Ueber Resonanzschwierigkeiten bei der drahtlosen Telegraphie. Von Dr. A. Koepsel. Ueber Resonanzschwierigkeiten bei der drahtlosen Telegraphie. Die Tatsache, dass bisher in der drahtlosen Telegraphie inbezug auf Abstimmung wenig oder nichts geleistet worden ist, legt die Vermutung nahe, dass hier prinzipielle Schwierigkeiten bestehen, die von der Technik bisher teils nicht bemeistert werden konnten, teils wohl auch in ihrem ganzen Umfange noch nicht erkannt worden sind. Einen sehr bemerkenswerten Beitrag zu dieser Frage hat Herr Professor Max Wien in seiner Abhandlung: „Ueber die Verwendung der Resonanz bei der drahtlosen Telegraphie“ Ann. d. Phys. Bd. 8, S. 686 ff. (1902) geliefert. Herr Wien sagt: „Die Dämpfung durch die Funkenstrecke ist leider noch wenig untersucht. Bjerknes gibt an, dass er für einen 7 mm langen Funken einen Widerstand von 11 Ohm aus Resonanzversuchen gefunden habe, während Braun den Funkenwiderstand auf höchstens einige Zehntel Ohm schätzt“. „Es ist möglich, dass je nach der übergehenden Elektrizitätsmenge der Widerstand grösser oder kleiner ausfällt. Dafür spricht, dass bei Einschaltung grosser Kapazitäten, also bei grossen Elektrizitätsmengen, stets verhältnismässig geringe Dämpfung durch den Funken beobachtet wurde“. Ich möchte an diese letzten Worte anknüpfend hier auf eine Voraussetzung hinweisen, welche bisher bei der Behandlung des geschlossenen Sclrwingungskreises immer stillschweigend gemacht wurde und welche darin besteht, dass der in Betracht kommende Ohmsche Widerstand, also hauptsächlich der Widerstand der Funkenstrecke, als so klein betrachtet wurde, dass der Ausdruck \frac{r^2}{4\,L^2} gegen \frac{1}{LC} verschwindend klein ist. Nimmt man den Widerstand der Funkenstrecke von der Grössenordnung eines Ohm an, so wird bei den in der drahtlosen Telegraphie üblichen Grössenordnungen der Kapazität und der Selbstinduktion diese Voraussetzung ja in den meisten Fällen statthaft sein. Es kann ja nun zweifelhaft sein, ob die Aenderung des Widerstandes der Funkenstrecke, selbst wenn sie von der übergehenden Elektrizitätsmenge abhängig ist, mit derselben Schnelligkeit erfolgt, mit der die Elektrizitätsmenge sich ändert, ob nicht vielmehr dieser Widerstand eine träge Masse bildet, die zwar die Neigung zu einer solchen Aenderung besitzt, aber wegen ihrer Trägheit den äusserst schnellen elektrischen Aenderungen nicht zu folgen vermag, sodass während des Schwingungsvorganges der Funkenwiderstand als annähernd konstant betrachtet werden kann, auch wenn er von der zuerst übergehenden Elektrizitätsmenge abhängig ist. Da indessen die Voraussetzung, dass der Funkenwiderstand in jedem Moment von der übergehenden Elektrizitätsmenge abhängig ist, zu sehr interessanten Betrachtungen führt, und Erscheinungen hervorrufen müsste, welche die Schwingungsvorgänge wesentlich zu modifizieren geeignet sind und welche bei