Hyperbolische Paraboloidfläche als Pflugstreichbrett. Von Victor Thallmayer, Professor an der landw. Akademie Ungarisch-Altenburg. Hyperbolische Paraboloidfläche als Pflugstreichbrett. Für das in der Ueberschrift erwähnte Streichbrett, welches von Lothar Tost in Pressburg an die hierortige Prüfungsstation für landwirtschaftliche Maschinen als Modell eingesandt wurde, ist die eine der Leitlinien ab (Fig. 1) horizontal und der Richtung der Furche parallel, die zweite hat ihren Anfangspunkt c in derselben Horizontalebene wie die erste, erhebt sich aber von vorn nach hinten, sodass ihre Horizontalprojektion die erste Leitlinie im Punkte m schneidet. Da ein rechts wendendes Streichbrett beabsichtigt ist, so liegt vom Standpunkte des Pflügers, d. i. von a gegen b gesehen, das vordere Ende der zweiten Leitlinie links von der ersten. Die erzeugende Gerade schneidet die beiden Leitlinien ab und cd in den Punkten b und c und bewegt sich parallel zu einer auf die Leitlinie ab senkrechten Ebene. Textabbildung Bd. 319, S. 632 Fig. 1. In der projektivischen Darstellung, Fig. 2, sind ab und cd die beiden Leitlinien, cb1 die Spur der auf die Linie ab und die horizontale Projektionsebene senkrechten Ebene, ferner sind die zu cb1 parallelen Linien die Erzeugenden in ihren aufeinander folgenden Lagen. Von b angefangen gegen m zu nehmen die Erzeugenden an Steilheit zu, bei m steht die Erzeugende senkrecht, von m nach a zu sind die Erzeugenden überhängend gegen d. Der von m gegen cb1 zu gelegene Teil der Fläche ist also zum Heben des Erdstreifens geeignet, während der von m nach a zu gelegene zum Wenden desselben dient. Textabbildung Bd. 319, S. 632 Fig. 2. Textabbildung Bd. 319, S. 632 Fig. 3. In Fig. 2 ist auch das Streichbrett seinen drei Projektionen nach dargestellt zu sehen. Dabei ist nn1 als Furchenbreite, n1pqr als Schar angenommen, rqsm ist der Teil des Streichbrettes, der hebt, mtv jener, der wendet. Die Kurve sn1, die gleichzeitig auch den Grat der Griessäule des Pfluges bildet (Fig. 3), ist die Durchschnittslinie der Streichbrettfläche mit der von der Leitlinie abum die Furchenbreite nn1 abstehenden, auf die Horizontalebene senkrechten Ebene. Textabbildung Bd. 319, S. 632 Fig. 4. Abgewickelt ist die Streichbrettfläche in Fig. 4 dargestellt. Behufs Abwickelung wurden die einzelnen zwischen je zwei Erzeugenden liegenden trapezoidförmigen Streifen der Streichbrettfläche aneinander gereiht. Die Form der einzelnen Trapezoide wurde nach den sich aus den Projektionen ergebenden wirklichen Längen der Seiten und jener der Diagonalen bestimmt. Textabbildung Bd. 319, S. 632 Fig. 5. Ist der Winkel, unter welchem sich die Erzeugende cd zur Horizontalebene neigen soll, und jener Winkel, welchen die Projektion genannter Erzeugenden mit der Erzeugenden ab einschliessen soll, gegeben, so kann mit Zuhilfenahme von Stäbchen zu Erzeugenden und zu Leitlinien die Form der Streichbrettfläche leicht bestimmt werden; ist das Gerippe der Fläche vorhanden, so kann dann leicht ein Modell angefertigt werden, welches entweder zur Herstellung