Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten. Von Dr. ing. Max Ensslin, Stuttgart. (Schluss von S. 669 d. Bd.) Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten. C) Belastung durch Biegungsmomente am äusseren oder inneren Plattenumfang. Besteht die Belastung lediglich in Biegungsmomenten, die gleichmässig über den äusseren oder inneren Plattenumfang verteilt sind, so ist in der Platte keine Schubwirkung vorhanden; sie wird nur gebogen. Es ist dann in der Differentialgleichung der elastischen Mittelfläche (S. 650, Gleichung 37)) S = 0, womit wird: \frac{d^3\,z}{dx^3}+\frac{1}{x}\,\frac{d^2z}{dx^2}-\frac{1}{x^2}\,\frac{dz}{dx}=0 Durch Integration erhält man für die Senkung eines Punktes der Mittelfläche unter die xy-Ebene z=\frac{K_1}{4}\,x^2+\frac{K_2}{2}\,ln\,x^2+K_3 . . 63) und für die Neigung der Meridianlinie gegen die x-Achse: \frac{dz}{dx}=\frac{K_1}{2}\,x+\frac{K_2}{x} . . . . . 64) Auf demselben Weg, auf welchem die Gleichungen 3), 40) und 58) gefunden worden sind, erhält man zur Berechnung der Spannungen in der ringförmig ausgeschnittenen Scheibe:Ist die Scheibe voll, so gelten, wenn nur biegende Momente gleichmässig den Umfang belasten, ebenfalls die Gleichungen 63) bis 65), nur ist die Konstante K2 =0, da \frac{dz}{dx}=0 sein muss für x = 0. Diese Gleichungen sind eingangs als die Gleichungen 4) bis 6) aufgeführt. \left{{\sigma_x=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[\frac{K_1}{2}-\frac{m-1}{m+1}\,\frac{K_2}{x^2}\right]}\atop{\sigma_y=-\frac{m}{m-1}\,\frac{\lambda}{\alpha}\,\left[\frac{K_1}{2}+\frac{m-1}{m+1}\,\frac{K_2}{x^2}\right]}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 65) Hierin sind K1, K2 und K3 Integrationskonstante, deren Wert aus den Randbedingungen sich ergibt. Mit Hilfe der Gleichungen 63) bis 65) kann der versteifende Einfluss des Materials untersucht werden, das über den Auflager- bzw. Belastungskreis hinausragt, d.h. in Fig. 27 der Einfluss des Materials ausserhalb des Umfanges 2 π Ra und innerhalb des Umfanges 2 π Ri. Textabbildung Bd. 319, S. 677 Fig. 27. – ∙ – Ringspannungen in einer Scheibe ohne übersehende Ränder. Beispiel: Die im Abschnitt A., b), I. (S. 629) behandelte Platte (Ra = 28, Ri = 14) mit einer in den Umfangen 2 π Ra und 2 π Ri konzentrierten Last und frei beweglichen Rändern erhält innen und aussen vorspringende Ränder von 4 cm, so dass R1 = 32 und R0 = 10 cm ist (Fig. 27). Die Scheibe besteht aus drei Ringzonen: die äussere und innere sind nur durch Biegungsmomentebelastet, die infolge des Zusammenhanges mit der mittleren Zone auftreten. Die Spannungen in der äusseren und inneren Zone verteilen sich nach dem Gesetz der Gleichung 65); die in Gleichung 65) vorkommenden Konstanten mögen für die äussere Zone mit K1 und K2; für die innere mit B1 und B2 bezeichnet werden. Für die mittlere Zone gilt Gleichung 3), die Konstanten seien c1 und c2. Bei der Bestimmung der Integrationskonstanten ist davon auszugehen, dass die Radialspannungen am äusseren und inneren Rand (x = R1 und x = R0) gleich Null sind, dass die Meridianlinie aus der äusseren in die mittlere Zone und ebenso aus der mittleren in die innere mit gemeinsamer Tangente übergeht und dass die Spannungen an der Uebergangsstelle aus der äusseren in die mittlere Zone (bezw. mittleren