Ein neues Verfahren zur graphischen Bestimmung der Stabkräfte in Fachwerkslaufkranbrücken. Von A. Baumann, Zwickau. (Schluss von S. 548 d. Bd.) Ein neues Verfahren zur graphischen Bestimmung der Stabkräfte in Fachwerkslaufkranbrücken. Auf gleiche Weise verfährt man für die Eigengewichtsbelastung. Unter der mittleren Senkrechten trägt man die Hälfte der Belastung des mittleren Knotenpunktes, unter der äussersten das halbe Gesamtgewicht an.und verbindet beide durch eine Gerade. Diese Darstellung, die in Fig. 6 und 7 wiedergegeben ist, bringt einen weiteren Vorteil mit sich, wie nachstehend gezeigt werden soll. Textabbildung Bd. 321, S. 562 Fig. 7. Es ist schon darauf hingewiesen worden, dass die Kraftrichtung in den senkrechten Stäben, so weit die Belastung von der Verkehrslast herrührt, umkehrt, wenn die Last die Stabmitte, überschritten hat. Ausserdem ist gezeigt worden, dass dann in dem senkrechten Stab eine Zugkraft herrscht, die der Grösse des entfernter liegenden – also kleineren Auflagerdrucks gleich ist, aber erst dann, wenn auch das hintere Rad der Laufkatze über die Mitte des behandelten Stabes hinweggeschritten ist. Damit ist dann für den betreffenden Stab der Höchstwert der in ihm auftretenden entgegengesetzten, also Zugbelastung erreicht. Da die schrägen Stäbe in ihrer Beanspruchung von den senkrechten Stäben abhängen und die in ihnen wirkenden Kräfte durch Zerlegung der senkrechten Kräfte zu ermitteln sind, leuchtet ein, dass auch in ihnen ein Kraftrichtungswechsel eintreten wird. Die Kräfte in den senkrechten Stäben, die durch das Eigengewicht hervorgerufen werden, ändern ihre Richtung natürlich nicht. Die resultierende Belastung in den Senkrechten, die von der Verkehrslast eine Zugbeanspruchung erleiden, ergibt sich damit als Unterschied der Druckkräfte, herrührend vom Eigengewicht, und der Zugkräfte, herrührend von der Verkehrslast. Im allgemeinen kommt es somit auf den speziellen Fall an, ob in einem Stab die Druck- oder Zugkräfte überwiegen werden. Die Senkrechten werden unter allen Umständen für die grösste Druckbeanspruchung, die in ihnen auftritt, zu berechnen sein, weil sie als Summe grösser ausfällt als der obige Unterschied, sodann weil die Druckkräfte wegen der zu vermeidenden Knickung grössere Querschnitte erfordern. Sind die Senkrechten gedrückt, so sind bei ihrer üblichen Anordnung die Diagonalen gezogen und umgekehrt. Es ist also im Hinblick auf die Diagonalen nötig, die in den Senkrechten auftretenden Zugkräfte näher zu untersuchen, um festzustellen, ob die Querschnitte der Diagonalen einmal den auftretenden Zugkräften, sodann aber auch ohne Knickgefahr den zu erwartenden grössten Druckkräften gewachsen sind. Das wird bei der Länge der Diagonalen meist nicht der Fall sein und man könnte nun die Diagonalen entsprechend verstärken. Dabei ist zu beachten, dass in diesem Fall auch (U_n)_{\mbox{max}} nicht mehr gleich (O_n)_{\mbox{max}} ist, sondern gleich (O_{n+1})_{\mbox{max}} also grösser. Meist jedoch zieht man bekanntlich vor, in jenen Balkenfeldern, in denen die Diagonalen gedrückt werden, sogenannte Gegendiagonalen einzuziehen, die dann eben so grosse Zugkräfte aufweisen wie Druckkräfte in der ursprünglichen Diagonale auftreten würden, sie verringern (U_n)_{\mbox{max}} auf (O_{n_{\mbox{max}}}) gegenüber (O_{n+1})_{\mbox{max}} und entlasten im Fall der herrschenden Zugkräfte in den Senkrechten die Diagonalen, die infolge ihres geringen Querschnitts bei eintretender Druckbelastung sich ausbiegen. Natürlich werden sie so auch noch entsprechend dem Widerstände, den sie ihrer Formänderung entgegensetzen, an der Aufrechterhaltung des