Die Berechnung der Preßluftpumpen. Von Ingenieur L. Darapsky in Hamburg. (Schluß von S. 585 d. Bd.) DARAPSKY: Die Berechnung der Preßluftpumpen. Um die Frage nicht unnötig zu verwirren, sieht man am besten von den Mitteln zur Kompression und den wechselnden, immer aber unvermeidlichen Verlusten ab, die mit der Preßluftpumpe selbst nichts zu tun haben. Die nötige, gespannte Luft ist eben am Fußstück, d. i. an ihrer Eintrittsstelle in das Wasser zu liefern. Es bleibt nur festzustellen, welche Arbeit, abgesehen von der Unvollkommenheit der verwandten Apparate, aufgebracht werden muß, um hier je 1 cbm Luft von atmosphärischer Spannung auf so viel Atmosphären zu verdichten, als der jeweiligen Tauchtiefe entsprechen. Bezeichnet bei adiabatischer Verdichtung k das Verhältnis zwischen spezifischer Wärme bei konstantem Druck und spezifischer Wärme bei konstantem Volumen (für Luft = 1,4), pe wie seither den absoluten Druck der Tauchtiefe, pa den der Atmosphäre, der für unveränderlich gelten mag, so ergibt sich die GesamtarbeitNach P. Ostertag, Theorie und Konstruktion der Kolben- und Turbo-Kompressoren. S. 35. in mkg für die Kompression von 1 cbm Luft zu p_1=\frac{k}{k-1}\,p_a\,\left[\left(\frac{p_e}{p_a}\right)^{\frac{k-1}{k}}-1\right]      =35\,\left[\left(\frac{p_e}{10}\right)^{0,286}-1\right]. Durch Multiplikation mit μ erhält man für die Tauchtiefe pe in μp1 die zur Hebung einer gegebenen Wassermenge auf ein gegebenes Niveau erforderliche Arbeit. Je nachdem diese Arbeit größer oder kleiner ausfällt, läßt sich der wahre Nutzen erkennen und die bestgeeignete Tiefe wählen. In den früheren sieben ZahlentafelnZeitschr. d. Ver. d. Ing. 1906. finden sich keine passenden Beispiele, an denen sich diese Rechnung direkt erproben ließe. Wollte man in Ermangelung anderer Ausweise etwa die Reihen 49 bis 52 und 63 bis 65 miteinander vergleichen, in denen beiden die Förderhöhe nahezu 8 m beträgt und aus der graphischen Darstellung die Luftmengen entnehmen, die je 100, 120 und 140 l/Min. Wasser entsprechen, so ergäbe sich die Tab. 9. Tabelle 9. Nr. Rohrdurchmesserdm TauchtiefeEm FörderhöheFm WassermengeQl/Min. LuftmengeAl/Min. μ Arbeit pim/kg μpim/kg 49–52 0,051 13 8,2 100 160 1,6 9,4 15,1 0,051 13 8,2 120 190 1,58 9,4 13,9 0,051 13 8,2 140 240 1,72 9,4 16,2 63–65 0,076 17,5 8,3 100 300 3 11,7 35,2 0,076 17,5 8,3 120 330 2,75 11,7 32,2 0,076 17,5 8,3 140 340 2,43 11,7 28,4 Man erhielte so einen doppelt so großen Arbeitsverbrauch für eine nur auf das anderthalbfache erhöhte Tauchtiefe. Ja, es braucht, um dieses zu sehen, nicht einmal die Zuhilfenahme der Verdichtungsarbeit. Die μ sind an und für sich schon größer in der zweiten Gruppe als in der ersten. Die Steigerohre weichen aber (ganz wie in Josses Beispiel) an Querschnitt zu sehr voneinander ab, um eine solche Folgerung zu rechtfertigen. Beschränkt man das