Studien und Versuche über die Elastizität kreisrunder Platten aus Flusseisen. Von Dr.-Ing. Max Ensslin, Stuttgart. Studien und Versuche über die Elastizität kreisrunder Platten aus Flusseisen. Das Studium der Versuche Bachs über die Widerstandsfähigkeit ebener PlattenS. Zeitschrift d. Ver. deutsch. Ing. 1890, S. 1041; od. C Bach, Versuche über die Widerstandsfähigkeit ebener Platten, Berlin 1891 (Springer) oder C. Bach,Abhandlungen und Berichte, S. 111; Stuttgart 1897 (Bergsträsser). und das Studium theoretischer Abhandlungen über diesen Gegenstand erweckten in mir den Wunsch, Versuche über die Elastizität ebener Platten – zunächst an kreisrunden Scheiben aus Flusseisen – anzustellen, um das Verhalten des Materials in der Plattenform aus eigener Anschauung kennen zu lernen und mir Grundlagen für ein eigenes Urteil über die Zuverlässigkeit der allgemeinen Elastizitätstheorie plattenförmiger Körper zu verschaffen. Insbesondere hat mich der grosse, von Bach gefundene Unterschied zwischen dem unmittelbar beobachteten und dem mit Hilfe der allgemeinen Elastizitätstheorie plattenförmiger Körper berechneten Biegungspfeil einer Kreisscheibe veranlasst, mich eingehender mit dem Gegenstand zu beschäftigen. Dem Entgegenkommen des Herrn Baudirektor v. Bach habe ich es zu danken, dass ich die nachher beschriebenen Versuche in der Materialprüfungsanstalt der Technischen Hochschule in Stuttgart ausführen konnte; Herr Baudirektor v. Bach stellte mir dazu seine eigene Versuchsvorrichtung zur Plattenprüfung zur Verfügung und liess hierzu in bereitwilligster Weise einige Einrichtungen neu anschaffen, die ich in Vorschlag gebracht hatte und die später beschrieben sind. Meinem verehrten Lehrer spreche ich hierfür auch an dieser Stelle meinen warmen Dank aus. Es liegen bis jetzt, soweit mir bekannt ist, von 3 Seiten Versuche mit ebenen Platten vor, die hier in zeitlicher Ordnung aufgezählt sind. 1) Versuche von Wehage (Mitteilungen der mechanischtechnischen Versuchsanstalt zu Berlin, 1888, 3. Heft, S. 89). 2) Versuche von Bach 1890 (s. Fussbemerkung 1). 3) Versuche von Föppl (Mitteilungen aus dem mechanischtechnischen Laboratorium der K. Technischen Hochschule München, 1900, S. 28). Wehage hatte die Absicht, die wichtige Frage zu untersuchen, ob im Fall einer gleichzeitigen Beanspruchung eines Körpers nach mehreren Dichtungen die grösste Dehnung als massgebend für die Materialanstrengung angesehen werden dürfe, wie man das in weiten Kreisen anzunehmen pflegt. Er folgerte aus seinen Versuchen, dass dies nicht zutreffe. Die Schlussfolgerung Wehages lautet wörtlich: Wenn ein schmiedeeiserner Körper zugleich nach zwei aufeinander senkrechten Richtungen gleich stark auf Zug oder auf Druck beansprucht wird, so wird die Elastizitätsgrenze (= Proportionalitätsgrenze) schon bei einer Dehnung erreicht, die kleiner ist, als \frac{0,0011}{0,0014}=0,78 von derjenigen Dehnung, welche der Elastizitätsgrenze bei einfachem Zug entsprichtNeuerdings hat J. J. Guest im Philos. Magaz. 1900, S. 69 durch sehr zweckmässig ausgedachte und mehrfach wiederholte Versuche mit dünnen Röhren, die auf Zug, Drehung und inneren Ueberdruck je allein bezw. auf Zug und inneren Ueberdruck, Zug und Drehung, Drehung und inneren Ueberdruck gleichzeitig beansprucht werden konnten, ein ähnliches Ergebnis wie Wehage bezüglich der Streckgrenze gefunden, dass nämlich bei gleichzeitiger Beanspruchung auf Zug nach zwei aufeinander senkrechten Richtungen die Streckgrenze schon bei kleinerer Dehnung erreicht wird, als bei einfacher Zuganstrengung. Betreffs der Zahlenwerte und der sonstigen Ergebnisse muss auf diese sehr beachtenswerte Arbeit selbst verwiesen werden.. Da die Frage nicht weiter verfolgt wurde, hat das auf sehr heiklen Feinmessungen beruhende Ergebnis eine weitergehende Beachtung nicht gefunden. Auch sind die Beobachtungsergebnisse nicht so ausführlich mitgeteilt, dass man sämtliche Schlüsse Wehages selbst nachprüfen kann. Föppl bestimmte, ebenso