in die innere) sich für jeden Punkt gleich ergeben müssen, mag man den Punkt als zur äusseren oder zur mittleren Zone (bezw. als zur mittleren oder inneren Zone) gehörig betrachten. Damit wird: K_2=-\frac{b}{4}\,\frac{{R_1}^2\,{R_0}^2}{{R_1}^2-{R_0}^2}\,\left[\frac{m+1}{m-1}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}+\frac{{R_a}^2-{R_i}^2}{{R_0}^2}\right] 66) B_1=-\frac{b}{4}\,\frac{{R_1}^2\,{R_0}^2}{{R_1}^2-{R_0}^2}\,\left[\frac{m+1}{m-1}\,ln\,\frac{{R_a}^2}{{R_i}^2}+\frac{{R_a}^2-{R_i}^2}{{R_1}^2}\right] 67) und nach ziffernmässiger Berechnung von K2 und B2: \frac{K_1}{2}=\frac{m-1}{m+1}\,\frac{K_2}{{R_1}^2} . . . . 68) \frac{B_1}{2}=\frac{m-1}{m+1}\,\frac{B_2}{{R_0}^2} . . . . 69) c_1=B_1-\frac{b}{2}\,ln\,{R_i}^2 . . . . 70) c_2=B_2+\frac{b}{2}\,{R_i}^2 . . . . 71) b=6\,\frac{m^2-1}{\pi\,m^2}\,\frac{P}{h^3}\,a Für die in Fig. 27 angegebenen Maasszahlen wird nach den Gleichungen 66) bis 71): K_2=-\frac{b}{4}\,937;\ B_2=-\frac{b}{4}\,347;\ \frac{K_1}{2}=-\frac{b}{4}\,0,492; \frac{B_1}{2}=-\frac{b}{4}\,\cdot\,1,867;\ \frac{c_1}{2}=-\frac{b}{4}\,\cdot\,7,149;\ c_2=-\frac{b}{4}\,\cdot\,151. Gleichung 65) liefert mit den Werten von K1 und K2 die Spannungen in der äusseren und mit den Werten von B1 und B2 in der inneren Zone; Gleichung 3) ergibt mit den Werten von c1 und c2 die Spannungen in der mittleren Zone und zwar, wie folgt: x = 32 30 28 21 14 12 10 cm von der Mitte σx = 0 + 0,072 + 0,151 – 0,354 – 0,915 – 0,571   0 σy = 0,984 – 1,052 – 1,135 – 1,788 – 2,818 – 3,163 – 3,732 mal ∓ \frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2} Die Spannungsverteilung ist in Fig. 27 dargestellt; zum Vergleich ist noch die Spannungsverteilung in der Scheibe ohne überstehende Ränder punktiert – aus Fig. 5, S. 629, entnommen – eingezeichnet. Man erkennt, dass das aussen überstehende Material nur verhältnismässig schwach gespannt wird und wenig zur Erhöhung der Widerstandskraft beiträgt. Viel wirksamer versteift den Ring das innen überstehende Material. D. Technische Beispiele. Textabbildung Bd. 319, S. 678 Fig. 28. Textabbildung Bd. 319, S. 678 Masstab der Spannungen kg/qcm. 1. Niederdruckkolben einer Lokomotive (Fig. 28), beim Anfahren mit p = 6,5 kg/qcm belastet. Wandstärke h = 3 cm. Bei der Stärke des Zylinders, in dem die Kolbenringeliegen, kann angenommen werden, der Kolbenboden sei an der Anschlusstelle (Ra = 30,3 cm) vollkommen eingespannt; dasselbe gilt vom Anschluss an die Nabe (Ri = 7,6 cm). Die Belastung (s. Fig. 29) besteht: 1. aus der gleichmässigen Oberflächenbelastung durch den Dampfdruck p = 6,5 kg/qcm, 2. aus der im Umfang 2 π Ra konzentrierten Belastung P=\left(\frac{\pi}{4}\,69,5^2-\frac{\pi}{4}\,60,6^2\right)\,6,5=5970\mbox{ kg}, herrührend von dem Dampfdruck auf den ringförmigen Bord, von dem vorausgesetzt ist, dass er sich vollkommen starr verhalte. Der Kolbenboden ist am inneren Umfang 2 π Ri gestützt. Die beiden Teilbelastungen 1) und 2) rufen jede für sich Spannungen hervor, deren Resultierende durch algebraische Summierung gefunden wird. Da die Einspannung bei gleichzeitiger Wirkung der beiden Teilbelastungen als eine vollkommene angesehen wird, so ist sie auch einer Teilbelastung gegenüber als vollkommen anzusehen. Somit findet hier Anwendung: 1. für die konzentrierte Last, Abschnitt A., b), 4.; (S. 631); 2. für die gleich massige Oberflächenbelastung. Abschnitt B., b), II, 4.; (S. 668). 