Beitrag zur Theorie und Berechnung der hydraulischen Regulatoren für Wasserkraftmaschinen. Von Dipl.-Ing. Adolf Schmoll von Eisenwerth, Darmstadt. (Fortsetzung von S. 262 d. Bd.) Beitrag zur Theorie und Berechnung der hydraulischen Regulatoren für Wasserkraftmaschinen. Untersuchung der Kolbenbewegung des Servomotors für konstante Verstellkraft des Leitapparates. In diesem Falle ist K und somit auch pk vom Kolbenweg s unabhängig, pk = ± ko. Es fallen also in obiger Gleichung die Glieder mit s fort und wir erhalten: \frac{dv}{dt}=\pm\,c_0-(v^2\,a+v^{\frac{3}{2}}\,b). Diese Gleichung liefert die Kolbenbeschleunigung \frac{dv}{dt}=i als Funktion der Kolbengeschwindigkeit v. Es handelt sich jetzt darum, hieraus den Kolbenweg s als Funktion der Zeit t zu ermitteln. Wir geben zunächst ein graphisches Verfahren hierfür an. Textabbildung Bd. 319, S. 273 Fig. 2. Damit eine Vorwärtsbewegung des Kolbens stattfindet, muss co positiv sein. Die grösste Beschleunigung tritt ein bei v = 0 und zwar ist i_{\mbox{max}}=\frac{dv}{dt_{\mbox{max}}}=c_0. Mit zunehmender Geschwindigkeit wird die Beschleunigung kleiner, bis schliesslich für v^2\,a+v^{\frac{3}{2}}\,b=c_0 \frac{dv}{dt}=0 ist. Fig. 2 veranschaulicht diese Verhältnisse. Die Abszissen v sind angenommen, die zugehörigen \frac{dv}{dt} nach obiger Gleichung berechnet und als Ordinaten aufgetragen. Der zu \frac{dv}{dt}=0 gehörige Wert von v ist die maximale Kolbengeschwindigkeit vmax. Textabbildung Bd. 319, S. 273 Fig. 3. Bei massenloser Reguliervorrichtung, also für \frakfamily{M}=0, würde diese Geschwindigkeit sofort zu Anfang der Bewegung sich einstellen und konstant bleiben. Denn nach Gleichung S. 262 rechts oben ist zunächst -\frac{dv}{dt}\,\cdot\,\frakfamily{M}-v^2\,A-v^{\frac{3}{2}}\,B+C_0=0. Für \frakfamily{M}=0 folgt v^2\,A+v^{\frac{3}{2}}\,B=C_0. Durch einen konstanten Faktor dividiert; v^2\,a+v^{\frac{3}{2}}\,b=c_0, d.h.: Dieselbe Beziehung wie oben für vmax gilt bei \frakfamily{M}=0 überhaupt für die Kolbengeschwindigkeit. Diese konstante Kolbengeschwindigkeit bei \frakfamily{M}=0 sei mit vi (= ideelle Kolbengeschwindigkeit) bezeichnet. Es ist dann für eine beliebige Masse \frakfamily{M} vmax = vi. Eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit v und der Zeit t folgt aus i=\frac{dv}{dt} dt=\frac{dv}{i}=\frac{1}{\left(\frac{dv}{dt}\right)}\,\cdot\,dv. Textabbildung Bd. 319, S. 274 Fig. 4. Tragen wir hiernach die Geschwindigkeiten v als Abszissen, die reziproken Werte der Beschleunigungen nach der Gl. \frac{dv}{dt}=c_0-(v^2\,a+v^{\frac{3}{2}}\,b) als Ordinaten auf, so stellen die Flächenelemente unter der Kurve zwischen zwei um dv entfernten Ordinaten die Zeit dt dar für die Geschwindigkeitsänderung dv. (Fig. 3.) Die Zeit t, die verstrichen ist, bis die