gegossener Streichbretter Verwendung finden kann oder aber in zweifacher Ausführung auch zur Erzeugung der Pressblöcke oder Pressbacken zum Pressen von heissgemachten Blechen in die Streichbrettform benutzt werden kann. Die Fläche, die von einer Geraden beschrieben wird, welche parallel zu einer festen Ebene fortschreitet und dabei stets auch zwei andere Gerade (als Leitlinien) schneidet, erkannte schon Thomas Jefferson, Präsident der Vereinigten Staaten von Nordamerika, in dem Zeiträume von 1801–1809 als geeignet zu Pflugstreichbrettern, und war es besonders in Frankreich, Nordamerika und England, wo Jeffersons Vorgehen Nachahmung fand. Mathematisch genommen haben wir es, wenn das im Auge behalten wird, was Jefferson angegeben hatte, eigentlich mit einem räumlichen Vierseit zu tun (Fig. 5), welches seiner Form nach dann bestimmt ist, wenn dessen Diagonale c und der Neigungs- oder Klappwinkel a gegeben ist wie in Fig. 5, woselbst verschieden geformte Vierseite dargestellt sind, Nimmt man nun in den Vierseiten die nicht in einer Ebene liegenden Seitenpaare, also entweder a und b, oder a1 und b1 zu Leitlinien, so sind die anderen Seitenpaare die Erzeugenden der hyperparaboloidischen Fläche, also z.B. zum Seitenpaar a und b als Leitlinien gehören a1 und b1 als Erzeugende und umgekehrt. Hierbei muss sich dann b1 gegen a1 so bewegen, dass b1 in seinen nacheinander folgenden Lagen stets parallel bleibt zu jener Ebene, welche durch a1 und eine im Punkte m zu b1 parallelen Linie mm1 hindurch gelegt ist. Nimmt man hingegen das Seitenpaar a1b1 zu Leitlinien, so sind die das Seitenpaar ab bildenden Geraden die Erzeugenden und muss sich dann a gegen b hin so bewegen, dass es stets parallel bleibt zu jener Ebene, die man sich durch die durch den Punkt n hindurchgehende und zu a parallele Linie und durch b hindurchgelegt denken kann. Textabbildung Bd. 319, S. 633 Fig. 6. Textabbildung Bd. 319, S. 633 Fig. 7. Textabbildung Bd. 319, S. 633 Fig. 8. Textabbildung Bd. 319, S. 633 Fig. 9. Textabbildung Bd. 319, S. 633 Fig. 10. Um nun die Erzeugenden in ihren aufeinander folgenden Lagen zu erhalten, haben wir die Leitlinien in gleichem Verhältnisse zu teilen (in Fig. 6 sind die Leitlinien in je acht gleiche Teile geteilt) und durch die korrespondierenden Teilungspunkte Gerade zu legen (Fig. 7 und 8). Modelle, welche die Form solcher Flächen veranschaulichen, lassen sich leicht herstellen. Zu diesem Behufe braucht man sich nur eines Stückes steifer Pappe zu bedienen, welche halb eingeschnitten wie in Scharnieren beweglich wird. Zeichnet man auf die Pappe ein Vierseit, dessen Diagonale gleichzeitig auch die Scharnierlinie ist, teilt man ferner je zwei Erzeugende a1b1 und ab in eine gleiche Anzahl gleicher Teile, so hat man, um ein Fadenmodell zu erhalten, dann nur durch die durch die Teilungspunkte hindurch gemachten Löcher eine am besten schwarze Gummischnur hindurch zu ziehen (Fig. 9), welche vermöge ihrer Elastizität dann auch bei den verschiedensten Klappwinkeln straff bleibt. Auch zwei Stäbe (Fig. 10), die bei bestimmter Länge in