Graphische Berechnungen der Transmissions-Wellen. Von Ingenieur Lucian Vogel, Augsburg. Graphische Berechnungen der Transmissions-Wellen. Die Transmissions-Wellen werden entweder mit Rücksicht auf die Festigkeit oder mit Rücksicht auf den Verdrehungswinkel berechnet. Im ersteren Falle wird die Gleichung benutzt: M_t=k_t\,\cdot\,w_t=71620\,\frac{N}{n} Diese gilt für einen runden Querschnitt mit wt = 0,2 d3 d=71\,\cdot\,\sqrt[3]{\frac{N}{k_t\,\cdot\,n}} . . . 1) und für kt = 207 kg/qcm d=12\,\sqrt[3]{\frac{N}{n}} . . . . . . 1a) Im zweiten Falle ist („Hütte“ I, Seite 417) der verhältnismässige Verdrehungswinkel \vartheta=\frac{32}{\pi\,d^4}\,\cdot\,\frac{M_t}{G} für einen runden Querschnitt. Hierbei ist G ≌ 800000 kg/qcm und hieraus d=8,474\,\sqrt[4]{\frac{N}{\psi\,n}} . . . . 2) oder d=12\,\sqrt[4]{\frac{N}{n}} (nach „Hütte“ I, S. 632) 2a) wenn ψ = ¼° f. d. lfd. m angenommen wird. Textabbildung Bd. 319, S. 660 Fig. 1. Abszissen; Ordinaten. Jede der beiden Formeln 1a) und 2a), die meist zur Berechnung der Transmissions-Wellen verwendet werden, berücksichtigt aber nur je einen der beiden massgebendenFaktoren kt und ψ. Wegen des Wurzelzeichens ist zudem die Ausrechnung nicht gerade einfach, besonders wenn bei Zwischenwerten die Entscheidung zu treffen ist, ob der kleinere oder grössere Durchmesser, auf halbe cm abgerundet, gewählt werden soll. Wie wichtig es ist, sich über die beiden Grössen kt und ψ klar zu sein, ist in Fig. 1 ersichtlich, welche zeigt, dass die beiden Formeln für den gleichen Wert von \frac{N}{n} verschieden grosse Werte von d ergeben. Nur für \frac{N}{n}=1 berechnet sich aus beiden Formeln derselbe Wert d = 12 cm. In diesem Falle allein ist also kt und ψ bekannt, Für alle Werte von \frac{N}{n}\,<\,1 gibt Formel 2a die grösseren Durchmesser, während umgekehrt für \frac{N}{n}\,>\,1 Formel 1a) die grösseren Durchmesser gibt. Textabbildung Bd. 319, S. 661 Fig. 1a.Abszissen; Ordinaten Was nun die Wahl des Durchmessers d anbelangt, so ist ohne weiteres klar, dass bei kurzen Wellen die Rücksicht auf die Grösse der Verdrehung zurücktritt, also in erster Linie die Festigkeit maassgebend ist. Die Berechnung hat also nach Gleichung 1) zu erfolgen. Für die Wahl der Grösse kt ist die Art der Beanspruchung zu berücksichtigen (Wähler sches Gesetz), sowie allenfalls ein gleichzeitig auftretendes Mb. Vielfach wird kt = 207 kg/qcm gewählt und ergibt sich hiermit Gleichung 1a. Bei längeren Wellenleitungen macht sich jedoch der Einfluss des Verdrehungs-Winkels mehr geltend und ist bei Berechnung der Wellen hierauf besonders Rücksicht zu nehmen. Keinenfalls darf aber der Werth kt unberücksichtigt bleiben. Textabbildung Bd. 319, S. 662 Fig. 2. Abszissen; Ordinaten Die beiden Werte kt und ψ sind nicht unabhängig von einander; zwischen denselben besteht vielmehr die Beziehung: k_t=69,5\,\psi\,\cdot\,d=\frac{\psi\,\cdot\,d}{0,0144} . . . . 