes durch zahlreiche Beobachtungen bestätigten allgemeinen Zustandsgleichung der Gase (s. „Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbefleisses“) noch auch mit den in Wiedemanns Annalen veröffentlichten Versuchen von Behn über die Dichtigkeit der Luft beim Siedepunkte unter Atmosphärendruck überein; denn in beiden Fällen ergiebt sich für das spezifische Volumen der Luft v bei – 191° v = 0,46 cbm. Die aus der Theorie des Lindeschen Kühlverfahrens abgeleitete Zustandsgleichung stimmt demnach nicht mit der Beobachtung überein; ebenso wenig lassen sich die daraus erhaltenen Werte der spezifischen Wärmen bei sinkender und steigender Temperatur mit den bisherigen genauen Versuchen von Eilhard Wiedemann und anderen Physikern in Einklang bringen. Man ist daher genötigt, die Theorie des Lindeschen Kühlverfahrens kritisch und mit grosser Vorsicht aufzunehmen. In der That sind in dieser Theorie zwei recht wunde Punkte enthalten, nämlich erstens die oben Joule zugeschriebene Hypothese bezw. die daraus abgeleitete sachliche Schlussfolgerung,dass, wenn man ein Gas unter konstantem Druck p1 aus einem Gefässe nach einem zweiten Gefässe durch ein Drosselventil hindurchtreten lässt, in welchem der Druck auf konstanter Höhe p2 gehalten wird, U2 = U1 + p1v1 – p2v2 und wegen Gleichheit von U2 und U1 auch p1v1 = p2v2 und folglich gemäss der Gleichung pv = BT auch T2 = T1 ist, und zweitens die Joule-Thomsonsche Experimentalformel. Mit Rücksicht auf diese Formel weist nämlich Professor Schröter a. a. O. zur Erklärung des Lindeschen Kühlverfahrens darauf hin, dass die Physik ein vollkommenes Gas nicht kennt, sondern bei allen Gasen Abweichungen vorkommen, welche darauf deuten, dass die inneren Kräfte nicht gleich Null sind; dass jedoch diese Abweichungen sehr gering und um so unbedeutender sind, je permanenter im übrigen das Gas ist. Die Versuche von Joule und W. Thomson, welche schon anfangs der 50er Jahre und später angestellt sind, hätten den experimentellen Nachweis erbracht, dass atmosphärische Luft, wenn sie aus einem Raum mit höherem Druck durch ein Ventil einfach ausströmt, sich nach Erreichung des Beharrungszustandes dauernd abkühlt, so dass ein gewisser Betrag von Wärme zur Ueberwindung innerer Kraft aufzuwenden sei, welcher durch die obige Formel angegeben werde. Die von Joule und seinen Anhängern gegen die Meyer'sche Bestimmungsmethode des Wärmeäquivalents erhobenen Einwände werden jedoch als haltlos gekennzeichnet durch den bündigen Beweis von Dr. Th. Gross, dass die Luft innere Kräfte nicht enthält und die auf der gegenteiligen Annahme aufgebauten wärmetheoretischen Formeln demnach irrig und falsch sind. Gross führt in seiner wichtigen Abhandlung „Robert Mayer und Hermann v. Helmholtz“ folgendes aus: „Ist p der Druck, v das Volumen einer gegebenen Luftmenge, die sich durch Erwärmen sehr langsam ausdehnt, so ist ein Element der äusseren Arbeit, die sie dabei leistet, gleich p d v. Bezeichnet U die Wärme, die von der Luft, von äusserer Arbeit abgesehen, aufgenommen wird, so könnte dieselbe ausser von der absoluten Temperatur ϑ auch von einer begrenzten Zahl anderer von ϑ unabhängiger Veränderlicher λ, μ . . . . ρ abhängen, so dass d\,U=\frac{d\,U}{d\,\vartheta}\cdot d\,\vartheta+\frac{d\,U}{d\,\lambda}\,d\,\vartheta+\frac{d\,U}{d\,\varrho}\,d\,\varrho wäre. Wird nun wiederum die Unzerstörbeit der Wärme vorausgesetzt, so wäre demnach ein Element der gesamten Wärme Q, die bei der Erwärmung der Luft unter Arbeitsleistung verbraucht wird, gleich d\,Q=\frac{d\,U}{d\,\vartheta}\,d\,\vartheta+\frac{d\,U}{d\,\lambda}\,d\,\lambda+.....