Druck- und Knickfestigkeit. Von Fr. Natalis, Dr.-Ing., Berlin-Siemensstadt. NATALIS: Druck- und Knickfestigkeit. Uebersicht: Bei Berechnung eines Stabes auf Druck ist die Berücksichtigung der Stablänge in der Regel erforderlich. Nur bei sehr kurzen Stäben ist die zulässige Druckkraft gleich dem Stabquerschnitt mal zulässiger spezifischer Druckbeanspruchung (Würfelfestigkeit). Für lange Stäbe geben die Eulerschen Gleichungen einwandfreie Werte. Da in diesen Gleichungen die zulässige spezifische Druckbelastung nicht vorkommt, so sind sie nur zutreffend, wenn letztere nicht überschritten wird. Dieses ist bei Lagerung des Stabes zwischen zwei Spitzen der Fall, wenn der Quotient \frac{l}{i}=\frac{\mbox{Stablänge}}{\mbox{Trägheitshalbmesser}} größer als etwa 50 bei Holz und 60 bei Eisen ist. Man pflegt daher die Eulersche Formel nur bei \frac{l}{i}\,>\,100 zu benutzen. In der Praxis sind aber gerade die mittleren Stablängen am häufigsten, bei denen weder die Berechnung auf eine Druckfestigkeit noch diejenige auf feine Knickung zulässig ist. Für dieses Gebiet ist nun eine Reihe von Näherungsformeln aufgestellt, welche aber nicht den ganzen Bereich beherrschen und entweder für die Grenzfälle oder für mittlere Stablängen unzutreffende Werte ergeben. Es wird daher eine bessere Näherungsformel aufgestellt, die diesen Bedingungen genügt und auch mit umfangreichen Versuchen in Einklang steht. Zur Erleichterung der Rechnung sind für quadratische Voll- und Hohlquerschnitte in Holz und für dünnwandige Stahlrohre der Flugzeugnormen nach dieser Formel Tafeln für die Knickkraft beigefügt. Die Untersuchung über die elastische Linie auf Knickung beanspruchter Stäbe führt zur Ermittelung derjenigen Ausbiegung, bei welcher der Stab zu Bruch geht, und zur Behandlung exzentrisch belasteter Stäbe. Dabei dient nicht, wie bisher in der einschlägigen Literatur, als Voraussetzung ein geradliniger Stab, dessen rechnerische Behandlung zu komplizierten Formeln führt oder nur näherungsweise durchführbar ist, sondern ein Stab, dessen Achse ähnlich der elastischen Linie, d.h. nach einer Sinuslinie gekrümmt ist. Diese vereinfachende Annahme läßt eine vollständige rechnerische Lösung ohne irgend welche Vernachlässigungen zu und führt zur Berechnung der Ausbiegung und der zulässigen Belastung sowie zur Klärung des scheinbaren Widerspruchs zwischen Versuchsergebnissen und dem Resultat der Eulerschen Formel, nach welcher bei Belastungen unterhalb der Eulerschen Knicklast eine Ausbiegung nicht stattfinden dürfte. Die Richtigkeit dieser Schlußfolgerung wird schließlich durch einen Knickversuch erwiesen, bei dem durch verstellbare Druckvorrichtungen eine nahezu vollständige Beseitigung der scheinbaren Exzentrizität des Stabes – einschließlich Unsymmetrie und mangelnder Homogenität des Materials – erreicht wird. Knickformeln. Es bedeuten für