wie dies von Bach 10 Jahre vorher geschehen war, die Durchbiegung von schweisseisernen Kreisscheiben, die in der Mitte belastet waren und frei auflagen, und fand den aus der Plattendurchbiegung berechneten Dehnungskoeffizienten im Mittel um 7 v. H. (5 bis 10,2 v. H.) grösser als den Dehnungskoeffizienten, der sich aus der Biegung von Stäben aus dem gleichen Material ergab. Auf die Versuchsergebnisse komme ich später zurück. Ausserdem stellte Föppl auf mittelbarem Wege (s. die oben angeführte Veröffentlichung Föppls) fest, dass die Form der elastischen Mittelfläche in Versuch und Theorie miteinander übereinstimmen. Bach ist der erste gewesen, der die Widerstandsfähigkeit ebener Platten durch den Versuch geprüft hat; seine Bruchversuche mit gusseisernen Platten und die hierauf begründete Näherungsberechnung, durch welche er die Aufgabe der Plattenberechnung auf den allgemein geläufigen Fall der Biegung eines geraden Stabes zurückgeführt und die hierin gelegene Vernachlässigung durch Einführung eines aus den Versuchen bestimmten Koeffizienten berichtigt hat, hat die Aufgabe der Berechnung ebener Platten dem allgemeinen Verständnis näher gerückt. Die Bach sehe Berechnungsweise kreisförmiger, elliptischer und rechteckiger Platten wird an mehreren Hochschulen vorgetragen und ist in die „Hütte“ und andere Ingenieurtaschenbücher und damit in den praktischen Gebrauch übergegangen. Bach ist auch der erste gewesen, der einen Weg gezeigt hat, auf dem die allgemeine Elastizitätstheorie plattenförmiger Körper durch den Versuch geprüft werden kann, indem der Dehnungskoeffizient aus der Durchbiegung von Platten einerseits und von Stäben desselben Materials andererseits mit Hilfe der entsprechenden Gleichungen ermittelt und verglichen wird. Dieses Verfahren hat Bach selbst an einer flusstählernen Kreisscheibe von 8,4 mm Stärke durchgeführt, die in der Mitte durch eine Einzelkraft belastet wurde und nach einem Kreis von 56 cm frei auflag. Das Ergebnis dieses einen Versuchs schien die Richtigkeit der allgemeinen Elastizitätstheorie ebener Platten schon für den einfachsten Fall der kreisförmigen Platte stark in Frage zu stellen; der Elastizitätsmodul fand sich nämlich im günstigsten Fall aus dem Plattenversuch zu 2900000, aus der Durchbiegung eines Stabes zu 2120000, entsprechend einem Unterschied von 37 v. H. des letzten Wertes, sodass die Nachgiebigkeit der Platte um rund ⅓ kleiner wäre, als die Theorie vermuten lässt. Dieses Ergebnis bedurfte der Aufklärung durch weitere Versuche. Mit der gütigen Erlaubnis des Herrn Baudirektor v. Bach habe ich 10 weitere Versuche mit 4 Flusseisensorten ausgeführt und zwar mit vollen und gelochten Kreisscheiben in Stärken von 9 bis 16 mm. Meine Absicht war zu untersuchen, in welchem Mass man der allgemeinen Theorie der Platten Vertrauen entgegenbringen darf. Dass zunächst nur kreisförmige Scheiben aus Flusseisen geprüft worden sind, in der Mitte belastet und am Rande frei aufliegend, dafür waren im Einzelnen folgende Gründe massgebend: 1. Das MaterialBezogen von G. Kuhn in Berg. ist Flusseisen, wie es zu Feuerblechen an Dampfkesseln verwendet wird, also ein Material, für welches Proportionalität zwischen Spannungen und Dehnungen besteht; dies aus dem Grunde, weil die Theorie plattenförmiger Körper unter der Annahme des Proportionalitätsgesetzes entwickelt wird. Gusseisen war eben darum ausgeschlossen, weil die Möglichkeit bestand, dass Proportionalität zwischen Spannungen und Dehnungen entweder gar nicht oder nur bei niederer Beanspruchung vorhanden seiBei einem Vorversuch mit einer gusseisernen Scheibe von rund 25 mm Stärke, in der Mitte nach einer Kreislinie von 3 cm Durchmesser belastet, am Rande nach einem Kreis von 56 cm Durchmesser freiaufliegend, ergab sich, nach 3 maliger Belastung innerhalb derselben Grenzen:Belastung P kg6009001200150018002100240027003000Zunahme des Biegungspfeiles mm0,110,110,110,120,110,120,110,12also mit grosser Annäherung Proportionalität