Geschwindigkeit von Null auf v angewachsen ist, ergibt sich daher als Fläche unter der Kurve zwischen v = 0 und v = v. Um eine Darstellung des zeitlichen Verlaufes der Kolbengeschwindigkeit zu gewinnen, tragen wir die zu verschiedenen v ermittelten Zeiten t als Abszissen, die v selbst als Ordinaten auf. (Fig. 4). Die Kolbengeschwindigkeiten nähern sich asymptotisch der Geschwindigkeit vmax = vi, die aus {v^2}_1\,\cdot\,a+{v_i}^{\frac{3}{2}}\,\cdot\,b=c_0 folgt (s. o.). Aus der Kurve der Kolbengeschwindigkeiten (Fig. 4) erhält man zufolge der Beziehung v=\frac{ds}{dt}, ds = v . dt den in der Zeit dt zurückgelegten Weg ds als Flächenelement unter der Kurve zwischen zwei um dt entfernten Ordinaten. Daher ergibt sich der Weg s, der vom Kolben in der Zeit vom Bewegungsanfang bis nach Ablauf von t zurückgelegt worden ist, als die Fläche unter der Kurve zwischen Bewegungsanfang und t. Wir erhalten schliesslich das gesuchte Kolbenwegdiagramm, wenn wir als Abszissen die Zeiten t und als Ordinaten die zugehörigen Werte s auftragen. (Fig. 5.) Für die Beurteilung des Reguliervorganges ist die Asymptote der Kolbenweglinie von Bedeutung. (Vergl. Einleitung S. 258 links). Je kleiner der Neigungswinkel der Asymptote gegen die Zeitachse ist, desto kleiner ist die höchste Kolbengeschwindigkeit (Kolbengeschwindigkeit im Beharrungszustand), desto ungünstiger arbeitet das Relais (entspricht etwa grosser Schlusszeit). Je grösser ferner bei einem bestimmten Neigungswinkel der Asymptote der Abstand ts zwischen Anfangspunkt des Wegdiagrammes und Schnittpunkt der Asymptote mit der Zeitachse ist, desto längere Zeit verstreicht, bis die Kolbengeschwindigkeit eine bestimmte Grösse erreicht oder bis der Treibkolben eine bestimmte Verstellung bewirkt. (Grosses ts entspricht etwa grosser Spielraumzeit.) Es soll nun eine Konstruktion für die Asymptote des Kolbenwegdiagrammes gegeben werden: Textabbildung Bd. 319, S. 274 Fig. 5. Textabbildung Bd. 319, S. 274 Fig. 6. Textabbildung Bd. 319, S. 274 Fig. 7. Die Tangente des Neigungswinkels φ der Asymptote (Fig. 6) entspricht der Geschwindigkeit vmax. Es handelt sich noch um eine Bestimmung von ts. Ziehen wir durch den Anfangspunkt der Bewegung eine Gerade unter dem Winkel φ gegen die Zeitachse, so ist diese Gerade (parallel zur Asymptote) die „ideelle“ Kolbenweglinie, d.h. die Kolbenwege würden entsprechend dieser Geraden zunehmen, wenn keine Massen vorhanden wären. Der Unterschied zwischen dem ideellen Kolbenwege si und dem tatsächlichen Kolbenwege s zu einer Zeit t sei Δ, also Δ = s i – s. Für die Zeit t = 0 ist Δ = 0, mit wachsendem t nimmt Δ zu und erreicht für t = ∞ einen Höchstwert Δmax. Ist Δmax bekannt, so ist auch ts bekannt, da t_s=\frac{\Delta_{\mbox{max}}}{tang\,\varphi} oder