+\frac{d\,U}{d\,\varrho}\,d\,\varrho+p\,d\,v Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Wärmegrösse dQ, auf der rechten eine Arbeit p d v; hierauf wird aber nicht das Bestehen eines konstanten Verhältnisses zwischen Wärme und Arbeit behauptet, sondern die Gleichung besagt nur, dass die auf der linken Seite stehende Wärmegrösse gleich der Summe aller Aenderungen auf der rechten Seite ist. Das ist aber nichts anderes als die Annahme der Unzerstörbarkeit der Wärme, die bei keiner Aequivalentbestimmung zu umgehen ist. Wird p als konstant angenommen, so ist nun nach dem Gesetz von Mariotte und Gay-Lussac p d v = K d ϑ, worin K die Konstante des genannten Gesetzes bezeichnet. Ferner ist cpdϑ = d Q und c_v\,d\,\vartheta+\frac{d\,U}{d\,\vartheta}\,d\,\vartheta; folglich wird c_p\,d\,\vartheta=c_v\,d\,\vartheta+\frac{d\,U}{d\,\lambda}\,d\,\lambda+.....+\frac{d\,U}{d\,\varrho}\,d\,\varrho+K\,d\,\vartheta Da diese Gleichung für beliebige Werte gilt, und die auf der linken Seite stehende Grösse proportional ϑ ist, so muss dasselbe auch für die rechte Seite gelten; folglich ist \frac{d\,U}{d\,\lambda}\,d\,\lambda+....+\frac{d\,U}{d\,\varrho}\,d\,\varrho=0 was zu beweisen war. Der Unterschied zwischen den Jouleschen Versuchen und der Annahme innerer Arbeitsleistung gegenüber dem vorstehenden Beweise lässt sich erklären oder der dadurch bedingte Widerspruch lässt sich beseitigen, wenn gezeigt werden kann, dass die beobachtete Temperaturerniedrigung nicht durch innere Arbeitsleistung, sondern entsprechend dem Mayerschen Aequivalentgesetze durch äussere Arbeit in ähnlicher Weise wie bei dem Siemensschen Kühlverfahren bewirkt wird. Aus der Joule-Thomsonschen Formel hat Schröter a. a. O. ohne weiteres den Schluss gezogen, dass angesichts einer so geringfügigen Abkühlung der oben erwähnte Ausspruch ganz zutreffend ist, dass nämlich eine Kaltluftmaschine ohne Expansionszylinder technisch vollkommen wertlos wäre. In der ganzen Untersuchung Joules ist jedoch nirgends der Nachweis geführt, dass thatsächlich nicht eine dem beobachteten Temperaturabfall gleichwertige äussere Arbeit bei den betrachteten Vorgängen geleistet wird; sondern es wird lediglich zur Erklärung der geringen Temperaturerniedrigung innere Arbeitsleistung angenommen. Zur Prüfung des vorliegenden Gegenstandes müssen somit in erster Linie die Fragen entschieden werden, ob nicht beim Fortfall des Expansionszylinders, entsprechend der Jouleschen Versuchsanordnung, doch noch äussere Arbeit geleistet wird, daher die Joule-Thomsonsche Formel hier garnicht in betracht kommt, und ob ferner, wenn gleichwohl äussere Arbeit geleistet – wohl verstanden nicht nutzbar gemacht – wird, diese Arbeit eine genügende Abkühlung bewirken kann, und nach welchem Gesetze dies geschieht, und ob schliesslich die Formel und die Versuche von Joule und Thomson unanfechtbar sind. Von alledem findet sich in der ganzen Litteratur über Kühlverfahren und Kälteindustrie bis auf die Patentanmeldung von Mix – D. R. P. 124376 Klasse 12a – und die von Mewes über dessen Kühlverfahren veröffentlichten theoretischen Arbeiten nichts. Im Gegenteil hat sogar Helmholtz, dem das Mixsche Kühlverfahren zur Begutachtung vorgelegen hat, am 24. Juli 1893 in einem Briefe ein dahingehendes Gutachten abgegeben, dass er das Verfahren zur gewerbsmässigen Herstellung fester Luft für vollkommen aussichtslos halte und in diesem Briefe folgendes geschrieben: „Auf ihre erneute Eingabe vom 18. d. M. vermag ich mich nur dahin zu erklären, dass ich das von Ihnen der Reichsanstalt unterbreitete Verfahren zur gewerbsmässigen Herstellung fester Luft für vollkommen aussichtslos halte. Ihre Ausführungen vom 19. v. M. erhalten Sie beifolgend zurück; der darauf befindliche Eingangsstempel lässt erkennen, dass das Schriftstück hier vorgelegen hat. Der Präsident                 der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt, v. Helmholtz.