eine gleiche Anzahl gleicher Teile geteilt sind, und durch welche beiden Teilungspunkten eine Gummischnur gezogen ist, lassen sich zur Darstellung der in Rede stehenden Flächen gut verwenden. Die Stäbe lassen sich leicht in die verschiedensten Lagen bringen und die Gummischnur bleibt dabei immer gespannt. Textabbildung Bd. 319, S. 633 Fig. 11. Gleichung der Fläche. Nehmen wir, Fig. 11, in dem Vierseit aba1b1 den Punkt O zum Anfangspunkt des Koordinatensystems, die Diagonale oo1 zur X-Achse, oo2 zur Y-Achse und eine zur Seite b1 Parallele durch den Anfangspunkt zur Z-Achse, ist ferner m ein Punkt in der Entfernung μc von o, und ziehen wir die Linien mm1 und mm2 parallel zur Y- resp. zur Z-Achse, so ist mm1 eine Erzeugende der Fläche und mm2m1 eine zu YZ parallele Ebene, durch welche die Strecken c, a und b in gleichem Verhältnisse geteilt werden. Wegen Bestimmung der Gleichung des geometrischen Ortes der Linie m1m2 haben wir zunächst die Projektionen derselben auf die Ebene YZ, XY und XZ: \frac{z}{\mu\,b_1}+\frac{y}{a_1-\mu\,a_1}=1 (YZ) x = μc (XY) x=μc (ZX) woraus, wenn der Kürze halber \frac{a_1}{c}=p, \frac{b_1}{c}=q gesetzt wird: qxy = (a1 – px) (qx – z) oder auch pqx2 + qxy – pxz + a1z – pb1x = 0 . . . 1) sich als Gleichung ergibt. Zu demselben Ergebnis gelangt man, wenn zu Leitlinien die Seiten a1 und b1 genommen werden. Wird nun wieder oo1 zur X-, oo2 zur Y- und eine durch o zur Seite b1 parallel gezogene Gerade zur Z-Achse genommen, ist ferner om = μc, mm1 || a, mm2 || b, so ist m1m2 eine Erzeugende. Durch die Ebene mm1m2 werden die Strecken ca1b1 in gleichem Verhältnis geteilt. Die Ebene mm1m2 ist parallel zu der Ebene, welche durch die Seite a und eine durch den Punkt o1 parallel zur Seite b gezogene Gerade hindurchgeht. Die Projektionen der Geraden m1m2 auf die drei Ebenen YZ, XY und ZX sind: \frac{y}{\mu\,a_1}+\frac{z}{b_1-\mu\,b_1}=1 (YZ) \frac{y}{\mu\,a_1}+\frac{x}{c}=1 (YX) z=\frac{b_1-\mu\,b_1}{c}\,\cdot\,x (ZX) woraus man durch Elimination von μ dieselbe Gleichung wie oben, nämlich qxy = (a1 – px) (qx – z) erhält, welche Gleichung die Karakteristik der Gleichung der Fläche eines hyperbolischen Paraboloides an sich trägt. Ist a1 = b1 = a = b, so ist auch p = q und Gleichung 1) übergeht in: px2 + xy – xz + cz – pcx = 0 . . 2) welche Gleichung durch Transformation des Koordinatensystems auf die Form \frac{x^2}{r}-\frac{z_2}{s}=-2\,y gebracht werden kann, wobei r=\frac{a\,\mbox{cos}^2\,\beta}{\mbox{cos}\,\alpha\,\mbox{sin}\,\beta} s=\frac{a\,\mbox{sin}^2\,\alpha\,\mbox{sin}\,\beta}{\mbox{cos}\,\alpha} ist und wobei, wie in Fig. 12, β den Winkel bedeutet, den die Seite des gleichseitigen Vierseits mit der Diagonale einschliesst, 2 α hingegen der Klappwinkel oder jener Winkel ist, unter welchem die zwei Hälften des Vierseits zu einander geneigt sind. Textabbildung Bd. 319, S. 634 Fig. 12. Es ist nämlich (Fig. 12) wenn das Koordinatensystem von o nach o1 verlegt wird: x\,(=)\,x+\frac{c}{2}, wenn die Y-Achse in die Mittellinie gedreht wird: x (=) x – y cotg β y\,(=)\,\frac{y}{\mbox{sin}\,\beta}, dann