t_s=\frac{\Delta_{\mbox{max}}}{v_{\mbox{max}}} ist. Nun ist der Zuwachs von Δ in der Zeit dt gleich der Differenz der gleichzeitigen Aenderung von si und s, also dΔ = dsi – ds. Da die ideellen Kolbenwege mit konstanter Geschwindigkeit vi = vmax zurückgelegt werden, so ist der Weg dsi in der Zeit dt gleich vmax . dt. Ferner ist der tatsächliche Weg ds = v . dt, also dΔ = (vmax – v) dt. Ferner ist dt=\frac{1}{\left(\frac{dv}{dt}\right)}\,\cdot\,dv, folglich d\,\Delta=\frac{v_{\mbox{max}}-v}{\frac{dv}{dt}}\,\cdot\,dv. Aus Fig. 7 folgt: \frac{v_{\mbox{max}}-v}{\frac{dv}{dt}}=\mbox{cotg}\,\delta, also dΔ = cotg δ . dv. Trägt man also die zu verschiedenen v als Abszissen zugehörigen Werte cotg δ als Ordinaten auf, so stellt das Flächenelement unter der Kurve zwischen zwei um dv entfernten Ordinaten den Zuwachs dΔ während der Geschwindigkeitsänderung dv dar. Wir suchen nun den Wert von Δ für vmax; zu diesem Zwecke haben wir die dΔ von v = 0 bis v = vmax zu summieren; Δmax ist also gleich der ganzen schraffierten Fläche I II III IV. Es war nun t_s=\frac{\Delta_{\mbox{max}}}{v_{\mbox{max}}}, also ist ts gleich Fläche (I II III IV): vmax oder ts gleich der mittleren Höhe der Fläche I II III IV oder gleich dem Mittelwerte der cotg δ von v = 0 bis v = vmax. ts ist nun ein Maasstab für den schädlichen Einfluss der zu beschleunigenden Massen auf den Reguliervorgang (vergl. S. 274 rechts und S. 258). Es soll daher untersucht werden, welche Verhältnisse zu wählen sind, damit bei Einhaltung einer bestimmten höchsten Kolbengeschwindigkeit ts am kleinsten wird. Nach dem oben Gesagten muss der Mittelwert der cotg δ von v = 0 bis v = vmax möglichst klein werden. Für bestimmte Grössen von v sind nun die cotg δ umgekehrt proportional den Beschleunigungen i=\frac{dv}{dt}, also muss der Mittelwert der i von v = 0 bis v = vmax möglichst gross werden. Nun nehmen die i mit wachsendem v ab, bis auf i = 0 bei vmax. Daraus ergibt sich, dass die Anfangsbeschleunigung i=\frac{dv}{dt}_{\mbox{max}}=c_0 (vergl. S. 273 links) möglichst gross sein muss. Nach S. 262 links ist nun c_0=\frac{C_0}{\frakfamily{M}}=\frac{p_0+p_h-(p_{p_0}\,\pm\,k_0)}{\frakfamily{M}} Um daher bei gegebenem vmax ein möglichst kleines ts zu erhalten, müssen wir a) p_0+p_h-(\pm\,k_0+p_{p_0}) möglichst gross, b) M möglichst klein machen. a) Es ist po + ph gleich dem gesamten zur Verfügung stehenden statischen Druck, p_{p_0}\,\pm\,k_0 gleich dem Widerstandsdruck des Regulierapparates einschliesslich der Kolben- und Stopfbüchsenreibung (für v = 0). Man wird daher die Betriebspressung möglichst hoch wählen und die von der Geschwindigkeit unabhängigen Regulierwiderstände so klein wie möglich zu halten suchen. b) \frakfamily{M} ist die gesamte wirksame Masse. Was die Getriebeteile betrifft, so ist