der Beobachtung dieser Vorgänge, wenn auch nicht in dem von der Theorie geforderten Masse, so doch noch deutlich genug hervortreten dürften, um wichtige Schlussfolgerungen daraus zu ziehen, so wollen wir diese Voraussetzung machen und annehmen, dass der Funkenwiderstand eine Exponentialfunktion der Zeit sei. In diesemFalle wird sein Wachstum mit der Zeit sehr schnell erfolgen, und die Annahme, dass der Ausdruck \frac{r^2}{4\,L^2} gegen \frac{1}{LC} verschwindend klein ist, würde schon nach Verlauf einiger Schwingungen nicht mehr zutreffen. Hieraus würde sich ergeben, dass die Schwingungen durchaus nicht so verlaufen würden, wie man bisher angenommen hat, nämlich dass eine Reihe von gedämpften Sinusschwingungen erfolgt, deren Amplituden nach einer geometrischen Reihe abnehmen, und deren Anzahl unendlich gross ist, sondern dass nur eine begrenzte Anzahl von Schwingungen zu Stande kommt, und dass von einem bestimmten Moment ab, welcher gegeben ist durch die Gleichung: \left\frac{1}{CL}-\frac{{r_0}^2\,e^{2at}}{4\,L^2}=0\right\} . . . 1.) überhaupt keine Schwingungen mehr erfolgen, sondern die Entladung aperiodisch verläuft. Dieser Zeitmoment hängt ganz davon ab, nach welchem Gesetz sich der Widerstand r der Funkenstrecke ändert, d.h. von dem Ausdruck für a. Da der Funke nur beim Maximalwert der Amplitude übergeht, so brauchen wir nur die Maximalwerte zu betrachten. Nehmen wir an, dass der Widerstand der Funkenstrecke der übergehenden Elektrizitätsmenge umgekehrt proportional ist, so wird: r=r_0\cdot ^{a\,t},\ a=\frac{r_0\cdot e^{a\,t}}{2\,L} da Q=Q_0,\ e=\frac{r_0}{2\,L}\,t ist. Es ist also: e^{a\,t}=\frac{2\,L\,a}{r_0} Aus Gleichung 1.) ergibt sich aber: e^{2\,a\,t}=\frac{4\,L}{{r_0}^2\,C} Es muss daher: \frac{4\,L^2\,a^2}{{r_0}^2}=\frac{4\,L}{{r_0}^2\,C} a=\frac{1}{\sqrt{L\,C}} sein; also: \frac{2}{e^{\sqrt{L\,C}}}\,t=\frac{4\,L}{{r_0}^2\,C} t=\frac{\sqrt{L\,C}}{2}\,ln\,\frac{4\,L}{r^2\,C}=\sqrt{L\,C}\,ln\,\frac{2}{r}\,\sqrt{\frac{L}{C}} Nach Verlauf dieser Zeit würde also der Schwingungsvorgang aperiodisch verlaufen. Da nun die Dauer einer Schwingung angenähert T = 2 π √LC ist, so ersieht man hieraus, dass, um überhaupt Schwingungen zu erhalten ln\,\frac{2}{r_0}\,\sqrt{\frac{L}{C}}\,>\,2\,\pi\,n sein muss, worin n eine ganze Zahl bedeutet, d.h. \frac{2}{r_0}\,\sqrt{\frac{L}{C}}\,>\,e^{2\,\pi\,n} Für C = 10–18, r = 109, n = 1 ergibt sich L\,>\,\frac{e^{4\,\pi}}{4}=71200 für C = 10–17, r = 108, n = 1 L\,>\,\frac{e^{4\,\pi}}{40}=7120 Wird allgemein C1 = Ca, so wird r^1=\frac{r}{a} und daher L^1=\frac{L}{a} d.h. für ein und dieselbe Wellenlänge wäre in bezug auf die Anzahl der Schwingungen die Wahl von Selbstinduktion und Kapazität völlig gleichgiltig, man würde daher im Hinblick auf die Energie zweckmässig eine möglichst grosse Kapazität und kleine Selbstinduktion wählen. Bei konstanter Wellenlänge würde man daher eine Ver-grösserung