Der Spannungszustand einfach geschlungener Drahtseile. Von Dipl.-Ing. Friedrich Berg, Ueberbau bei Darmstadt. (Schluß von S. 292 d. Bd.) Der Spannungszustand einfach geschlungener Drahtseile. A. Gleichgewichtsbedingungen für die an einem Drahtelement wirkendeninnerenKräfte und Kräftepaare. a) Die drei Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte am Drahtelement. Das Gleichgewichtssystem der inneren Kräfte an ds (abgesehen von den Kräftepaaren) besteht aus: den Normalkräften K, den Schubkräften S und T und den Pressungen pds. Als Bezugsachsen für die Aufstellung der Kräftegleichungen wähle man ein Achsenkreuz mit dem Schwerpunkt C des Drahtelementes als Ursprung. Die Achsenrichtungen seien ebenfalls durch Tangente, Normale und Binormale der Schraubenlinie in C gegeben. Die Projektion sämtlicher Kräfte des Schraubenelementes in Richtung der Normalen auf die rektifizierende Ebene im Punkte C (s. Fig. 6) ergibt die Gleichgewichtsbedingungen: 1. in Richtung der Tangente; K = K. . . . . . . 1) 2. in Richtung der Binormalen; S = S. . . . . . . 2) Die Pressungen pds liefern in beiden Richtungen keine Beiträge. Zur Ermittlung der Gleichgewichtsbedingung 3. in Richtung der Hauptnormale werden zunächst die Kräfte K, p. ds und T in Richtung der Binormalen auf die Schmiegungsebene des Punktes C projiziert (s. Fig. 7) und dann ihre Komponenten in radialer Richtung zu – K . dτ und + p . ds ermittelt; T liefert keine Beiträge. Textabbildung Bd. 322, S. 308 Fig. 6. Textabbildung Bd. 322, S. 308 Fig. 7. Dann werden die Kräfte S zweckmäßig zunächst in Richtung der Tangente auf die Normalebene des Punktes C (s. Fig. 8) projiziert und dann die radiale Komponente zu + S . dϑ bestimmt. Textabbildung Bd. 322, S. 308 Fig. 8. Die Gleichgewichtsbedingung in Richtung der Hauptnormale lautet daher: p . ds – K . dτ + S . dϑ = 0. Mit Rücksicht auf die Beziehungen: \frac{d\,\tau}{ds}=\frac{1}{\rho_1} und \frac{d\,\vartheta}{ds}=\frac{1}{\rho_2} geht die letzte Kräftegleichung über in \frac{p\cdot r}{\mbox{sin}\,w}=K\cdot \mbox{sin}\,w-S\,\mbox{cos}\,w . . 3) b) Die drei Gleichgewichtsbedingungen für die Kräftepaare am Drahtelement. Zur Vereinfachung der Darstellung werden für die Kräftepaare (der Ursprung liegt wieder in C) drei andere Achsenrichtungen gewählt, und zwar soll die erste gegeben sein durch eine durch den Schwerpunkt C gelegte wagerechte Gerade der rektifizierenden Ebene, die zweite durch eine Parallele zur Seilachse, die dritte durch den Radius in C. 4. Zur Untersuchung des Kräftepaargleichgewichts bezüglich der ersten Achse setze man zunächst die beiden Mτ zusammen. Sie liefern ein resultierendes Kräftepaar in der negativen Richtung des Radius (vergl. die Zusammensetzung der Kräfte K unter 3), also keinen Beitrag für die erste Achse. Dasselbe gilt für die beiden Mβ. Dagegen liefern die beiden wagerechten Mγ ein resultierendes Kräftepaar Mγ . dφ gerade in Richtung der ersten Achse (Fig. 9). Sucht man die durch die Einzelkräfte T bedingten Kräftepaare auf, so findet man bezügl. der wagerechten Achse für T das Kräftepaar T . ds . cos w; die K, S und pds ergeben den Wert Null. Man hat also als Gleichgewichtsbedingung: Mγ . dφ – T . ds . cos w = 0. . . . 