deren wirksame Masse proportional ∑ my . φy2 (vergl. S. 261). Man wird daher die Getriebeteile, die verhältnismässig grosse Wege zurücklegen (deren φy gross ist), in der Masse möglichst klein zu halten suchen. Die zu beschleunigenden Flüssigkeitsmassen, die im allgemeinen weit mehr Einfluss haben als die Massen des Getriebes, sind nach S. 261 proportional \Sigma\,\frac{l_x}{f_x}. Da die Leitungslängen lx meist durch Konstruktionsrücksichten schon festgelegt sind, handelt es sich darum, möglichst grosse Leitungsquerschnitte fx zu wählen. Nun würden die unter a) und b) aufgestellten Bedingungen für kleines ts (grosses co) gleichzeitig eine Bedingung für vmax bilden, da (nach Gleichung S. 273 links) vmax mit co wächst. Soll daher eine bestimmte höchste Kolbengeschwindigkeit vmax eingehalten werden, so muss eine Vergrösserung von co durch eine Vergrösserung der mit v verknüpften Koeffizienten ausgeglichen werden. Man wird also den Durchflusswiderstand erhöhen. Zu diesem Zwecke ist eine örtliche Verengung der Leitung (Drosselung) zu empfehlen, da hierdurch die zu beschleunigende Flüssigkeitsmasse (proportional \Sigma\,\frac{l_x}{f_x}) nicht oder doch nur sehr wenig vergrössert wird. Fassen wir diese Bedingungen für kleines ts zusammen, so ergibt sich als zweckmässig: hohe Betriebspressung, weite Leitungsquerschnitte, dabei, falls nötig, Regelung der höchsten Kolbengeschwindigkeit durch Drosselung an einer Stelle. Die rein analytische Behandlungsweise der Aufgabe, d.h. die Auflösung der Integrale für t, s und ts mit Benutzung der Gleichung \frac{dv}{dt}=c_0-(a\,v^2+b\,v^{\frac{3}{2}}), ist wenig übersichtlich, da bei Auflösung der Integrale umständliche Partialbruchzerlegungen nötig sind. Doch lässt sich eine angenäherte analytische Lösung von genügender Genauigkeit und Einfachheit auf folgendem Wege ermöglichen: Die Beschleunigungskurve \frac{dv}{dt}=\mbox{ Funktion }(v)\mbox{ (s. o.)} weicht im allgemeinen nur wenig von einer Parabel ab, die mit ihr für die Werte v = 0 und v = vmax die bezüglichen Ordinaten co und 0 gemeinsam hat. Wir dürfen daher mit genügender Annäherung setzen: \frac{dv}{dt}=c_0-a'\,v^2, wobei a' aus der Bedingung folgt, dass für v = vmax \frac{dv}{dt}=0 sein muss, also a'=\frac{c_0}{(v_{\mbox{max}})^2} oder, da c_0=(v_{\mbox{max}})^2\,a+(v_{\mbox{max}})^{\frac{3}{2}}\,\cdot\,b, a'=a+\frac{b}{\sqrt{v_{\mbox{max}}}} Wir setzen also an Stelle von v^{\frac{3}{2}}\,\cdot\,b oder von \frac{v^2\,\cdot\,b}{\sqrt{v}} die Grösse: \frac{v^2\,\cdot\,b}{\sqrt{v_{\mbox{max}}}}. Aus dem Zusammenhang von b mit dem Durchflusskoeffizienten ζ2 nach S. 261 und 262 ergibt sich, dass wir jetzt an Stelle des von v abhängigen Koeffizienten ζ2 einen konstanten Koeffizienten eingesetzt haben und zwar in der für vmax geltenden