1. Wirkung der konzentrierten Last. Nach Gleichung 24) und 25) ist: c_1=-\frac{b}{2}\,6,01 und c_2=+\frac{b}{4}\,170; \frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P}{h^2}=0,31\,\frac{5970}{3^2}=206 Hiermit liefert Gleichung 3): x = 30,3 28 21 14     7,6 cm v. d. Mitte σx = – 257 – 220 – 87 + 127 + 588 kg/qcm σy = – 77 – 26 + 57 + 173 + 215   „ 2. Wirkung der gleichmässigen Belastung p = 6,5 kg/qcm. Nach Gleichung 61) und 62) ist: k_1=-\frac{a}{4}\,10040 und k_2=+\frac{a}{8}\,258500; ferner: \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{P}{h^2}=0,487\,\frac{6,5}{3^2}=0,351. Damit liefert Gleichung 53): x = 30,5 28 21 14 10       7,6 cm von der Mitte σx = – 347 – 349 – 234 + 196 + 790 + 1470 kg/qcm σy = – 102 – 74 + 67 + 318 –   + 425   „ Gesamtspannung σx = – 604 – 569 – 321 + 323 – + 2058 kg/qcm σy= – 179 – 100 + 124 + 491 – + 640 „ Textabbildung Bd. 319, S. 678 Fig. 31. Die Spannungsverteilung für die konzentrierte Belastung, die gleichmässige Oberflächenbelastung und für beide zusammen zeigen bezw. die Fig. 30a, 30b und 30c. 2. Ventilring (Lang-Hörbiger Gebläse) Fig. 31. Durchmesser der äusseren Sitzfläche : 2 Ra = 440 mm, „ „ inneren „ : 2 Ri = 330 „ Druckfläche 666 qcm. Ueberdruck 0,5 kg/qcm.Es ist wohl zu beachten, dass als Belastung des Ventils pur der Winddruck, d.h. eine ruhende Belastung, berücksichtigt ist, nicht dagegen die dynamische Wirkung der mit Stoss auf den Ventilsitz gelangenden Ventilmasse. Diese Stosswirkung ist um so grösser, je höher die Aufsatzgeschwindigkeit des Ventils ist, die durch möglichstes Kleinhalten des Ventilhubes zu beschränken ist. Verstärkung der Dicke h des Ventilringes vermehrt zwar die Masse, aber auch die Widerstandsfähigkeit, erstere im einfachen, letztere im quadratischen Verhältnis zur Dicke h. Dicke des Ventilringes h = 4 mm. Es sei der Druck des Ventilringes gegen die äussere Sitzflächeinnere          „ P a P i kg die Gesamtbelastung P = Pa + Pi Die Grösse von Pa und Pi ist zunächst nicht bekannt; sie hängt von der Formänderung des Ringes ab, z.B. wie sofort klar ist, von der gegenseitigen Höhenlage der Sitzflächen (vergl. den Fall des kontinuierlichen Trägers bei Senkung einer Stütze). Der Einfachheit halber sei angenommen, dass die Sitzflächen sich in gleicher Höhenlage befinden. Man findet die Auflagerdrücke, wenn man einen derselben, etwa Pi, als belastende Kraft auffasst. Der Ventilring ist dann im äusseren Umfang gestützt und durch zwei Kräfte belastet: 1. die gleichmässige Oberflächenbelastung, 2. die konzentrierte Kraft Pi am inneren Umfang. Die erste Teilbelastung für sich allein würde den Ring nach unten, die letztere nach oben biegen. Die Durchbiegung in beiden Fällen kann nach A., b), 1. (S. 629) und B., b), I, 1. (S. 651) berechnet werden. Da die Durchbiegung des inneren Randes unter der gleichzeitigen Einwirkung beider Teilbelastungen gleich Null sein muss, so sind die vorhin erwähnten Durchbiegungen gleich gross, wodurch Pi und damit auch Pa bestimmbar ist. Die Beanspruchung des Ringes ergibt sich als algebraische Summe der Spannungen, welche von den beiden Teilbelastungen 1) und 2) hervorgerufen werden. 