der Anzahl der Schwingungen überhaupt nicht erzielen können; um die Dämpfung des Kreises zu verkleinern, müsste man also unbedingt zu einer grösseren Wellenlänge übergehen. Um eine Schwingung zu gewinnen, müsste aber die Wellenlänge e2π = 500 mal grösser gemacht werden, d.h. entweder die Selbstinduktion 250000 mal oder Selbstinduktion und Kapazität je 500 mal. Wir wollen nun unter derselben Voraussetzung bestimmen, wie gross die Zeit ist, welche verläuft, bis die Maximalamplitude der Schwingungen auf \frac{1}{e} ihres Anfangswertes herabgesunken ist. Diese Maximalamplitude ist: Q = Q0 e–at und es sei wieder a=\frac{r_0\,e^{a\,t}}{2\,L} Soll nun Q=\frac{Q_0}{e} werden, so muss t=\frac{1}{a} sein, d.h. t=\frac{2\,L}{r_0\,e^{a\,t}} e^{a\,t}=\frac{2\,L}{r_0\,t},\ a\,t=ln\,\frac{2\,L}{r_0\,t}=1, t=\frac{1}{e}\,\frac{2\,L}{r} Die Zeitkonstante des Schwingungskreises wäre also unter der Voraussetzung, dass der Widerstand der Funkenstrecke umgekehrt proportional der übergehenden Elektrizitätsmenge wächst, e mal kleiner, als bei Annahme eines konstanten Widerstandes. Wir wollen nun eine andere Annahme machen, und zwar die, dass der Widerstand der Funkenstrecke umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der übergehenden Elektrizitätsmenge wächst. Wir haben in diesem Fall nur für a eine andere Wahl zu treffen. Es sei also r=r_0\,e^{\frac{a}{2}\,t} a=\frac{r_0\,e^{\frac{a}{2}\,t}}{2\,L} e^{\frac{a}{2}\,t}=\frac{2\,L\,a}{r_0} e^{a\,t}=\frac{4\,L^2\,a^2}{{r_0}^2} Beim aperiodischen Zustand ist unter dieser Voraussetzung \frac{1}{L\,C}=\frac{{r_0}^2\,e^{a\,t}}{4\,L^2}=0 Hieraus ergibt sich e^{a\,t}=\frac{4\,L}{{r_0}^2\,C} Also ist \frac{4\,L}{{r_0}^2\,C}=\frac{4\,L^2\,a^2}{{r_0}^2} a=\frac{1}{\sqrt{L\,C}} Da nun a\,t=ln\,\frac{4\,L}{{r_0}^2\,C} ist, so ergibt sich t=\sqrt{L\,C}\,ln\,\frac{4\,L}{{r_0}^2\,C} Vergleicht man diesen Ausdruck wieder mit der Schwingungsdauer T =2π√LC so sieht man, dass ln\,\frac{4\,L}{r^2\,C}\,>\,2\,\pi\,n sein muss, wenn überhaupt Schwingungen zustande kommen sollen. Ich will hierbei, was wichtig ist, gleich bemerken, dass innerhalb des Zeitraumes t=\sqrt{L\,C}\,ln\,\frac{4\,L}{r^2\,C} es gestattet ist T =2π√LC zu setzen, da eine merkliche Abweichung der Schwingungsdauer von dem Wert 2 π√LC erst nach Verlauf der Zeit eintritt, wo die Maximalamplitude auf \frac{1}{e} ihres Wertes gesunken ist; letztere Zeit ist aber, wie wir gleich sehen werden \frac{t_1}{e}=\frac{1}{\sqrt{e}}\,\frac{2\,L}{r_0} und bei den üblichen Dimensionen von Selbstinduktion Kapazität und Widerstand bedeutend grösser als t=\sqrt{L\,C}\,ln\,\frac{4\,L}{r^2\,C} Es muss also L\,>\,\frac{r^2\,C}{4}\,e^{2\,\pi\,n} sein. Hier ist nun in bezug auf die Anzahl der Schwingungen die Wahl von Selbstinduktion und Kapazität bei konstanter Wellenlänge nicht mehr gleichgiltig; denn da r2 C konstant ist, so muss sich bei gleichzeitiger Aenderung