Kräftegleichgewichts teilnehmen und die Gegendiagonalen teilweise entlasten. Man begeht aber jedenfalls keinen grossen Fehler und handelt im Sinne der Berechnung, wenn man sie als spannungslos annimmt und voraussetzt, dass die Gegendiagonalen allein tragend wirken. Es ist also zu untersuchen, in welchen Senkrechten beim Wandern der Last Zugkräfte auftreten werden, unter Einrechnung der Belastung durch das Eigengewicht. Bei der Laststellung in Mitte des Balkens sind, wie leicht einzusehen, sämtliche Senkrechten rechts wie links von der Katze gedrückt, die zwischen den Rädern liegende, so weit die Verkehrslast in Frage kommt, spannungslos. Bewegt sich die Katze nach rechts, so bleiben in jeder Stellung der Katze die links von Balkenmitte liegenden Senkrechten gedrückt (und zwar deshalb, weil von der Balkenmitte ab die Richtung der Diagonalen sich ändert. Da diese Anordnung die übliche, soll nur sie weiterhin betrachtet werden, andernfalls ist an Hand des folgenden auch dieser zweite Fall leicht zu überblicken. Die Stäbe rechts von der Balkenmitte werden jedoch Zugkräften ausgesetzt sein, sobald das hintere Rad der Laufkatze über ihre Mitte hinweggerollt ist. In dem Diagramm (Fig. 6) sind senkrecht unter jedem senkrechten Stab die in ihm auftretenden grössten Druckkräfte aufgetragen. Sie sind nach dem früheren gleich den Auflagerdrücken im Auflager rechts für die rechte Balkenhälfte, die der Laststellung entspricht, in der das Laufkatzenvorderrad über der Mitte des betr. Stabes steht. Zieht man in Fig. 6 die Gleichlaufende AB im Abstand 2Q, so stellen die Strecken CD die Auflagerdrücke des Auflagers rechts dar, die denselben Katzenstellungen entsprechen, wie die zugehörigen Auflagerdrücke links. Diese zweiten Auflagerdrücke sind die Zugkräfte, die in den Senkrechten wirken, nachdem das Hinterrad der Katze ihre Mitte passiert hat. Nun ist zu beachten, dass in der Stellung, in der das eintritt, der Auflagerdruck rechts grösser geworden ist als er war, während das Vorderrad der Katze über der Mitte desselben Stabes stand. Man findet in Fig. 6 leicht auch diesen zweiten Auflagerdruck und den zugeordneten linksseitigen wenn man den Keil ACD um den Radabstand a der Laufkatze nach rechts verschiebt. Die Strecken b, c, d usw. stellen dann die Auflagerdrücke dar, die auftreten, wenn das Hinterrad der Katze die Mitte des betr. Stabes überschritten hat, und damit stellen sie zugleich die grössten in dem betr. Stab auftretenden Zugkräfte dar. Von diesen Zugkräften sind jeweils die Druckkräfte herrührend vom Eigengewicht abzuziehen. In Fig. 6 stellen also die Strecken b', c', d, usw. die resultierenden senkrechten Stabkräfte dar und man sieht sofort, bis zu welchem Punkt, nämlich dem Punkt J, Zugkräfte in den Senkrechten möglich sind. Die Felder jenseits dieses Punktes sind also wie die Figur zeigt, mit Gegendiagonalen auszurüsten. Zerlegt man die in Fig. 6 gezeichneten senkrechten Kräfte, herrührend von der Verkehrslast nach der Diagonalrichtung und nach der Wagerechten, so erhält man nach dem früheren die höchsten Diagonalkräfte auf der in Richtung der Diagonalen gezogenen Linie und auf der Wagerechten den Unterschied der in dem betr. Knotenpunkt angreifenden wagerechten Kräfte. Diese wagerechten Kräfte selbst sind natürlich im gleichen Verhältnis zu den Momenten in den zugehörigen Balkenquerschnitten, also in gleichem Verhältnis zu den Abständen dieser Querschnitte vom Auflager. Sind alle Felder gleich gross und ist durch die angegebene Zerlegung der Unterschied D der wagerechten Kräfte im nten Knotenpunkt vom Auflager aus gerechnet Hu – Hu – 1 gefunden, so ist erstens D = Hn – Hn – 1 