Grösse. Unter dieser Voraussetzung erhalten wir nach S. 273: dt=\frac{dv}{\left(\frac{dv}{dt}\right)}=\frac{dv}{c_0-a'\,v^2}, t=\int_0^v\,\frac{dv}{c_0-a'\,v^2}=\frac{1}{2\,\sqrt{a'\,c_0}}\,\mbox{log nat}\,\frac{\sqrt{a'\,c_0}+a'\,v}{\sqrt{a'\,c_0}-a'\,v} und hieraus als analytische Form der Kolbengeschwindigkeitskurve: v=\sqrt{\frac{c_o}{a'}}\,\cdot\,\frac{e^{2\,\sqrt{a'\,e_0\,\cdot\,t}}-1}{e^{2\,\sqrt{a'\,e_0\,\cdot\,t}}+1} wobei e = Basis der natürl. Log. Ferner ist ds=v\,\cdot\,dt=\frac{v\,\cdot\,dv}{e_0-a'\,v^2}. Es folgt: s=\int_0^v\,\frac{v\,\cdot\,dv}{e_0-a'\,v^2}=\frac{1}{2\,a'}\,\cdot\,ln\,\frac{c_0}{c_0-a'\,v^2}, und schliesslich mit obigem Werte für v: s=\frac{1}{a'}\,\left(ln\,\frac{e^{2\,\sqrt{a'\,e_0}\,\cdot\,t}+1}{2}-t\,\sqrt{a'\,e_0}\right) als Gleichung der Kolbenweglinie. Für ts erhalten wir nach S. 274 u. ff.: t_s=\frac{\Delta_{\mbox{max}}}{v_{\mbox{max}}}=\frac{\int_{v=0}^{v=v_{\mbox{max}}}\,d\Delta}{v_{\mbox{max}}}=\frac{1}{v_{\mbox{max}}}\,\int_0^{v_{\mbox{max}}}\,\frac{(v_{\mbox{max}}-v)\,dv}{\frac{dv}{dt}} =\frac{1}{v_{\mbox{max}}}\,\frac{\int_0^{v_{\mbox{max}}}-v}{c_0-a'\,v^2}\,\cdot\,dv =\int_0^{v_{\mbox{max}}}\,\frac{dv}{c_0-a'\,v^2}-\frac{1}{v_{max}}\,\int_0^{v_{\mbox{max}}}\,\frac{v\,\cdot\,dv}{e_0-a'\,v^2} =\frac{1}{2\,\sqrt{a'\,e_0}}\,ln\,\left|\frac{\sqrt{a'\,c_0}+a'\,v}{\sqrt{a'\,c_0}-a'\,v}\right|_{v=v_{\mbox{max}}}+\frac{1}{2\,a'\,v_{\mbox{max}}}\,ln\,\left|\frac{c_0-a'\,v^2}{c_0}\right|_{v=v_{\mbox{max}}} =\frac{1}{2\,\sqrt{a'\,c_0}}\,\cdot\,ln\,\left|\frac{(\sqrt{a'\,c_0}+a'\,v)\,(c_0-a'\,v^2)}{(\sqrt{a'\,c_0}-a'\,v)\,c_0}\right|_{v=v_{\mbox{max}}} t_s=\frac{1}{2\,\sqrt{a'\,c_0}}\,\cdot\,ln\,\left|\frac{c_0\,a'\,v+c_0\,\sqrt{a'\,c_0}-a^2\,v^3-a'\,v^2\,\sqrt{a'\,c_0}}{c\,\sqrt{a'\,c_0}-c_0\,a'\,v}\right|_{v=v_{\mbox{max}}} Da für v=v_{\mbox{max}}=\sqrt{\frac{c_0}{a'}} der Ausdruck unter dem ln unbestimmt wird, so differentiieren wir dessen Zähler und Nenner, wodurch wir erhalten: t_s=\frac{1}{2\,\sqrt{a'\,c_0}}\ ln\ \left|\frac{c_0\,a'-3\,a'^2\,v^2-2\,a'\,v\,\sqrt{a'\,c_0}}{-c_0\,a'}\right|_{v=v_{\mbox{max}}} Mit v=\sqrt{\frac{c_0}{a'}} folgt nun: t_s=\frac{1}{2\,\sqrt{'\,c_0}}\,\cdot\,ln\,\left(-1+\frac{3\,a^2}{c_0\,a'}\,\cdot\,\frac{c_0}{a'}+\frac{2\,a'\,\sqrt{a'\,c_0}}{c_0\,a'}\,\sqrt{\frac{c_0}{a'}}\right) =\frac{1}{2\,\sqrt{a'\,c_0}}\,\cdot\,ln\,(-1+3+2)=\frac{1}{2\,\sqrt{a'\,c_0}}\,ln\,4 =\frac{0,693145}{\sqrt{a'\,c_0}}=0,693145\,\cdot\,\frac{v_{\mbox{max}}}{c_0}. Aus dieser Formel für ts ergibt sich unmittelbar, dass bei bestimmtem vmax ts umgekehrt proportional co ist, dass daher co, d.h. die Anfangsbeschleunigung \left(\frac{dv}{dt}\right)_{\mbox{max}} möglichst gross sein soll, wie bereits oben an Hand der graphischen Lösung entwickelt wurde. (Fortsetzung folgt.)