weiter, wenn die Z-Achse in die Mittellinie gedreht wird: x (=) y – z cotg β z\,(=)\,\frac{z}{\mbox{sin}\,\beta}. Dreht man nun die Y-Achse um den Winkel a nach aufwärts, so ist y\,(=)\,\frac{y}{2\,\mbox{cos}\,\alpha} z\,(=)\,z+\frac{y}{2\,\mbox{cos}\,\alpha} zu setzen und wegen Verdrehung der Z-Achse um den Winkel α nach auswärts: z\,(=)\,\frac{z}{\mbox{sin}\,\alpha} y (=) y – z cotg α. Wird nun noch der Koordinatenursprung um die Hälfte der Distanz c c1 verschoben, so ist zu setzen: y\,(=)\,y+\frac{a\,\mbox{sin}\,\beta\,\mbox{cos}\,\alpha}{2}. Aus diesen Substitutionen ergibt sich: x\,(=)\,x+\frac{z}{\mbox{sin}\,\alpha}\,\mbox{cotg}\,\beta+\frac{c}{2} y\,(=)\,\,\frac{y}{2\,\mbox{cos}\,\alpha\,\mbox{sin}\,\beta}-\frac{z}{2\,\mbox{sin}\,\beta\,\mbox{sin}\,\alpha}+\frac{a}{4} z\,(=)\,\,\frac{z}{2\,\mbox{sin}\,\alpha\,\mbox{sin}\,\beta}-\frac{y}{2\,\mbox{cos}\,\alpha\,\mbox{sin}\,\beta}+\frac{a}{4} und nach Substitution dieser Werte in die Gleichung 2) und nach einigen Reduktionen: p\,x^2-\frac{\mbox{cotg}\,\beta}{2\,\mbox{sin}^2\,\alpha\,\mbox{sin}\,\beta}\,z^2=-\frac{c\,y}{2\,\mbox{cos}\,\alpha\,\mbox{sin}\,\beta} und nach einigen weiteren Umformungen \frac{x^2}{\frac{\alpha\,\mbox{cos}^2\,\beta}{\mbox{cos}\,\alpha\,\mbox{sin}\,\beta}}-\frac{z^2}{\frac{a\,\mbox{sin}^2\,\beta\,\mbox{sin}\,\beta}{\mbox{cos}\,\alpha}}=-2\,y als einfachste Gleichung des hyperbolischen Paraboloids bezogen auf ein rechtwinkeliges Koordinatensystem. Textabbildung Bd. 319, S. 634 Fig. 13. Bestimmung der Neigungswinkel der Erzeugenden der Streichbrettfläche. Nehmen wir (Fig. 13) O zum Anfangspunkt des Koordinatensystems, Om zur X-, Oc zur Y- und eine auf die Ebene Omc Senkrechte zur Z-Achse, so finden wir zur Bestimmung des Neigungswinkels γ einer in der Entfernung x gedachten Erzeugenden zur Horizontalebene: tg\,\gamma=\frac{z}{y} und da: z=\frac{x}{\mbox{cos}\,\alpha}\,tg\,\beta y = (d – x) tg α so ist tg\,\gamma=\frac{x\,tg\,\beta}{(d-x)\,\mbox{sin}\,\alpha} und z=\frac{x\,y\,tg\,\beta}{(d-x)\,\mbox{sin}\,\alpha} . . . 3) welch letztere Gleichung zugleich jene der hyperbolischen Paraboloidfläche ist, wobei angenommen wurde, dass β der Neigungswinkel ist, den die Leitlinie cm mit der Horizontalebene einschliesst, und α den Winkel bedeutet, welchen die Projektion der Leitlinie c m mit der Leitlinie a m einschliesst. Denkt man sich das Stück d in n gleiche Teile geteilt, so erhält man, wenn die aufeinander folgenden Neigungswinkel der Reihe nach mit γ0, γ1, γ2 . . . bezeichnet werden: tg γ0 = 0 tg\,\gamma_1=\frac{1}{n-1}\,\cdot\,\frac{tg\,\beta}{\mbox{sin}\,\alpha} tg\,\gamma_2=\frac{2}{n-2}\,\cdot\,\frac{tg\,\beta}{\mbox{sin}\,\alpha} tg\,\gamma_3=\frac{3}{n-3}\,\cdot\,\frac{tg\,\beta}{\mbox{sin}\,\alpha}. Zur Bestimmung der Längen der Erzeugenden findet man für die Werte von z der Reihe nach: z0 = 0 z_1=\frac{1}{n-1}\,\cdot\,\frac{d\,tg\,\beta}{\mbox{cos}\,\alpha} z_2=\frac{2}{n-1}\,\cdot\,\frac{d\,tg\,\beta}{\mbox{cos}\,\alpha} z_3=\frac{3}{n-1}\,\cdot\,\frac{d\,tg\,\beta}{\mbox{cos}\,\alpha} und für die Werte von y: y0 = d tg α