andererseits nach dem gesagten Hn : Hn – 1 = n : (n – 1) oder D=H_n-H_n\,\frac{n-1}{n}=\frac{H_n}{n} oder n . D = H n . Es ist also mit diesem Unterschied gleichzeitig die grösste wagerechte Kraft, die wagerechte Kraft in Stab Un gefunden. Sind die einzelnen Felder nicht gleich gross, was wohl selten vorkommen wird, was aber für die spätere Untersuchung der Parabelgitterträger indirekt von Wichtigkeit ist, so kann gleichfalls an Hand der folgenden Ueberlegung leicht aus DHn bestimmt werden. Für die Laststellung, der die senkrechte Stabkraft V entspricht, ist nach den früheren Gleichgewichtsbedingungen in allen linksseitig gelegenen folgenden senkrechten Stäben stets wieder die senkrechte Stabkraft gleich Vn. Findet man nach der obigen Zerlegung den Unterschied der beiden in dem betr. Knotenpunkt angreifenden wagerechten Stabkräfte, so würde Hn = D + Hn – 1 sein, zerlegt man nun im nächsten Feld wieder V nach der diagonalen und wagerechten Richtung, so findet man für den nächsten Knotenpunkt einen neuen Unterschied D' = Hn – 1 – Hn – 2 u.s.f. bis zum Auflager. Die Zusammenzählung sämtlicher Unterschiede D gibt dann Hn. Sind die Felder alle gleich gross, die Trägerhöhe gleichbleibend, so sind alle Grössen D einander gleich, entsprechend der obigen Beziehung Hn = n . D, andernfalls je nach der aus Höhe und Länge des einzelnen Feldes sich ergebenden Diagonalrichtung verschieden gross. In ähnlicher Weise kann man die senkrechten Kräfte, herrührend vom Eigengewicht, nach diagonaler und wagerechter Richtung zerlegen. Diese Unterschiede stellen dann gleichfalls einen bestimmten Bruchteil der vom Eigengewicht herrührenden wagerechten Kräfte dar, während die Diagonalkräfte damit direkt gefunden sind. Es lässt sich unschwer ableiten, dass die aus der Eigengewichtsbelastung ermittelten Werte D in folgender Beziehung zu Hn stehen: H_n=\frac{\left(m-\frac{n-1}{2}\right)\,n}{m-\frac{2\,n-1}{2}} wenn von 0 anfangend der Träger 2m Knotenpunkte aufweist und n der zu untersuchende Knotenpunkt, vom Auflager aus gezählt ist. Die Beziehung scheint verwickelt, aber die folgende Ausrechnung zeigt eine Gesetzmässigkeit, die leicht sich einprägt, so dass aus dem Kopf die Reihe angeschrieben werden kann. Man erhält nämlich für Textabbildung Bd. 321, S. 564 Sollte dieser Weg zu umständlich erscheinen oder zu Versehen Veranlassung geben können, so kann die obere resp. untere Gurtungskraft auch durch Zusammenzählung sämtlicher linksseitiger wagerechter Kraftunterschiede gefunden werden, indem die Zerlegung der unter den senkrechten Stäben aufgetragenen senkrechten Kräfte die einzelnen Unterschiede D1 = H1, D2 = H2 – H1, D3 = H3 – H2, D4= H4– H3, Dn = Hn – Hn – 1 ergibt, womit man D1 + D2 + D3 + D4 ... + D2 = H1 + H2 – H1 + H2 – H3 + H8 – H4 + Hn – Hn – 1 = Hn erhält. Nach dem gesagten genügt für die Untersuchung des gesamten Gitterträgers, d.h. zur Bestimmung der Stabkräfte, herrührend vom Eigengewicht, ferner für die herrührend von der Verkehrslast und schliesslich für die Bestimmung der in den Gegendiagonalen auftretenden Kräfte sowie zur Ermittlung der Felder, in denen Gegendiagonalen nötig sind, die Verzeichnung der Fig. 6, womit die ganze Aufgabe in allerkürzester Zeit gelöst ist. Dieselbe Methode lässt sich natürlich mit sinngemässen Aenderungen im einzelnen eben so für Parallelgitterträger mit anderer Anordnung der Stäbe anwenden und führt dort fast gleich schnell zum Ziel. Sie bietet aber auch die Grundlage für die Untersuchung von Parabelgitterträgern, wie im folgenden gezeigt werden soll. 2. Parabelgitterträger. Für den Parabelgitterträger, oder allgemeiner für jeden Gitterträger, bei