3) die durch Division der Gleichungen 1) und 2) erhalten wird. Hieraus folgt, dass bei Annahme eines bestimmten Verdrehungwinkels ψ f. d. lfd. m die Beanspruchung auf Verdrehungs-Festigkeit proportional mit dem Wellendurchmesser zunimmt. Besonders bei stärkeren Transmissionswellen ist es deshalb nicht zulässig, nur nach Gleichung 2) zu rechnen, sondern es muss stets untersucht werden, ob kt innerhalb der als zulässig erachteten Grenzen bleibt. Diese Untersuchung gestaltet sich äusserst einfach bei Verwendung der Darstellung Fig. 2. In dieser sind wagerecht von links nach rechts die Werte von \frac{N}{n} und senkrecht von unten nach oben die Werte von ψ aufgetragen. Es ist d^1=C\,\frac{\left(\frac{N}{n}\right)}{\psi} Dies ist die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Nullpunkt geht. Es können also die den verschiedenenDurchmessern d entsprechenden Geraden leicht berechnet und eingetragen werden. Textabbildung Bd. 319, S. 663 Fig. 2a.Abszissen; Ordinaten. Wegen Gleichung 3) ist es auch höchst einfach für einen bestimmten Durchmesser den zugehörigen Wert kt zu finden, denn Gleichung 3) ist ebenfalls die Gleichung einer Geraden, die durch den Nullpunkt geht. Diesmal werde jedoch der Nullpunkt nicht links sondern rechts unten gewählt. Die Ordinaten bleiben dieselben wie vorher, die Abszissen ändern sich jedoch. Für den grössten Wert von ψ der graphischen Darstellung wird für die verschiedenen Durchmesser der Wert von kt = 69,5 ψ . d berechnet und auf der Wagerechten für dieses ψmax d.h. auf der obersten Wagerechten von rechts nach links aufgetragen. Die so gefundenen Punkte sind mit dem Nullpunkt rechts unten durch Gerade zu verbinden. Die Zahlen an den Enden der Strahlen bedeuten die Durchmesser in cm und zwar gehören die Zahlen ausserhalb des Umfanges zu den vom links gelegenen Nullpunktausgehenden Strahlen, während die Zahlen innerhalb des Umfanges der Figur zu den vom rechts gelegenen Nullpunkt ausgehenden Strahlen gehören. Textabbildung Bd. 319, S. 664 Fig. 3. Abszissen; Ordinaten Die Berechnung gestaltet sich nun einfach folgendermaassen: Ist z.B. für \left(\frac{N}{n}\right)=4,5 der Durchmesser zu bestimmen, so findet sich aus Fig. 2, dass die Gerade für d = 17 cm ψ = 0,28° f. d. lfd. m und die Gerade für d = 18 cm ψ = 0,22° f. d. lfd. m ergibt, indem diese Geraden in den betreffenden Punkten die Senkrechte von \left(\frac{N}{n}\right)=45 schneiden. Um die zugehörigen Werte von kt zu finden, ist es nur nötig, von diesen Schnittpunkten wagerecht nach rechts zu gehen, bis die betreffenden Wagerechten, die durch den rechts gelegenen Nullpunkt gehenden Strahlen für das betreffende d schneiden. Es findet sich so zu d = 17 cm kt = 328 kg/qcm und zu d = 18 cm kt = 276 kg/qcm. Welcher Wert von d nun angenommenwerden muss, hängt von den vorliegenden Verhältnissen ab. Um das Aufsuchen zu erleichtern, sind die Kurven für kt eingezeichnet. Die Konstruktion der Kurven für kt ergibt sich aus Vorstehendem. Um z.B. für kt = 207 und d = 15 cm den entsprechenden Punkt der Kurve zu erhalten, wird der Schnittpunkt der Lotrechten für kt = 207 mit dem vom rechts gelegenen Nullpunkt ausgehenden Strahl d = 15 cm wagrecht herüber projiziert bis zum Strahl d = 15 cm, der vom links gelegenen Nullpunkt ausgeht usw. Textabbildung Bd. 319, S. 665 Fig. 3a.Abszissen; Ordinaten Selbstverständlich kann jedoch ebenso gut die graphische Darstellung (Fig. 3) mit den Koordinaten kt und \frac{N}{n} zugrunde gelegt, der Wert von d hieraus ermittelt und hierzu dann ψ mittels Gleichung 3 bestimmt werden. Für die kleineren Durchmesser