einen zwischen Spitzen gelagerten auf Knickung beanspruchten Stab: Pk kg Belastung im Augenblick des Knickens, E kg/cm2 Elastizitätsmodul, F cm2 Stabquerschnitt, l cm Stablänge, J cm4 Trägheitsmoment, i=\sqrt{\frac{J}{F}}\mbox{ cm} Trägheitshalbmesser; J = i2 F; k=\frac{P_k}{F}\mbox{ kg}/\mbox{cm}^2 mittlerer spezifischer Flächendruck beim Ausknicken oder Zerdrücken, k0 kg/cm2 spezifische Druckfestigkeit an der Bruchgrenze, m > 1 die Sicherheit, P kg die zulässige Belastung, Pk = m P. Nach der Eulerschen Formel ist: P_k=\frac{\pi^2\,E\,J}{l^2};\ k=\pi^2\,E\,\left(\frac{i}{l}\right)^2;\ \frac{k}{k_0}=\frac{\pi^2\,E}{k_0}\,\left(\frac{i}{l}\right)^2 . . . . (1) Die Formel ist nur gültig für \frac{l}{i}\,>\,105. Es ist nun eine Reihe empirischer Formeln für \frac{l}{i}\,<\,105 aufgestellt. Diese beherrschen aber meist nur ein beschränktes Gebiet des Wertes \frac{l}{i}, zum Beispiel die Formeln von Tetmajerk=k_0\,\left[1-a\,\frac{l}{i}+b\,\left(\frac{l}{i}\right)^2\right] für 10\,<\,\frac{l}{i}\,<\,105, Ostenfeldk=k_0\,\left[1-c\,\left(\frac{l}{i}\right)^2\right] für \frac{l}{i}\,<\,125 und ergeben zu reichliche Abmessungen. Ferner die Formel von Schwarz-Rankinek=\frac{k_0}{1+a\,\left(\frac{l}{i}\right)^2} . . . . (2) Wenn in dieser Formel a=\frac{k_0}{\pi^2\,E} gesetzt wird, so daß k=\frac{k_0}{1+\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\left(\frac{l}{i}\right)^2} wird, so deckt sie zwar fortlaufend den ganzen Bereich von \frac{l}{i} von 0 bis ∞ und gibt für die Grenzfälle von \frac{l}{i} richtige Werte, denn es ist für \frac{l}{i}=0\,:\,k=k_0 und für \frac{l}{i}=\infty\,:\,k=\pi^2\,E\,\left(\frac{i}{l}\right)^2, das ist die Eulersche Formel, aber sie gibt für mittlere Werte von \frac{l}{i} zu große Sicherheit, zum Beispiel k_1=\frac{1}{2}\,k_0 für \frac{l}{i}=\sqrt{\frac{\pi^2\,E}{k_0}}. Der vorgenannte Wert \frac{l}{i}=\sqrt{\frac{\pi^2\,E}{k_0}} hat für die nachfolgenden Berechnungen besondere Bedeutung, denn er ist die Ordinate für den Schnittpunkt der Geraden k = k0 und der Eulerschen Kurve k=\pi^2\,E\,\left(\frac{i}{l}\right)^2. Der Wert \frac{l_1}{i}=\sqrt{\frac{\pi^2\,E}{k_0}}\mbox{ bzw. }\frac{l_1}{i}\,\sqrt{\frac{k_0}{\pi^2\,E}} . . . . (3) ist daher ein wichtiges Einheitsmaß für das Schlankheitsverhältnis unter Berücksichtigung der Eigenschaften k0 und E des Materials. Für obigen Wert \frac{l_1}{i}=1,0\,\sqrt{\frac{\pi^2\,E}{k_0}}, für den die Schwarz-Rankinesche Formel k1 = 0,5 k0 ergibt, ist nach angestellten Versuchen sowohl für Holz wie für Stahl k_1=\frac{2}{3}\,k_0 zulässig. Nach der Schwarz-Rankineschen und Eulerschen Formel ergeben sich nachstehende Werte von \frac{k}{k_0} (s. Tabelle 1). Nachfolgend soll nun eine Formel entwickelt werden, welche einer für den ganzen Bereich von \frac{l}{i} gültigen Kurve für den Wert \frac{k}{k_0} entspricht, die sich im Anfang der