y_1=\frac{n-1}{n}\,\cdot\,d\,tg\,\alpha y_2=\frac{n-2}{n}\,\cdot\,d\,tg\,\alpha y_3=\frac{n-3}{n}\,\cdot\,d\,tg\,\alpha Hieraus als Längen der Erzeugenden E=\sqrt{y^2+z^2} der Reihe nach: E0 = d tg α E_1=\frac{1}{n}\,\frac{d}{\mbox{cos}\,\alpha}\,\sqrt{(n-1)^2\,\mbox{sin}^2\,\alpha+tg^2\,\beta} E_2=\frac{1}{n}\,\frac{d}{\mbox{cos}\,\alpha}\,\sqrt{=(n-2)^2\,\mbox{sin}^2\,\alpha+2^2\,tg^2\,\beta} E_3=\frac{1}{n}\,\cdot\,\frac{d}{\mbox{cos}\,\alpha}\,\sqrt{(n-3)^2\,\mbox{sin}^2\,\alpha+3^2\,tg^2\,\beta} Wird die Furchenbreite mit b bezeichnet, so gibt der Schnitt der Fläche mit einer senkrechten Ebene y = b für die Ordinaten ζ der Reihe nach die Werte: ζ0 = 0 \zeta_1=\frac{1}{n-1}\,\frac{b\,tg\,\beta}{\mbox{sin}\,\alpha} \zeta_2=\frac{1}{n-2}\,b\,\cdot\,\frac{tg\,\beta}{\mbox{sin}\,\alpha} \zeta_3=\frac{3}{n-3}\,\cdot\,\frac{b\,tg\,\beta}{\mbox{sin}\,\alpha} Textabbildung Bd. 319, S. 635 Fig. 14. Textabbildung Bd. 319, S. 635 Fig. 15. Die Durchschnittslinie ist eine Hyperbel. Setzt man nämlich in die Gleichung 3) der Fläche zunächst y = b, so erhält man: z=\frac{x\,b\,tg\,\beta}{(d-x)\,\mbox{sin}\,\alpha}, setzt man der Kürze halber \frac{tg\,\beta\,b}{\mbox{sin}\,\alpha}=c, so wird z=\frac{x\,c}{d-x} und z (d – x) = xc oder zx = zd – xc 4) Mit Verlegung des Koordinatensystems durch die Substitution x (=) a – x z (=) z – β in die Gleichung 4 erhält man leicht: zx = cd als Assymptotengleichung der Hyperbel. Ist nun, wie von Tost angenommen: α = 60°, β = 20°, om = 650 mm, o b = 750 mm (in Fig. 2 n t), so findet man für die Neigungswinkel der Erzeugenden der Reihe nach die Werte: 0°, 1° 36', 3° 26', 5° 23', 7° 58', 10° 49', 14° 9', 18° 6', 22° 41', 28° 23', 35°, 42° 45', 51° 34', 61° 47', 71° 47', 87° 41', 90°, 91° 56', 105° 12', 110° 36', 115° 27' und für die Ordinaten der Schnittkurve der Reihe nach die Werte: 7.7, 16.5', 26.7, 38.5, 52.5, 69.31, 89.9, 115.5, 148.5, 192.5, 245.4, 346.8 mm. Zu Pflugstreichbrettern geeignete Flächen erhält man auch in dem Falle, wenn eine der Erzeugenden wie z.B. in Fig. 14 die Erzeugende cd eine krumme Linie ist. Die unter dieser Bedingung sich ergebenden Flächen gehören in die Klasse der Keilflächen. Textabbildung Bd. 319, S. 635 Fig. 16. Textabbildung Bd. 319, S. 635 Fig. 17. Zur Darstellung der Form der Fläche des hyperbolischen Paraboloids lässt sich wie in Fig. 15 und 16 auch eine Schar parallel zu einander gestellter Dreiecke verwenden, deren Seiten und Winkel ihrer wahren Grösse nach sich entweder auf zeichnerischem oder rechnerischem Wege bestimmen lassen. Die Dreiecksebenen sind parallel zu jener Ebene poq oder mon, welche durch zwei Gerade gelegt werden kann, die parallel sind zu den zwei die Endlagen der Erzeugenden bildenden Seiten des Vierseits. Die Projektionen der Erzeugenden auf die Ebenen poq und onm (Fig. 17) hüllen eine Parabel ein. Als neu kann das im Voranstehenden behandelte Streichbrett nicht bezeichnet werden, interessant ist nur der Umstand, dass damit eine Idee wieder aufgenommen erscheint, welche die Pflugbauer schon vor einem Jahrhundert beschäftigt hatte.