1. p wirkt allein. Dann ist nach Gleichungen 41), 42) und 43): C_1=+\frac{a}{4}\,2140 und C_2=-\frac{a}{8}\,267500 und die Durchbiegung z_2=\frac{3}{16}\,\frac{m^2-1}{m^2}\,\frac{p}{h^3}\,a\,({R_a}^2-{R_i}^2)\,\cdot\,1730 2. Pi wirkt allein. Dann ist nach Gleichungen 15), 16) und 17): c_1=-\frac{b}{2}\,\cdot\,7,45 und c_2=-\frac{b}{4}\,\frac{m+1}{m-1}\,358 und die Durchbiegung z_1=\frac{3}{4}\,\frac{m^2-1}{\pi\,m^2}\,\frac{p}{h^3}\,\alpha\,({R_a}^2-{R_i}^2)\,\cdot\,4,34 Aus z1 und z2 folgt: Pi = 157 kg (Pa = 176 kg) Es sei bemerkt, dass bei gleichmässiger Verteilung der Belastung auf beide Auflager jedes 166,5 kg Druck erhalten würde. 1. Spannungen wenn p = 0,5 kg/qcm allein wirkt. Mit \frac{3}{8}\,\frac{m+1}{m}\,\frac{P}{h^2}=0,487\,\frac{0,5}{0,16}=1,52 und den obenstehenden Werten von C1 und C2 liefert Gleichung 40): x = 16,8 18 20 22 cm von der Mitte σx = 0 + 47 + 74 0 kg/qcm σy = + 1150 + 1060 + 929 + 806    „ 2. Spannungen, wenn Pi = 157 kg allein wirkt. Mit \frac{3}{4}\,\frac{m+1}{\pi\,m}\,\frac{P_i}{h^2}=0,31\,\frac{157}{0,19}=304 und den obenstehenden Werten von c1 und c2 liefert Gleichung 3) σx = 0 + 11 + 11 0 kg/qcm σy = + 1125 + 979 + 879 + 776 „ Da die letzteren Spannungen den ersteren entgegenwirken, so ist die resultierende Spannung σx = 0 36 63 0 kg/qcm σy = + 25 81 50 30 „ Die ruhende Belastung durch den Winddruck beansprucht im vorliegenden Fall den Ventilring nur ganz wenig. Wenn bei ringförmigen Ventilen im Betrieb nicht selten Brüche vorkommen, so dürfte die Ursache derselben, sofern Ecken des Ventiles nicht in Betracht kommt, in den dynamischen Beanspruchungen zu suchen sein, welche das unter Stoss erfolgende Auftreffen des Ventiles auf seinen Sitz mit sich bringt. E. Allgemeine Bemerkungen. Einfluss der Befestigungsweise der Plattenränder auf den Spannungszustand. A. Durchbrochene Platte mit konzentrierter Belastung (gleichmässig verteilt über den Umfang eines Kreises um die Plattenmitte). Der Vergleich der Fig. 5 bis 10 zeigt, welch grossen Einfluss die Befestigungsweise der Plattenränder auf den Spannungs- (und Formänderungs-) Zustand ausübt. Sind beide Ränder frei beweglich (Fig. 5), so ist die grösste Spannung rund 3,5 mal so gross wie bei vollkommener Einspannung der Ränder (Fig. 10). Mit Hilfe der Fig. 5 bis 10 lässt sich auch leicht überblicken, wie sich der Spannungszustand einer Platte ändert, wenn ein ursprünglich frei beweglicher Rand in den Zustand vollkommener Einspannung übergeht, wozu Fig. 5 mit 6 bezw. 9 oder Fig. 10, ferner Fig. 6 mit 10 und Fig. 9 mit 10 zu vergleichen ist. Mit dem Uebergang aus dem Zustand des Freiaufliegens in denjenigen der vollkommenen Einspannung geht die Spannungslinie aus ihrer Grenzlage in der einen Figur in die Grenzlage der andern, mit jener zu vergleichenden Figur über. Ueber den günstigsten Grad der Einspannung bezw. der Nachgiebigkeit des Plattenrandes ergibt sich folgendes: Hat die Platte wie in Fig. 5 zunächst frei bewegliche Ränder, und wird einer derselben allmählich in den Zustand der vollkommenen Einspannung übergeführt, so wird die ursprüngliche Anstrengung bis zu einem gewissen Grad der Einspannung hin vermindert; von da ab jedoch, wenn die einspannenden Momente weiterhin vergrössert werden, wird der Spannungszustand wieder ungünstiger. Der günstigste Spannungszustand einer Platte fällt