Bild auf die 0,051 m Rohre und berechnet mangels direkter Angaben nach der Näherungsformel die Luftmengen für 17,5 m Tauchtiefe, so erhält man Tabelle 10. Rohr-durchm.dm Tauch-tiefeEm Steig-höheFm Wasser-mengeQl/Min. Luft-mengeAl/Min. μ Arbeit pim/kg μpim/kg 0,051 17,5 8,3 100 130 1,3 11,7 15,2 – – – 120 142 1,28 – 14,9 – – – 140 183 1,31 – 15,3 Der Unterschied zu Gunsten der größeren Tauchtiefe ist bei 140 l/Min. Wasser bereits recht merklich und verstärkt sich mit der Wasserlieferung immer mehr. Um dem Zweifel zu begegnen, ob eine solche Annäherung in diesem Fall überhaupt Anspruch auf Zuverlässigkeit machen kann, sollen lieber direkte Versuche entscheiden. Die von Ross. E. Browne 1890 in San Francisco nach Pohlés System veranstalteten liefern, wie weiter oben gezeigt wurde, zwar etwas geringere Werte als bei Einführung der Preßluft am Rande des Rohres. Das berührt aber die Wirkung der Tiefe offenbar nur proportional. Die erhaltenen Zahlen erscheinen gerade weil unter anderen Verhältnissen gewonnen, um so unverfänglicher. Gruppe II arbeitete mit 16,2 m Tauchtiefe und 10,7 m Förderhöhe, Gruppe IV und IX mit 7,8 m Tauchtiefe und 8,2 m bzw. 19,0 m Förderhöhe. Aus den beiden letzteren lassen sich graphisch die Werte für 10,7 m Förderhöhe aussondern und darauf folgende Zusammenstellung begründen: Tabelle 11. Gruppe Tauch-tiefeEm Steig-höheFm Wasser-mengeQl/Min. Luft-mengeAl/Min. μ Arbeit pim/kg μpim/kg II 16,2 10,7 0,25 0,54 2,16 11,1 24 – – 0,30 0,61 2,03 – 22,4 – – 0,33 0,67 2,03 – 22,6 IV, IX 7,8 10,7 0,25 1,04 4,17 6,6 27,5 – – 0,30 1,34 4,47 – 29,5 – – 0,33 1,67 5,07 – 33,5 Der Vorzug der größeren Tauchtiefe ist hier augenfällig; er wächst auch offenbar mit der Wassermenge. Einen deutlicheren Einblick in diese Verschiebung verschafft die Beobachtung am Glasmodell, dank seiner Handlichkeit und Beweglichkeit. Mit Beschränkung auf das 20 mm weite Rohr seien folgende Gegenüberstellungen herausgegriffen: Tabelle 12. Rohr-durchm.dm Tauch-tiefeEm Steig-höheFm Wasser-mengeQl/Min. Luft-mengeAl/Min. μ Arbeit pim/kg μpim/kg 0,020 0,67 0,67    0,5     5,7 11,4 0,665 7,6 0,020 0,67 0,67    1,0    6,7   6,7 0,665   4,47 0,020 0,33 0,67    0,5     6,35 12,7 0,315 4,0 0,020 0,33 0,67    1,0 16,3 16,3 0,315   5,13 0,020 1,00 0,50 1   3,6   3,6 0,980   3,53 0,020 1,00 0,50 2   4,5    2,25 0,980   2,21 0,020 1,00 0,50 3   5,5    1,83 0,980   1,79 0,020 1,00 0,50 4   6,6    1,65 0,980   1,62 0,020 0,50 0,50 1   6,3   6,3 0,489   3,08 0,020 0,50 0,50 2   9,2   4,6 0,489   2,25 0,020 0,50 0,50 3 13,8   4,6 0,489   2,25 0,020 0,50 0,50 4 21,6   5,4 0,489   2,63 Hieraus läßt sich unschwer ein klares Bild der Arbeitsverteilung nach der Tauchtiefe gewinnen. Sie folgt, wie nicht anders zu erwarten, dem Gange von p. Das sagt so viel, als daß die Arbeit auf dessen absteigendem Ast stetig zurückgeht, auf dem ansteigenden