“                 Helmholtz hat das vorstehende Urteil wohl nur mit Rücksicht auf die ihm sicher bekannten, oben erwähnten Versuche Joules und Thomsons gefällt. Nunmehr ist der theoretische Nachweis zu führen, dass eine Kaltluftmaschine, welche den Expansionszylinder weglässt, lediglich infolge der durch Fortschieben der Atmosphäre geleisteten, allerdings verloren gehenden oder nicht mechanisch nutzbar zu machenden äusseren Arbeit ohne bezw. auch zusammen mit der nicht zu vermeidenden – eventuell – inneren Arbeit eine bedeutende Kühlwirkung nach dem Mixschen Verfahren hervorbringen kann. Um die theoretischen Formeln nicht zu verwickelt zu gestalten, soll die Abkühlung durch innere Molekulararbeit unberücksichtigt bleiben, da diese Abkühlung, wie sich zeigen wird, nur einen geringen Bruchteil der durch die verloren gehende, gegen die Atmosphäre geleistete äussere Arbeit bewirkten Abkühlung darstellt. Die von Zeuner in „Technische Thermodynamik“ Bd. 1, S. 40–44 u. ff. gegebenen Entwickelungen über diese Frage sollen, da die Zeunersche Darstellung ausserordentlich einfach und klar ist, hier, wie dies ja auch in der o. a. Arbeit von Mewes geschehen ist, möglichst wörtlich benutzt werden. Es handelt sich im vorliegenden Falle um die Ausströmungsgesetze der atmosphärischen Luft unter Druck.Die Grundformeln für die strömende Bewegung und für den Ausfluss der Gase ergeben sich aus den allgemeinen Strömungsformeln für eine Flüssigkeit. Nehmen wir an, dass irgend eine Flüssigkeit ohne Einwirkung äusserer Kräfte im Beharrungszustande durch ein Rohr mit horizontaler Achse, aber veränderlichem Querschnitt hindurchströmt, sodass in der Zeiteinheit durch jeden Querschnitt die gleiche Gewichtsmenge G hindurchfliesst. Geht nun durch den vorderen Querschnitt die Flüssigkeit mit überall gleicher Geschwindigkeit w parallel hindurch, so ist das in der Zeiteinheit durchgeströmte Flüssigkeitsvolumen gleich Fw und entsprechend das durch den hinteren Querschnitt F1 w1. Ist v das spezifische Volumen und p der Druck im vorderen Querschnitt und entsprechend v1 und p1 die Werte für den Querschnitt F1, so ist im Beharrungszustande Gv1 = F1w1 und Gv = Fw . . . . 1) Bezeichnet man mit U den ganzen Betrag der inneren Arbeit und mit H denjenigen Teil der Gesamtenergie der Flüssigkeit, welcher der offenen fortschreitenden, mit der Geschwindigkeit W erfolgenden Bewegung entspricht, so ist die in der Gewichtseinheit enthaltene Arbeit gleich U + H, worin die Arbeit der fortschreitenden Bewegung H gleich deren lebendigen Kraft, also H=\frac{W^2}{2\,g} ist. . . . . . 2) Beim Uebergang vom Querschnitt F1 zum Querschnitt F wird bei entsprechender Bezeichnung eine Arbeit gleich (U + H) – (U + H1) aufgewendet oder verbraucht. Die Differenz H – H1 bezeichnet man als die Zunahme der Strömungsenergie. Ist nun die Summe der Widerstände, welche die Flüssigkeit auf dem Wege F1 nach F zu überwinden hat, gleich W, so wird die ganze auf diesem Wege verbrauchte Arbeit L = (U + H) – (U1 + H1) + W . . . 