also im allgemeinen nicht mit dem Zustand der vollkommenen Einspannung eines oder der beiden Plattenränder zusammen. Eine im Vergleich hiermit etwas grössere Nachgiebigkeit an der Einspannungsstelle kann für den Spannungszustand vorteilhafter sein (vergl. auch das Verhalten stabförmiger Körper in dieser Hinsicht). Die Einspannung am äusseren Rand der konzentriert belasteteten Platte hat nach Auskunft der Fig. 6 und 9 eine stärkere Wirkung auf die Spannungen als die Einspannung am inneren Rand. B. Glelchmässige Oberflächenbelastung. I. Platte am äusseren Umfang unterstützt. Auch hier ist der Einfluss der Befestigungsweise der Plattenränder ein bedeutender. Würden z.B. die frei beweglichen Ränder der Platte (Ra = 28, Ri = 14 cm) (Fig. 15) vollkommen eingespannt, so würde die grösste Spannung dadurch auf den vierten Teil ermässigt. Sonst ist ähnliches zu bemerken, wie vorhin. II. Platte am inneren Umfang gestützt. Vergleich zwischen äusserer und innerer Stützung. Die innen gestützte, gleichmässig belastete Platte ist unter sonst gleichen Umständen stärker beansprucht, als die aussen gestützte, wie der Vergleich der Fig. 15 bis 20 mit den Fig. 21 bis 26 lehrt. Dies rührt davon her, dass die biegende Wirkung der äusseren Belastung auf die innen gestützte Platte grösser ist, als auf die aussen gestützte. Man kann sich im Falle frei beweglicher Ränder diese Tatsache leicht klar machen, wenn man sich der von Bach vorgeschlagenen VorstellungsweiseUeber diese zum Zweck der Näherungsberechnung von Platten eingeführte Vorstellungsweise s. C. Bach, Elastizität und Festigkeit, Abschnitt über plattenförmige Körper. bedient, nach welcher eine solche Platte als nach einem Durchmesser eingespannter stabförmiger Körper angesehen wird. Es ist dabei von Interesse, die Beanspruchung der Platte mit zwei frei beweglichen Rändern bei äusserer undinnerer Stützung an Hand der Fig. 15 und 21 zu vergleichen (Ra = 28, Ri = 14). Die Biegungsmomente der äusseren Belastung (gleichmässige Oberfächenbelastung und Auflagerdruck an der einen Plattenhälfte je im Schwerpunkt der Last vereinigt gedacht) rufen eine mittlere Ringspannung σy hervor. Die, wie angedeutet, berechneten Momente und die aus Fig. 15 und 21 entnommenen mittleren Spannungen σy verhalten sich wie 1 : 1,25; die grösste Beanspruchung σy der äusseren gestützten Platte zu derjenigen der innen gestützten Platte, jedoch nach Fig. 15 und 21, wie 1 : 1,4. Die innen gestützte Platte mit gleichmässiger Oberflächenlast ist daher weniger widerstandsfähig als die aussen gestützte. In kurzer Zusammenfassung sei noch Nachstehendes aus der Arbeit wiederholt: 1. Die Widerstandsfähigkeit einer gleich starken Platte wächst oder sinkt mit der zweiten Potenz der Plattenstärke, sofern die Belastung, Stützung und Befestigung nicht geändert wird. 2. Der Spannungszustand einer gelochten kreisförmigen Platte ist ausser von der Art der Belastung (gleichmässig über eine Kreislinie oder Kreisfläche verteilte Last) in starkem Maass von der Befestigungsweise der Plattenränder und vom Verhältnis der Durchmesser beider Ränder abhängig. Eine verhältnismässig kleine Bohrung bzw. ein kleiner innerer Durchmesser hat ein starkes Anwachsen der Spannung gegen den inneren Rand zur Folge (vergl. Fig. 2, 4, 5a, 8a, 11, 18, 21 und 24).