ebenso sich mehrt. Dadurch kann es geschehen, daß je nach dem Teil der μ-Kurve, um den es sich handelt, für das gleiche Verhältnis \frac{E}{F}=\frac{0,33}{0,67}=\frac{0,50}{1,00} bei Q = 1 l/Min, das eine Mal der Arbeitsaufwand höher ausfällt gegenüber \frac{E}{F}=\frac{0,67}{0,67}=\frac{0,50}{0,50}, das andere Mal niedriger: 5,13 gegen 4,47 und 3,08 gegen 3,53. Bei Q = 0,5 l/Min, kehrt sich dieses Verhältnis für F = 0,67 um. Genau genommen, lassen sich solche Werte gar nicht miteinander in Vergleich stellen, da gleich große μ bei wechselnden Tauchtiefen durchaus nicht auf die gleichen v oder Wassermengen treffen. Im allgemeinen scheint bei dem Minimum von μ die Tauchtiefe ohne merklichen Einfluß auf die Arbeitsleistung zu sein. Für geringere Beanspruchungen wirkt Steigerung der Tauchtiefe schädlich, für größere, und das sind die praktisch verwendbaren, bringt sie Nutzen. Damit ist Josses Bemerkung auf ein zutreffendes Maß zurückgeführt. Er konnte nicht meinen, wenn auch die Unbestimmtheit des Ausdrucks irrezuführen geeignet scheint, je kleiner die Tauchtiefe schlechtweg, um so ökonomischer, wie Karbes Ausführungen es darstellen. Denn er beschränkt ausdrücklich das mutmaßlich beste Güteverhältnis \frac{E}{F} auf 1 : 1 bis 3 : 2Zeitschr. d. Ver. d. Ing. 1898, S. 986.. Sonst müßten Drücke von Bruchteilen von Metern Wassersäule das beste Resultat ergeben und die Preßluftpumpen in Teichen und flachen Gerinnen sich einzig bewähren. Dem widerspricht die gemeine Erfahrung und der Mißerfolg von Staretts DispositionVergl. Engineer. News 1894, S. 476., der durch einen großen Luftüberschuß auch bei minimaler Eintauchung des Rohres große Steighöhen zu gewinnen hoffte. Für geringe Wassergeschwindigkeiten (entsprechend dem absteigenden Ast für μ) kann aber die Preßluftpumpe überhaupt nicht mit Ventilpumpen in Wettbewerb treten. Ihr Feld beginnt erst da, wo μ sein Minimum hinter sich hat und braucht große Geschwindigkeiten und damit die Bewältigung von Wassermassen nicht zu scheuen, die aus engen Brunnen auf keine andere Weise zu heben sind. Eine Vermehrung der Tauchtiefe steigert alsdann das Güteverhältnis, und das früher bereits hierfür aufgestellte SchaubildDie Wirkungsweise usw. Abb. 10. tritt in sein Recht. Als Beispiel der Berechnung mögen die bereits mehrfach erwähnten amerikanischen Versuche von Ross E. Browne dienen. Gegeben oder vielmehr verlangt sei eine gewisse Wassermenge bei bestimmter, aus den natürlichen Verhältnissen oder aus vorläufiger Annahme hervorgehender Rohrweite, Tauchtiefe, Förderhöhe. Als bekannt vorausgesetzt wird demnach die Wasserzutrittsgeschwindigkeit v, gesucht die dafür erforderliche Luftmenge A, bzw. deren Verhältnis zu Q, d. i. \frac{A}{Q}=\mu. Steht die Wahl der Rohrweite völlig frei, so ist über ihr Verhältnis zu μ das im Anschluß an Abb. 28 (S. 521) weiter oben