4) 5. An Hand der Fig. 10 werde die Kräftepaargleichung für die Richtung der Seilachse ermittelt. Die Figur stellt eine Projektion sämtlicher Einzelkräfte in eine wagerechte Ebene dar. Als Bezugsachse selbst ist eine durch den Schnittpunkt D der Kräfte KK gehende Parallele zur Zylinderachse gewählt. Man erkennt, daß von den Einzelkräften nur die T ein Kräftepaar- und zwar, wenn dt den bezügl. Hebelarm bedeutet – den Beitrag 2 . T . dt liefern. Dagegen geben bezügl. D die Kräfte K', S' und pds den Wert Null. Ebenso liefern die sechs Kräftepaare der Mτ, Mβ und Mγ keine Komponente in Richtung der Seilachse. Man hat also die Gleichgewichtsbedingung: 2 T . dt = 0, oder T = 0. . . . . . . 5) Das heißt: In Richtung des Radius tritt im Drahtquerschnitt keine Schubkraft auf, oder die am Drahtquerschnitt wirkende innere Kraft R (s. Fig. 2) liegt in der rektifizierenden Ebene. Mit T = 0 folgt aus Gleichung 4 sofort auch Mγ . dφ = 0 oder Mγ = 0. In Richtung der Hauptnormalen tritt somit auch keine Kräftepaarkomponente auf, so daß der Satz gilt: Die Achse des resultierenden Kräftepaares (s. Fig. 2) im Draht steht senkrecht auf der Hauptnormalen, liegt daher ebenfalls in der rektifizierenden Ebene. Textabbildung Bd. 322, S. 308 Fig. 9. Textabbildung Bd. 322, S. 308 Fig. 10. Textabbildung Bd. 322, S. 308 Fig. 11. 6. Aufstellung der Kräftepaargleichung für den Radius des Punktes C. In Fig. 11 ist das Drahtelement mit den an ihm wirkenden Kräften K, S, p . ds und Kräftepaaren Mτ, Mβ perspektivisch dargestellt. Die Kräftepaare Mτ lassen sich zu einer Strecke Mτ . dτ zusammensetzen, die in die negative radiale Richtung fällt. Die Vereinigung der Kräftepaare Mβ liefert für die positive, radiale Richtung Mβ . dϑ. Die Schubkräfte S liefern in bezug auf den Radius ein Moment S . ds, dessen Strecke in die negative radiale Richtung fällt. Das Kräftepaar der Pressungen wird unendlich klein zweiter Ordnung, kommt also gegenüber denen erster Ordnung nicht in Betracht. Man erhält also – S . ds – Mτ . dτ + Mβ . dϑ = 0. Unter Beachtung der oben aufgeführten Beziehungen zwischen dτ, ds, p1 und dϑ, ds, p2 geht die Gleichung über in: -\frac{S\cdot r}{\mbox{sin}\,w}-M_{\tau}\cdot \mbox{sin}\,w+M\,\beta\cdot \mbox{cos}\,w=0 . 6) B. Gleichgewichtsbedingungen für die an einem Seilendstück wirkenden äusseren und inneren Kräfte und Kräftepaare. 7. Das Gleichgewicht zwischen sämtlichen, in Fig. 12 wiedergegebenen, inneren und äußeren Kräften zweier radial einander gegenüberliegenden Drahtendstücke liefert in lotrechter Richtung: 2 Q = 2 (K cos w + S sin w) oder Q = K cos w + S sin w. . . . . 7) Die Pressungen p heben sich gegenseitig auf. Weitere Kräftegleichungen lassen sich für Fig. 12, in die die Kräftepaare nicht eingezeichnet sind, nicht aufstellen. 