ist eine besondere Darstellung erforderlich, siehe Darstellung Fig. 2a und 3a. Muss für einen anderen, als den den Kalibern entsprechenden Durchmesser der Wert von kt oder ψ bestimmt werden, so kann dies graphisch auf folgende Weise geschehen. In den Schnittpunkten der Fahrstrahlen für kt und ψ mit der obersten Wagerechten werden lotrecht nach unten die den betr. Fahrstrahlen entsprechenden Durchmesser angetragen und die so erhaltenen Punkte je durch eine Kurve verbunden. In Fig. 4 ist dies z.B. für Fig. 3a ausgeführt, der Maassstab ist jedoch nur halb so gross wie derjenige der Hauptdarstellung Fig. 3a. Sollen nun z.B. die dem Durchmesser 9,3 cm entsprechenden Fahrstrahlen für kt und ψ gefunden werden, so wird 9,3 cm unterhalb der obersten Wagerechten eine Wagerechte gezogen. Die Schnittpunkte dieser letzteren mit den beiden Kurven auf die oberste Wagerechte gelotet gibt die Schnittpunkte für die entsprechenden Fahrstrahlen, welche in Fig. 4 strichpunktiert eingezeichnet sind. Durch diese Darstellung ist also die Bestimmung der Wellendurchmesser wesentlich erleichtert, insbesondere gewährt dieselbe den Vorteil, dass kt und ψ gleichzeitig mit Leichtigkeit gefunden werden können. Die Darstellung wird ferner auch mit Vorteil verwendet werden, wenn eine neue Transmission auf Grundlage einer vorhandenen ähnlichen älteren zu berechnen ist, indem mittels der Darstellung die Werte von kt und ψ rasch für die vorhandene Transmission ermittelt und danach dann die neue berechnet werden kann. Endlich ist es auch äusserst einfach, eine bestehende Transmission daraufhin zu untersuchen, ob dieselbe noch stärker beansprucht werden darf oder ob dies nicht zulässig ist. In den Handbüchern und Kalendern finden sich Tabellen, aus denen für eine bestimmte Beanspruchung f. d. qcm oder für einen bestimmten Verdrehungswinkel der Wellendurchmesser gefunden werden kann. Obige Darstellungen enthalten alle diese Tabellen. Beispielsweise gibt in Fig. 2 und 2a die strichpunktierte Linie für ψ = 0,25° in ihren Schnittpunkten mit den d-Strahlen alle Werte von \frac{N}{n} einer solchen Tabelle (Katalog Bamag)und ebenso gibt die Wagrechte für 120 kg/qcm in den Fig. 3 und 3a alle Werte von \frac{N}{n} der Tabelle „Hütte“ 1 S. 621. Gleichzeitig ist jedoch hier auch im ersten Falle kt und im zweiten ψ ersichtlich, gewiss ein grosser Vorteil, da diese nicht konstant sind. Textabbildung Bd. 319, S. 666 Fig. 4. Abszissen; Ordinaten Den Werten von \frac{N}{n} können in der graphischen Darstellung auch gleich die entsprechenden Werte von Mt bezüglich Pr beigefügt werden, falls dies wünschenswert sein sollte (z.B. für Berechnung von Kranwellen usw.) Eine solche Darstellung kann ferner für die Berechnung von Kurbelwellen mit Nutzen verwendet werden, es ist nur zu beachten, dass Mb = 0,1 . d3 . kb während oben Mt = 0,2 d3kt war. Gleichzeitig kann dann auch die Verdrehung auf einfachste Weise ermittelt werden, was bei Maschinen mit sehr geringer Ungleichförmigkeit nicht unwichtig ist. Diese graphischen Darstellungen ermöglichen nicht nur dem Konstrukteur, den Durchmesser einer Welle rasch und sicher zu bestimmen, sie werden auch von dem Lehrer mit Vorteil benützt werden, um dem Schüler das Verständnis zu erleichtern.