Bemerkte zu beachten. Um μ nun aus der Formel [5] für ζ2 zu ermitteln, müßte man schon ein annähernd passendes einsetzen und versuchsweise durchrechnen, da μ sowohl im Zähler als pv, als im Nenner in binomischer Form vorkommt, was die arithmetische Behandlung erschwert. Der gewiesene Weg besteht darum darin, mit Hilfe der Beziehung [2] μ näherungsweise zu ermitteln und in [5] einzusetzen: Da nun bei dem ersten der amerikanischen Versuche der Tab. 6 (S. 549): Rohrlänge l = 11,1 + 4,7 = 15,8 m, Zutrittsgeschwindigkeit v = 2,28 m/Sek., Förderhöhe F = 4,7 m, Tauchdruck pe = 11,1 + 10 = 21,1 m, Atmosphärischer Luftaufwand v=\frac{21,1-10}{10\,ln\,\frac{21,1}{10}}=1,49 so wird in vm = ecv – 0,5: c=\frac{2,5\,.\,4,7}{15,8}=0,744 cv = 0,744 ∙ 2,28 = 1,7 vm =5,47 – 0,5 = 4,97. Unter Vernachlässigung von r (dem Rückfluß des von der Luft gehobenen Wassers im Rohr) erhält man dann aus Gleichung [3]: \mu=\left(\frac{4,97}{2,28}-1\right)\,1,49=1,78, A = 1,78 ∙ 0,60 = 1,068 cbm/Min. In dieser Weise ist die zweite Kolonne für A in Tab. 6 errechnet. Um das auf diese Weise gewonnene μ für C2 zu verwerten, ist zunächst mit seiner Hilfe die Gefällhöhe pv zu bestimmen. Der Druckverlust, um den es sich handelt, wird anschaulich dargestellt durch die Steighöhe, welche das Wasserluftgemisch zu erreichen imstande wäre, wenn nichts abflösse, gegenüber der durch die Rohrlänge gegebenen Steighöhe. Der Unterschied der beiden gibt das gewünschte h, in dem nach Gleichung [1] nur noch der allein wirksame Wasserdruck pv zu ermitteln bleibt. In dem angezogenen Beispiel nimmt die Luft, obwohl sie das 1,78-fache des Wassers oder der Eintauchtiefe von 11,1 m beträgt, in Wirklichkeit nur den um das durchschnittliche Druckverhältnis v verminderten Raum 11,1\,.\,\frac{1,78}{1,49}=13,25 ein. Zusammen mit dem Wasser also 13,25 + 11,1 = 24,35. Da die Rohrlänge nur 15,8 m beträgt, bleiben 24,35 = 15,8 = 10,2 m für h. Diese Druckhöhe erfordert nach Gleichung [1] an reinem Wasserdruck: 10,2=p-10+1,78\,.\,10\,.\,ln\,\frac{p}{10} p = 14,0 pv= p – pa = 4,0 m. Setzt man dieses pv in Gleichung [5] ein, so wird daraus, unter Berücksichtigung, daß r im 0,075 m weiten Rohr sich auf 0,32 m stellt (gemäß Abb. 2 S. 99): \zeta_2=\frac{19,6\,.\,4-2\,.\,2,28^2}{2,28^2\,\left(1-0,32+\frac{1,78}{1,49}\right)^2}\,.\,\frac{0,075}{15,8}=\frac{78,4-2\,.\,5,2}{5,2\,.\,1,88^2}\,.\,0,00475=0,0176. Vergleicht man diesen Wert für ζ2 mit dem aus Abb. 36 (S. 582) für das Tauchverhältnis v = 2,38 und v = 2,28 zu entnehmenden, so findet man eine namhafte Differenz. Der genauere Wert für ζ2 beträgt 0,0137, was umgekehrt auf μ = 2,15 führt. Natürlich entspricht einem andern p auch ein anderes pv, was für die Ausrechnung zu beachten ist. Um in ζ2 einen zuverlässigen Anhalt zu haben, müßte dieser Koeffizient sich auf mindestens vier Dezimalen genau ablesen lassen. Die