dem die untere Gurtung nicht geradlinig ist. sondern einen Polygonzug darstellt, gelten dieselben allgemeinen Beziehungen, die schon eingangs erläutert sind. Ein Blick auf Fig. 7 zeigt jedoch, dass in diesem Fall bei dem eingezeichneten Ritter sehen Schnitt nicht mehr die senkrechte Kraft Vn allein dem Auflagerdruck A das Gleichgewicht zu halten hat, sondern, dass A, Vn und die Vertikalkomponente V'n der Kraft Un in der unteren Gurtung im Gleichgewicht sind. Da Vn und V'n gleichgerichtet sind, ist Vn kleiner als A und gleich A – V'n, Damit entsteht zunächst die Frage, ob dieser Unterschied auch dann seinen Höchstwert haben wird, wenn das Vorderrad der Laufkatze über Stabmitte steht., wie Laststellung I (Fig. 7) veranschaulicht. Es werde für diese Untersuchung die Katze in Stellung II zurückgeschoben. Damit wird A kleiner, und gleichzeitig in demselben Verhältnis das Biegungsmoment in dem untersuchten Querschnitt. Das hat zur Folge, dass auch die Kräfte Un und On um eben so viel kleiner werden, da sie dem biegenden Moment nach dem früheren das Gleichgewicht halten. Somit wird V'n ebenfalls im selben Verhältnis wie A kleiner, also auch der Unterschied A – V'n. Daraus ergibt sich, dass auch für den Träger mit gekrümmter unterer Gurtung die Kräfte On, Un, Vn und damit Dn ein Höchstwert werden, wenn das Vorderrad der Laufkatze über der Mitte von Un steht. Die grössten Biegungsmomente können wie früher gefunden werden. Hinzu kommt die Beachtung, dass die Trägerhöhe abnimmt, es ist deshalb entsprechend dieser Abnahme der Polabstand im Kräfteplan stetig zu verringern. In dem unteren Knotenpunkt muss UnU'nVn und Dn im Gleichgewicht sein. Um Un und U'n zu finden, ist zu bedenken, dass erstens die Horizontalkomponente von Un gleich On sein muss (Summe der senkrechten Kräfte gleich Null). Es kann also, nachdem On wie früher gefunden ist, Un durch Zerlegung von On gefunden werden, wie in Fig. 8a durchgeführt. Ferner muss auf gleiche Art wie früher Un – U'n eine Horizontalkömponente On – On – 1 ergeben. Sie ist wie früher zu finden, indem man das Moment im Querschnitt Vn – 1 bestimmt und aus ihm die Kraft O'n – 1 resp. die Horizontalkomponente von U'n – 1. Da im Querschnitt Vn – 1 jedoch die Trägerhöhe eine andere als im Querschnitt Vn ist, so gewinnt man On – 1 nicht in dem Stück, das der Strahl AB, parallel D2E2 durch den O ermittelt ist, auf der Senkrechten unter Vn – 1 abschneidet, sondern es ist dazu nötig, den Strahl AC gleichlaufend D2E3 im Kräfteplan Fig. 8b entsprechend dem Polabstand E3F gleich der Länge des Stabes Vn – 1 zu ziehen. Es ergibt sich daraus für die Verzeichnung des Kräfteplans die Notwendigkeit, von jedem der Punkte D zwei Polstrahlen nach zwei Punkten E zu ziehen und umgekehrt, wie rechtsseitig im vollen Umfang durchgeführt. Mit Hilfe der obigen Bedingung, dass der Unterschied von Un und Un – 1 eine Horizontalkomponente On – On – 1 ergeben muss, lässt sich nach der Konstruktion von Un auch U'n – 1 finden, wie in Fig. 8a linksseitig ausgeführt und beide Kräfte werden schliesslich nach Vn und D2 zerlegt. Diese Bestimmung der Stabkräfte ist links für alle Stäbe durchgeführt. Man kann aber auch, ähnlich wie beim Parallelgitterträger zuletzt gezeigt wurde, verfahren. Man trägt senkrecht unter jedem senkrechten Stab denjenigen linksseitigen Auflagerdruck auf, der der Laststellung: „Vorderrad der Laufkatze über diesem Stab“ entspricht. Diese Auflagerdrücke sind wie im vorigen Fall schnell zeichnerisch zu bestimmen, indem man die Mitte der Katze über Mitte des Trägers und Ende des Trägers stellt und senkrecht unter dem Vorderrad die halbe resp. ganze Verkehrslast