3) Während des Strömens der Flüssigkeit legt die Hinterfläche F1 in dem Zeitelement d t den Weg w1 d t und die Vorderfläche den Weg w d t zurück. Es ist F1 p1 der hinter dem Querschnitt F1 auf den Flüssigkeitskörper ausgeübte Druck, so dass auf die Flüssigkeit die Arbeit F1 w1 p1 dt übertragen wird, während die Vorderfläche F ganz entsprechend die Arbeit F w p d t noch vorwärts in Richtung der Strömung abgiebt. Die vom Flüssigkeitskörper in der Zeit d t aufgenommene Arbeit ist somit mit Rücksicht auf Gleichung 1) F1w1p1d t – F w p d t = (p1 v1 p v) G d t Da wegen des Beharrungszustandes in der Zeit d t das Flüssigkeitsgewicht G d t sowohl in den Raum F1 F ein – als auch aus demselben durch die Fläche F ausgetreten ist und eine Aenderung des Bewegungszustandes nicht stattfindet, so stellt der vorstehende Ausdruck die Arbeit dar, welche das Flüssigkeitsgewicht G d t während seiner Bewegung F1 nach F aufgenommen hat. Für die endliche Zeit t ist diese Arbeit gleich (p1 v1 – p v) G t, für die Gewichtseinheit also, indem man G t = 1 setzt, gleich p1 v1 – p v. Wird der Gewichtseinheit Flüssigkeit während der Bewegung durch F1 und F von aussen her die Wärmemenge Q zugeführt, so ist, da die Widerstandsarbeit W in Wärmemass A W ist, die zugeführte Wärmemenge Q + A W, worin A=\frac{1}{425} ist, so dass die gesamte Arbeitsleistung in mechanischem Masse L=p_1\,v_1-p\,v+\frac{Q}{A}+W . . . . 4) wird. Durch Gleichsetzen mit Gleichung 3) erhält man die Grundgleichung des vorliegenden Problems Q = A [pv – p1v1 + (U + H) – (U1 + H1)] . 5) oder, wenn man zum Differential übergeht dQ = A[d(pv) + dU + dH] . . . . 6) Liegt der Kanal nicht horizontal, sondern der Querschnitt F1 um h1 und der Querschnitt F um h unter der Horizontalebene, so wird infolge der Schwerkräftwirkong noch die Arbeit h – h1 aufgenommen, so dass die Gleichung 5) in Q = A [pv – p1v1 + (U+ H) – (U1 + H1) – (h – h1)] . . 7) und Gleichung 6) in dQ = A[d(pv) + dU + dH – dh] . . . 8) übergeht. Neben den hier abgeleiteten Gleichungen 7) und 8) hat aber noch die Grundgleichung der Thermodynamik dQ1 = d (Q + AW) = dQ + AdW = A(dU+pdv) . . . . . . . . 9) oder Q+A\,W=A\,(U-U_1)+A\,\int_{v_1}^v\,p\,d\,v . . 10) Giltigkeit. Durch Gleichsetzen mit Gleichung 8) resp. 7) erhält man dH=dh – dW – vdp . . . . . . 11) oder H-H_1=h-h_1-W-\int_{p_1}^p\,v\,d\,p . . . 12) Bei den praktischen Anwendungen handelte es sich bisher fast ausschliesslich um die Ermittelung der Strömungsenergie H, woraus dann noch Gleichung 2) w=\sqrt{2\,g\,h} und das Gewicht G der sekundlich durchströmenden Flüssigkeit nach Gleichung 1) G=\frac{F\,w}{v} gefunden wird. Die hier abgeleiteten Formeln, welche für jede Flüssigkeit gelten, lassen sich ohne weiteres auf die strömendeBewegung der Gase anwenden. Es ist nur bei den Gasen die innere Arbeit d\,U=\frac{1}{k-1}\,(v\,d\,p+p\,d\,v) oder d\,U=\frac{d\,(p\,v)}{k-1} in die Gleichung (8) einzusetzen, so dass man \left\mbox{oder}{{d\,Q=A\,d\,(p\,v)+\frac{A\,d\,(p\,v)}{k-1}+A\,d\,H-A\,d\,H}\atop{A\,d\,H=d\,Q-\frac{A\,k}{k-1}\,d\,(p\,v)+A\,d\,H}}\right\}\ 13) und aus Gleichung (9) \left\mbox{oder}{{d\,Q+A\,d\,W=A\,\left[\frac{d\,(p\,v)}{k-1}+p\,d\,v\right]}\atop{d\,Q+A\,d\,W=\frac{A}{k-1}\,(v\,d\,p+k\,p\,d\,v)}}\right\}\ 14) erhält. Nun ist aber pv = RT (Clapeyronsche Zustandsgleichung), worin R die Gasconstante und cp – cv = AR ist, so dass man \frac{A\,k}{k-1}\,d\,(p\,v)=c_p\,d\,T setzen kann und Gleichung (13) in AdH=dQ + AdH – cpdT . . . . 15) übergeht. Aus Gleichung 15) kann man die Temperatur ausströmender Gase an der Mündungsstelle berechnen; eine Prüfung der so erhaltenen Werte ist nur auf indirektem Wege, nicht aber unmittelbar mittels Thermometer möglich, weil Reibung und Stoss der Flüssigkeit den Stand des Thermometers beeinflussen. (Schluss folgt.)