vorliegenden Beobachtungen geben indessen höchstens drei Dezimalen an die Hand. Außerdem bemerkt man, daß mit zunehmendem v die ζ2-Linie immer flacher und damit immer unbestimmter verläuft, was ihre Verwendung angeht. Die Benutzung von ζ2 für große Geschwindigkeiten wird infolgedessen mit Tabelle 13. E F E/F v gefunden berechnet Q A v nach c nach ζ2 μ ζ 2 A μ ζ 2 A I 11,1 4,7 2,38 1,49 0,600 1,79 2,28 1,78 0,0175 1,07 2,15 0,0137 1,29 – – – – 0,541 0,92 2,05 1,66 0,0158 0,79 1,7 0,018 0,92 – – – – 0,435 0,92 1,71 1,17 0,0206 0,51 1,2 0,025 0,52 II 16,2 10,7 1,52 1,69 0,533 1,70 2,02 3,88 0,0093 2,07 4,1 0,010 2,18 – – – – 0,512 1,33 1,94 3,70 0,0107 1,88 3,9 0,010 2,00 – – – – 0,413 0,89 1,63 2,68 0,0176 1,11 2,9 0,017 1,19 – – – – 0,315 0,66 1,23 2,22 0,0319 0,72 2,2 0,031 0,72 III 9,6 6,2 1,54 1,43 0,512 1,79 1,94 2,74 0,0121 1,40 3,0 0,012 1,53 – – – – 0,407 0,87 1,54 2,06 0,0167 0,84 2,2 0,019 0,89 – – – – 0,355 0,70 1,35 1,58 0,0264 0,56 1,6 0,026 0,57 IV 7,7 8,0 0,96 1,35 0,390 1,80 1,48 4,80 0,0087 1,87 5 0,009 1,96 – – – – 0,349 1,29 1,32 3,73 0,0130 1,30 4 0,012 1,40 – – – – 0,212 0,72 0,81 2,55 0,0410 0,54 2,7 0,041 0,57 zunehmendem Tauchverhältnis immer mehr eingeschränkt, und verlohnt sich praktisch kaum unter 0,5, noch über 2 m/Sek. Auf die eben beschriebene Weise sind die vier ersten Gruppen der Tab. 6 umgerechnet und daraus Tab. 13 gebildet. Die mittels ζ2 gewonnenen Resultate nähern sich, wie man sieht, den beobachteten mehr, als die aus c hergeleiteten. Wenn sie numerisch gleichwohl hinter der Erfahrung anscheinend zurückbleiben, so ist darüber das im VII. Abschnitt über den Ausbau der Preßluftpumpen Gesagte zu vergleichen. – Damit mögen diese Betrachtungen schließen. Die Kombination mehrerer Anlagen zu übereinander geordneten Stufen, die Verteilung der Luft auf mehrere, unter verschiedenen Bedingungen arbeitende Pumpen, oder gar die Berechnung der Luftwiderstände in den Leitungen und Verzweigungen, kurz die Arbeitsbilanz eines geschlossenen Systems zu entwickeln, geht über den vorgesteckten Rahmen hinaus. Selbst das Spiel innerhalb der eigentlichen Pumpe, wie im vorstehenden geschildert, weist beträchtliche Lücken auf, die, wie immer in technischen Dingen, die mit Konstanten sich abfinden müssen, die gesteigerte und verfeinerte Beobachtung auszufüllen berufen ist. Die rein physikalischen Anforderungen reichen beträchtlich weiter. Von dem mit der Spannung wechselnden Gewicht der Luft war bislang so wenig die Rede, als von ihrer Temperatur, dem Wärmeaustausch mit dem Wasser, dem Einfluß von Barometer- und Thermometerstand auf die Mengen der jeweils angesaugten Luft usw. Alle diese Umstände sind aber von Einfluß auf den Gang der Bewegung, ebenso wie die Rauhigkeit der Rohrwände, Umfang und Tiefe der Brunnenschale, Unreinheit und Wechsel in der Beschaffenheit des Wassers.