von L und C auch n ändern, d.h. man wird bei konstanter Wellenlänge eine Vermehrung der Anzahl der Schwingungen durch Vergrösserung von L und entsprechende Verkleinerung von C erzielen können, aber auch hier geht diese Vermehrung sehr langsam von statten, da man für jede zu gewinnende Schwingung L e2π = 500 mal grösser und C ebensovielmal kleiner machen müsste. Es kann aber, wenn eine Vergrösserung der Wellenlänge statthaft ist, die Kapazität konstant bleiben und für jede Schwingung, die man gewinnen will, brauchte nur die Selbstinduktion e2π mal, d.h. die Wellenlänge eπ mal grösser gemacht zu werden. Andererseits ergibt sich aber im Hinblick auf die Konstanz von r02 C das interessante Resultat, dass durch Vergrösserung der Kapazität die Anzahl der Schwingungen in keiner Weise beeinflusst wird. Für das von Herrn Wien behandelte System L = 2,5 . 103, r = 109, C = 2,7 . 10–18 würde sich ergeben t = 6,73 . 10–7 Sek. und da T = 5,15 . 10–7 Sek. ist, so wäre n = 1,3, d.h. es würde nur eine vollständige Schwingung zustande kommen. Um zwei vollständige Schwingungen zu erhalten, müsste L = 1,78 . 105 sein, die Wellenlänge müsste also 8,7 mal grösser werden. Hält man an der Grössenordnung 109 des anfänglichen Funkenwiderstandes für eine Kapazität von der Grössenordnung 10–18 fest, so müsste, um bei einer Kapazität von 0,01 Mi (10–17) drei Schwingungen zu erhalten, die Wellenlänge über 17000 m sein, für vier Schwingungen über 750000 m und für fünf Schwingungen 16000000 m. Die Zeit, welche unter der Voraussetzung, dass der Funken widerstand der Quadratwurzel aus der übergehenden Elektrizitätsmenge umgekehrt proportional ist, vergeht, bis die Maximalamplitude auf \frac{1}{e} ihres Anfangswertes gesunken ist, ergibt sich folgendermassen a=\frac{r_0\,e^{\frac{a}{2}\,t}}{2\,L}, t=\frac{1}{a} a=\frac{1}{t}=\frac{r_0\,e^{1/2}}{2\,L} t=\frac{1}{\sqrt{e}}\,\frac{2\,L}{r_0} Die Zeitkonstante ist also in diesem Fall √e mal kleiner, als bei Annahme eines konstanten Widerstandes. Wir könnten noch weitere Annahmen über die Abhängigkeit des Funken Widerstandes von der übergehenden Elektrizitätsmenge machen, z.B. dass der Funkenwiderstand umgekehrt proportional der Kubikwurzel aus der Elektrizitätsmenge sei, in welchem Fall die Zeit, nach deren Verlauf die Schwingungen aufhören, dargestellt wird durch den Ausdruck t_{1/3}=\sqrt{L\,C}\,ln\,\left(\frac{4\,L}{{r_0}^2\,C}\right)^{\frac{3}{2}} oder bei Annahme der umgekehrten Proportion nach der vierten Wurzel t_{1/4}=\sqrt{L\,C}\,ln\,\left(\frac{4\,L}{{r_0}^2\,C}\right)^2 oder allgemein t_{1/m}=\sqrt{L\,C}\,ln\,\left(\frac{4\,L}{r^2\,C}\right)^{\frac{m}{2}} welche Annahmen immer günstigere Resultate ergeben würden, doch dürften die behandelten beiden Fälle bereits genügen, um die Wichtigkeit des Zusammenhanges zwischen Funkenwiderstand und Elektrizitätsmenge genügend zu illustrieren. (Schluss folgt.)