8. Die Gleichgewichtsbedingung der Kräftepaare für die lotrechte Richtung soll entsprechend aus Fig. 13 abgeleitet werden, in der das gesamte innere Kraftsystem mit Ausnahme von p in den bezüglichen rektifizierenden Ebenen liegend zu denken ist. Die lotrechten Kräfte sind weggelassen, da sie bei dieser Gleichgewichtsbedingung ohne Einfluß sind. Textabbildung Bd. 322, S. 309 Fig. 12. Textabbildung Bd. 322, S. 309 Fig. 13. Man erhält so die Gleichung: 2 Md + 2 (– Mτ cos w – Mβ sin w + Kr sin w – Sr cos w) = 0 oder Md = Mτ cos w + Mβ sin w – Kr sin w + Sr cos w. . . 8) Weitere Kräftepaargleichungen lassen sich aus Fig. 13 nicht aufstellen. Ueberhaupt gelingt es nicht, mittels der Lehren der Statik weitere voneinander unabhängige Beziehungen anzugeben. Da von den gewonnenen acht Gleichungen zwei nichts aussagen und die Gleichungen 4 und 5 Mγ = 0 und T = 0 liefern, verbleiben bei gegebenem Q und Md vier Gleichungen mit den fünf Unbekannten: p, K, S, Mτ, Mβ. Das Problem der Spannungsermittlung unseres Spiraldrahtseiles mit Hanfeinlage ist daher einfach statisch unbestimmt; die Losung ist mit Hilfe der Statik allein nicht möglich. Erst durch Einbeziehung der Formänderung der Drähte in die Rechnung können weitere Gleichungen gewonnen werden. Textabbildung Bd. 322, S. 309 Fig. 14. Textabbildung Bd. 322, S. 309 Fig. 15. Der Uebersichtlichkeit wegen sollen einstweilen die Pressungen p als bekannt angesehen werden. Alsdann lassen sich die noch verbleibenden vier Unbekannten K, S, Mτ, Mβ. aus den Gleichungen 3, 6, 7 und 8 berechnen, die im Folgenden in anderer Ordnung und in anderer Reihenfolge wiederholt sind: K cos w + S sin w = Q. . . . 7) K\,\mbox{sin}\,w-S\,\mbox{cos}\,w=\frac{p\,r}{\mbox{sin}\,w}. . . . 3) \cdot \frac{S\cdot r}{\mbox{sin}\,w}+M_\tau\,\mbox{sin}\,w-M\,\beta\,\mbox{cos}\,w=0. . . . . 6) – Kr sin w + Sr cos w + Mτ cos w + Mβ sin w = Md 8) Man erhält aus ihnen die vier Gleichungen: K = Q cos w + pr. . . . . . . . . . . 9) S = Q sin w – pr ctg w. . . . . . . . . 10) Mβ= Q . r . cos w + Md sin w – pr2 (ctg 2w – 1). 11) Mτ= – Qr sin w + Md cos w + 2 pr2 ctg w. . . 12) Textabbildung Bd. 322, S. 309 Fig. 16. Textabbildung Bd. 322, S. 309 Fig. 17. Die Gleichungen 7, 6, 3, 8 gestatten eine einfache, geometrische Darstellung. So lassen sich aus der Fig. 14, die das Krafteck zu Fig. 12 darstellt, ohne weiteres die Gleichungen 7 und 3 ablesen. Gleichung 6 findet ihren geometrischen Ausdruck in Fig. 15, und Gleichung 8 folgt ohne weiteres aus Fig. 16. Auch läßt sich das Kräftepaarpolygon zu Gleichung 8 leicht aufstellen und ist in Fig. 17 angegeben. In der Fig. 17 ist K' gesetzt für K sin w und S' für S cos w. VII. Der Innere Spannungszustand eines unbelasteten Spiraldrahtseiles. Bei Herstellung des Seiles auf der Flechtmaschine wird man im allgemeinen einen möglichst spannungslosen Zustand der Drähte anstreben, insbesondere werden nennenswerte Torsionsspannungen durch die im Abschnitt III besprochenen Relativbewegungen der Spulen vermieden werden. Trotzdem wird es bei den scharfen Umbiegungen der Drähte in der Maschine nicht möglich sein, das Seil spannungslos zu gestalten. Wir sind nun auf Grund der Ergebnisse des Abschnittes VI in der Lage, über den I inneren Spannungszustand eines unbelasteten Spiraldrahtseiles Aussagen zu machen. Denn setzt man in den Gleichungen 9–12 Q = 0 und Md = 0 so erhält man: K0= p0 . r