zwischen Belastung und Durchbiegung., und überdies, weil der Wert des Verhältnisses m=\frac{\mbox{Längsdehnung}}{\mbox{Querzusammenziehung}} für Gusseisen nicht bekannt ist. 2. Als frei aufliegend wurden die Platten geprüft, weil diese Art der Stützung in erster Reihe geeignet ist, Ergebnisse zur Prüfung der Theorie zu liefern. Ein vollkommener Einspannungszustand, für den die Theorie der kreisförmigen Scheibe entwickelt ist, lässt sich mit der vorhandenen Versuchseinrichtung nicht herstellen. Bei unvollkommener Einspannung ist aber der Grad der erreichten Vollkommenheit der Einspannung zunächst ganz unbekannt und kann höchstens aus den Versuchen mit Hilfe der theoretischen Gleichungen berechnet werden – sofern die letzteren selbst als zuverlässig angesehen werden dürfen, und darüber sollte ja erst ein Urteil gewonnen werden. Durch die Wahl der angegebenen Unterstützung war auch die Art der Belastung durch eine in der Mitte angreifende Einzellast mitbedingt, eine gleichmässig über die Plattenoberfläche verteilte Last dagegen nicht anwendbar. 3. Kreisförmige Scheiben wurden geprüft, weil die Wahl elliptischer oder rechteckiger Platten als Versuchskörper die hier gestellte Aufgabe nur verwickelter gemacht hätte wegen der erheblich grösseren Schwierigkeiten, welche die Entwicklung der Theorie dieser Platten in sich birgt. Die Prüfung der Theorie elliptischer und rechteckiger Platten kann naturgemäss erst in zweiter Reihe in Betracht gezogen werden. Wenn auf der einen Seite neues Versuchsmaterial beizubringen war, so habe ich auf der anderen Seite auch die Theorie der Platten durchgesehen, ob gegen die Fassung derselben vom Standpunkt der Ueberlegung ein Einwanderhoben werden kann. Hierüber ist in einem der nachfolgenden Abschnitte berichtet. Nach dem ursprünglichen Plan war in Aussicht genommen: 1. die gesamte, bleibende, federnde Durchbiegung der Platten zu messen und die gleichzeitig eintretende Materialanstrengung zu berechnen; 2. die Zugelastizität und 3. die Drehungselastizität zweier senkrecht aufeinander stehender Streifen aus dem Plattenmaterial zu ermitteln – auch um ein Urteil über die Gleichartigkeit des Materials zu gewinnen; 4. das Verhältnis m = Längsdehnung: Querdehnung aus dem Zug- und Schubelastizitätsmodul\left(E=\frac{1}{a},\ G=\frac{1}{\beta}\right)nach der bekannten Gleichung zu berechnen. Besonderer Verhältnisse halber konnten die Drehungsversuche nicht ausgeführt werden, weshalb die Punkte 3 und 4 wegfallen mussten. a) Versuchseinrichtung und Versuchskörper. Die Versuchseinrichtung ist im wesentlichen dieselbe, welche Bach entworfen und in der Schrift über die Widerstandsfähigkeit ebener Platten (vergl. Fussnote 1) beschrieben hat.Abbildung der bei den vorliegenden Versuchen benutzten hydraulischen Presse C. Bach, Elastizität und Festigkeit, 4. Aufl. S. 571. Die kreisrunden Platten liegen nach einem Kreis von 56 cm Durchmesser frei auf und werden zentrisch belastet. Die Belastung wird mit einer hydraulichen Presse von Amsler-Laffon erzeugt, ihre Grösse an der Skala einer offenen Quecksilberröhre abgelesen, wie sie die Firma Amsler-Laffon ihren hydraulischen Pressen beizugeben pflegt. Die Flüssigkeit im Presszylinder, die mittels einer Handpumpe auf den erforderlichen Druck gebracht wird, steht nicht unmittelbar mit einer Manometerröhre in Verbindung, sie wirkt zunächst auf einen kleinen Kolben, von dem die Kraft auf einen konaxialen Kolben mit grosser Fläche übertragen wird. Ueber dem letzteren befindet sich erst das Quecksilber; es wird nach Eintritt der Belastung durch den grossen Kolben in der offenen Manometerröhre zum Steigen gebracht und belastet diesen mit einer Druckhöhe, welche an der Skala ersichtlich ist. Der hier beschriebene Differentialkolben ist nichts anderes als eine ungleicharmige Wage, ins Hydraulische übersetzt. Bei der hydraulischen Wage und der Hebel wage ist es für die Genauigkeit der Wägung gleich wichtig, dass die Wage möglichst frei