aufträgt usw. (Sind die beiden Raddrücke nicht gleich, so tritt an Stelle der Laufkatzenmitte der Punkt durch den die Resultierende aus der beiden Raddrücke hindurchgeht.) Für einen bestimmten Balkenquerschnitt ist dann die Stabkraft in der oberen Gurtung resp. die Horizontalprojektion der Stabkraft in der entsprechenden unteren Gurtung jedenfalls ebenso gross wie in einem Parallelgitterträger, dessen Höhe gleich der Höhe des untersuchten Trägerquerschnitts ist. Diese Kräfte können also wie zuvor gefunden werden, indem man die gezeichnete senkrechte Kraft nach der wagerechten und Diagonalrichtung zerlegt und die wagerechte Kraft mit der Zahl der linksliegenden Felder multipliziert. Man erhält dann 1. die Stabkraft in dem oberen Gurtungsstab, 2. die Horizontalprojektion der Stabkraft in dem entsprechenden Stab der unteren Gurtung. Aus dieser Projektion ist letztere Stabkraft dann ohne weiteres durch Zerlegung nach der Senkrechten und nach der Richtung des Stabs der unteren Gurtung bestimmbar. Auf dem gezeichneten Auflagerdruck, von dem aus die Untersuchung ausging, wird dann ein Stück abgeschnitten und zwar dasjenige Stück, das nach früherem den Anteil der schrägen, unteren Gurtungskraft darstellt, der im Verein mit der senkrechten Stabkraft dem zur Laststellung gehörigeu Auflagerdruck das Gleichgewicht hält. Der übrigbleibende Teil dieses Auflagerdrucks stellt damit die senkrechte Kraft selbst dar. Soll der so begonnene Kräfteplan des unteren Knotenpunkts K (Fig. 8 und 8a) geschlossen werden, so sind noch die Stabrichtungen U'2 und D3 (Fig. 8) anzutragen und man erhält die Stabkraft in der Diagonalen D3 und die in dem zweiten Stab U2 der unteren Gurtung, der in diesem Knotenpunkt angreift. Diese Kraft U'2 interessiert nicht, weil sie keine grösste Stabkraft ist, wohl aber die Diagonalkraft D3. So können auch für den Parabelgitterträger die grössten Stabkräfte, hervorgerufen durch die Verkehrslast leicht, schnell und ohne Verzeichnung der Momentenlinie aufgefunden werden. Textabbildung Bd. 321, S. 565 Fig. 8. Textabbildung Bd. 321, S. 565 Fig. 8a. Textabbildung Bd. 321, S. 565 Fig. 8b. In gleicher Weise kann für das Eigengewicht verfahren werden unter Berücksichtigung des früher gesagten. Man trägt mit Vorteil für die Eigengewichtsbelastung die wagerechten Kräfte unten an den senkrechten Kräften an und erhält so zusammenhängend die senkrechten Stabkräfte von Eigengewicht und Verkehrslast herrührend, ebenso die Diagonalkräfte, während die Gurtungskräfte zusammengezählt werden müssen. Um zu untersuchen, bis zu welchem Feld Gegendiagonalen zu ziehen sind, geht man in gleicher Weise wie früher vor. Die Vertikalkomponente des unteren Gurtungsstabes, in dem beim Verschieben der Katze ein Kraftrichtungswechsel nicht auftritt, ist durch Zerlegen der Vertikalkraft V (Fig. 8) wie zuvor zu bestimmen, nur dass der Unterschied der wagerechten Kräfte mit der Anzahl der rechtsseitigen Felder zu multiplizieren und zu der im senkrechten Stab auftretenden Zugkraft zu zählen ist. Man findet so im Knotenpunkt 2 den Punkt, in dem die senkrechten Kräfte gleich Null werden und damit dasjenige Feld bis zu dem Gegendiagonalen zu ziehen sind. Diese letzte Zerlegung ist unterhalb Fig. 8 vorgenommen, um ein übersichtliches Bild zu erhalten. Damit ist auch die Untersuchung des Parabelgitterträgers erledigt. Der Konstruktionsgang ist natürlich umständlicher wie für den Parallelgitterträger, aber trotzdem so einfach und leicht verständlich, sowie übersichtlich, dass er tatsächlich in wenigen Minuten durchgeführt ist, weshalb dieser Untersuchungsmethode gegenüber der allgemeineren der Vorzug gebührt.