S0= – p0 . r . ctg w Mβ0= – p0r2 . (ctg 2w – 1) Mτ0 = 2 p0 . r2 . ctg w. Der Richtung nach sind die durch die vorstehenden Gleichungen angegebenen Kräfte und Kräftepaare in den Fig. 18–21 an einem Drahtelement dargestellt. Die K0 und Mτ0 fallen in Uebereinstimmung mit den früheren Vereinbarungen über die Kräftezerlegung in die positiven Richtungen; die S0 und Mβ0 dagegen in die negativen. Textabbildung Bd. 322, S. 310 Fig. 18. Textabbildung Bd. 322, S. 310 Fig. 19. Textabbildung Bd. 322, S. 310 Fig. 20. Textabbildung Bd. 322, S. 310 Fig. 21. Wenn die Kräfte K0 und S0 und die Kräftepaare Mβ0 und Mτ0 ersetzt werden bezw. durch die entsprechenden Spannungen σ0z, τ0s, σ0b und τ0d, so gehen die Gleichungen über in: \sigma_{0^2}=\frac{r\cdot p_o}{\Omega} \tau_{0^s}=-\mbox{ctg}\,w\cdot \frac{r\cdot p_0}{\Omega} \sigma_{0^b}=-8\,(ctg^2w-1)\,\frac{r}{\delta}\cdot \frac{r\cdot p_0}{\Omega} \tau_{0^d}=8\,\mbox{ctg}\,w\,\frac{r}{\delta}\cdot \frac{r\cdot p_0}{\Delta}, wobei \Omega=\frac{\delta^2\,\pi}{4} den Drahtquerschnitt bedeutet. Aus den vorstehenden Gleichungen erkennt man, daß bei einem unbelasteten Drahtspiralseil die Biegungsspannung am Rande bei weitem größer ist als alle anderen Spannungen. Während σ0z von dem Flechtwinkel w unabhängig ist, sind alle anderen Spannungen, und insbesondere σ0b, in hohem Maße vom Flechtwinkel abhängig. Daneben sind die Biegungs- und Torsionsspannungen auch noch vom Durchmesserverhältnis \frac{r}{\delta} abhängig. Spiraldrahtseile mit dicken Drähten, die nahe an die Seilachse herangerückt sind, werden also unter sonst gleichen Verhältnissen geringere anfängliche σ0b und τ0d aufweisen, wie Seile mit dünnen Drähten, die weit von der Seilachse entfernt angeordnet sind, d.h. wie dicke Seile mit vielen dünnen Drähten. Für die drei Flechtwinkel w = 24°, 14° und 6° (obere, mittlere und untere Grenze des Flechtwinkels) wachsen die Spannungen σ0b im Verhältnis von: ctg2 24 – 1 : ctg2 14 – 1 : ctg2 6 – 1 = ∾ 4 : 15 : 89. Die Schub- und Torsionsspannungen wachsen im Verhältnis von 2,2 : 4,0 : 9,5 für die vorgenannten Flechtwinkel. σ0z dagegen behält bei gleichem p0 und r für alle drei Werte von w denselben Wert bei. Textabbildung Bd. 322, S. 310 Fig. 22. Textabbildung Bd. 322, S. 310 Fig. 23. Textabbildung Bd. 322, S. 310 Fig. 24. Auch die Verteilung der anfänglichen Spannungen im unbelasteten Spiralseil über den Drahtquerschnitt kann mit Hilfe der obigen Gleichungen leicht dargestellt werden. Da p0 nur positiv sein kann, so ist auch σ0z stets positiv und fällt in die Richtung der positiven Tangente. σ0b ist negativ, es sind deshalb die der Seilachse am nächsten liegenden Fasern des Drahtes gedrückt und die außen liegenden gezogen. Trägt man die σ0z und die σ0b in einem von der Normalen (N) und der Tangente (T) gebildeten Achsenkreuz als Ordinaten auf, so erhält man die in den Fig. 22 und 23 dargestellten Diagramme. Die Seilachse ist dabei links vom Ursprung liegend zu denken. Durch die Addition beider Spannungen ergibt sich die Fig. 24, aus der unmittelbar ersichtlich ist, daß im unbelasteten Drahtspiralseil die am stärksten gezogenen Fasern