von Reibungswiderständen ist. In dieser Hinsicht hat die Firma Amsler-Laffon folgende Einrichtungen getroffen: Der Presskolben ist nicht luftdicht in den Zylinder eingeschliffen, wie das früher gemacht worden ist, es ist vielmehr zwischen beiden ein gewisser Spielraum gelassen. Die Abdichtung erfolgt dadurch, dass der Kolben auf eine lange Strecke im Zylinder geführt ist, wodurch gleichzeitig einem Kanten des Presskolbens entgegengewirkt wird. Immerhin ist der Spielraum so gross, dass von dem dünnflüssigen Mineralöl, mit welchem die Presse nach Angabe der Firma gefüllt werden soll, stets eine wenn auch geringe Menge zwischen Kolben und Zylinder herausquillt, wenn die Flüssigkeitspressung eintritt. Da der Zylinder sorgfältig vertikal gestellt wird, hat man es nur mit Flüssigkeitsreibung zu tun. Der Differentialkolben ist mit kleinerem Spielraum ausgeführt; um dem Auftreten von Reibungen nach Möglichkeit entgegenzuwirken, kann man dem Differentialkolben bis unmittelbar vor der Messung von Hand eine kleine schwingende Bewegung in Richtung seiner Achse, wie auch um dieselbe erteilen. Die Belastung kann an der Skala von 10 zu 10 kg abgelesen werden; die Entfernung zweier Teilstriche beträgt 1,2 mm. Die Skalenteilung wurde möglichst gross gemacht, so gross, als es nach den Erfahrungen der Firma Amsler angezeigt erschien. Von der Firma war eine Genauigkeit der Druckmessung bis auf 10 kg gewährleistet. Nachdem der Apparat fertig aufgestellt war, wurden auf den Presskolben Gewichte von 20, 40, 60, 80 und 100 kg aufgelegt, diese Belastungen konnten an der Skala vollständig genau abgelesen werden. Textabbildung Bd. 318, S. 707 Fig. 1. Zur Messung des Biegungspfeils wurde der von Bach angegebene und früher benutzte Zeigerapparat verwendet, der in der Abhandlung über die Widerstandsfähigkeit ebener Platten (s. Fussnote 1) abgebildet und beschrieben ist. Eine nachträglich vorgenommene Eichung des Instruments ergab, dass es innerhalb des benützten Messungsbereichs dieDurchbiegung um 1,27 v. H. zu klein angab. Die aus der Plattendurchbiegung berechneten Dehnungskoeffizienten sind daher entsprechend abgeändert worden. Der Biegungspfeil der gelochten Platten wurde gemessen, indem ein genau passendes Plättchen mit einem überstehenden Rand in die Bohrung vom Durchmesser d1 (Fig. 1) eingelegt wurde, auf diesem Plättchen ruhte das Instrument zur Messung des Biegungspfeiles. Der Druck auf die Platten wurde mittels eines Kupferringes von 3 cm mittlerem Durchmesser (bei Versuch I bis VI) bezw. von 6 cm Durchmesser (bei Versuch VII bis X) ausgeübt, welcher auf den Presskolben zentrisch aufgesetzt ist. Dadurch ist der Kraftangriff eindeutig festgelegt, was nicht der Fall ist, wenn der Druck von einem abgerundeten Druckstück ausgeht. Die zuerstgenannte Art des Kraftangriffs entspricht genau den Annahmen der Theorie (vergl. Abschnitt c), derzufolge die Kraft gleichmässig über den Umfang eines Kreises hin verteilt angreift. Die genaue Festlegung des Kraftangriffs empfiehlt sich weniger mit Rücksicht auf Berechnung des Dehnungskoeffizienten aus der Durchbiegung als mit Rücksicht auf die Ermittlung der Materialanstrengung. Es ist für die Grösse der beobachteten Durchbiegung und des aus dieser berechneten Dehnungskoeffizienten gleichgiltig, ob die Kraft nach einem kleinen Kreisumfang oder über eine kleine Kreisfläche verteilt ist, wenn der Durchmesser derselben nur genügend klein ist im Vergleich zum Durchmesser des Auflagerkreises (vergl. später folgende Gleichung 9) und 13). Für eine genauere Ermittlung der grössten Spannung ist es jedoch erforderlich, auch die Durchmesser des Kreises genau zu kennen, über dessen Umfang sich die Belastung verteiltDie Grösse des Druckringhalbmessers Ri ist zufolge der ersten in der Fussbemerkung 13 stehenden Gleichung von grösserem Einfluss auf den Spannungswert als auf die Grösse des Biegungspfeiles.. Aus diesem Grunde wurde der beschriebene Druckring benutzt. (Fortsetzung folgt.)