am weitesten von der Seilachse abliegen. Allerdings ist zu beachten, daß die absoluten Werte von σ0z und σ0b, besonders bei kleinem Flechtwinkel, außerordentlich verschieden sind, so z.B. ist bei w = 6°: \sigma_{0^b}=89\cdot 8\cdot \frac{r}{\delta}\cdot \sigma_{0^z} so daß für solche Flechtwinkel der Unterschied in den Normalspannungen des äußerlich unbelasteten Seiles praktisch vollständig bedeutungslos ist. Textabbildung Bd. 322, S. 311 Fig. 25. Textabbildung Bd. 322, S. 311 Fig. 26. Die Schub- und Drehspannungen sind in den Fig. 25 und 26 aufgetragen, das Achsenkreuz ist hier durch Normale und Binormale gebildet und die Seilachse ist wieder links vom Ursprung liegend zu denken. Aus der Uebereinanderlagerung beider Spannungen ergibt sich ohne weiteres, daß die der Seilachse am nächsten liegenden Fasern am stärksten beansprucht sind. Es ist, absolut genommen, \tau_{0^d}=8\cdot \frac{r}{\delta}\cdot \tau_{0^s} d.h. Schub- und Drehspannungen kommen sich ihrer Größe nach bedeutend näher wie die Zug- und Biegungsspannungen. Wenn p0 = 0 wird, so verschwinden sämtliche innere Kräfte und Kräftepaare, das Seil ist in diesem Falle völlig spannungslos. VIII. Zusammenfassung der Ergebnisse der Arbeit 1. Der Elastizitätsmodul eines Spiralseiles ist eine veränderliche Größe und abhängig von der in der Seilachse wirkenden Last \frakfamily{Q} und von dem Kräftepaar \frakfamily{M}, dessen Achsstrecke ebenfalls in die Seilachse fällt. 2. Da bei kurzen Seilen die Voraussetzung 3 nicht erfüllt ist, so wird der Elastizitätsmodul im allgemeinen auch noch eine Funktion der Länge des Seiles sein. 3. Die radial auf den Draht wirkende Pressung p kann durch alleinige Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen nicht ermittelt werden, so daß der Spannungs- und Formänderungszustand des Spiraldrahtseiles unter Vernachlässigung der Reibung einfach statisch unbestimmt ist. Die Kenntnis der elastischen Konstanten des Drahtmaterials allein reicht aber nicht hin, um das Problem zu lösen, da die Hanfeinlage von wesentlichem Einfluß auf die gegenseitigen Pressungen p sein wird. 4. Die Drähte eines Spiraldrahtseiles werden unter Einfluß der Belastung „\frakfamily{Q} und \frakfamily{M}“ im allgemeinen aufnehmen: a) Normalspannungen, b) Schubspannungen, c) Biegungsspannungen und d) Drehungsspannungen. Diese vier Spannungen sind aus den Gleichungen 9–12 des Abschnittes VI zu ermitteln. Die statisch unbestimmte Größe p ist aus den Formänderungen zu bestimmen. Die Anstellung praktischer Versuche würde die Auswertung dieser Rechnung über die Formänderungen insofern wesentlich unterstützen können, als es damit gelingt, gewisse Größen, wie die Gesamtlängung Δh des betreffenden Seiles, die Gesamtdrillung Δφ (vergl. Abschnitt V) und die Querkontraktion desselben durch unmittelbare Beobachtungen am Seile als bekannt in die Rechnung einzuführen. 5. Im Querschnitt eines Drahtes können Spannungen auftreten, auch wenn die Belastung Null ist. Diese Spannungen rühren von der Fabrikationsweise des Seiles her. Ihnen proportional ist ein Anfangsdruck p0, entsprechend den Gleichungen des Abschnittes VII.