Kurve \frac{k}{k_0}=1 und am Ende der Eulerschen Kurve \frac{k}{k_0}=\pi^2\,E\,\left(\frac{i}{k}\right)^2, in ihrem übrigen Verlauf aber den Versuchswerten anschmiegt, die sich aus den Festigkeitsprüfungen von Stäben verschiedener Länge, aber gleichen Querschnitts ergeben haben. Da die Formel für positive und negative Werte von l dasselbe Resultat für \frac{k}{k_0} geben muß, so darf \frac{l}{i} in ihr nur in geraden Potenzen vorkommen. Die Formel lautet: \frac{k}{k_0}=\frac{1+a\,\left(\frac{l}{i}\right)^2}{1+b\,\left(\frac{l}{i}\right)^2+c\,\left(\frac{l}{i}\right)^4} . . . . (4) Für sehr kleine Werte von \frac{l}{i} verschwindet das Glied c\,\left(\frac{l}{i}\right)^4 gegenüber dem Glied b\,\left(\frac{l}{i}\right)^2 im Nenner. Soll daher die Kurve im Anfang die Kurve \frac{k}{k_0}=1 berühren, so muß \frac{1+a\,\left(\frac{l}{i}\right)^2}{1+b\,\left(\frac{l}{i}\right)}=1 sein, woraus sich b = a ergibt. Soll andererseits für sehr große Werte von \frac{l}{i} die Kurve in die Eulersche übergehen, so muß, da dann die niedrigeren Potenzen von \frac{l}{i} fortfallen, \frac{a\,\left(\frac{l}{i}\right)^2}{c\,\left(\frac{l}{i}\right)^4}=\frac{\pi^2\,E}{k_0}\,\left(\frac{l}{i}\right)^2 sein, woraus sich c=a\,\frac{k_0}{\pi^2\,E} ergibt. Die Formel lautet daher jetzt: \frac{k}{k_0}=\frac{1+a\,\left(\frac{l}{i}\right)^2}{1+a\,\left(\frac{l}{i}\right)^2+a\,\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\left(\frac{l}{i}\right)^4} . . . . (5) Zur Bestimmung der allein noch übrig gebliebenen Konstante a werde angenommen, daß die neue Kurve die Eulersche bei der Ordinate \frac{l}{i}=n\,\sqrt{\frac{\pi^2\,E}{k_0}} schneidet, worin n eine beliebige Zahl, etwa > 2 ist. Dann ist \frac{k}{k_0}=\frac{\pi^2\,E}{k_0}\,\left(\frac{i}{l}\right)^2=\frac{\pi^2\,E}{k_0}\,\frac{k_0}{n^2\,\pi^2\,E}=\frac{1+a\,n^2\,\frac{\pi^2\,E}{k_0}}{1+a\,n^2\,\frac{\pi^2\,E}{k_0}+a\,n^4\,\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\left(\frac{\pi^2\,E}{k_0}\right)^2} woraus sich ergibt a=\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\frac{n^2-1}{n^2}. Tabelle 1. \frac{\mbox{l}}{\mbox{i}}\,\sqrt{\frac{\mbox{k}_0}{\pi^2\,\mbox{E}}}= 0,25 0,50 0,75 1,0 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,0 Bemerkungen \frac{\mbox{k}}{\mbox{k}_0}=\frac{1}{1+\frac{\mbox{k}_0}{\pi^2\,\mbox{E}}\,\left(\frac{\mbox{l}}{\mbox{i}}\right)^2} 0,94 0,80 0,64 0,50 0,39 0,31 0,25 0,20 0,17 0,14 0,12 0,10 Schwarz-Rankine \frac{\mbox{k}}{\mbox{k}_0}=\frac{\pi^2\,\mbox{E}}{\mbox{k}_0}\,\left(\frac{\mbox{i}}{\mbox{l}}\right)^2=   –   – (1,79) 1,00 0,64 0,44 0,33 0,25 0,20 0,16 0,13 0,11 Euler Die Formel lautet daher nunmehr: \frac{k}{k_0}=\frac{1+\frac{n^2-1}{n^2}\,\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\left(\frac{l}{i}\right)^2}{1+\frac{n^2-1}{n^2}\,\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\left(\frac{l}{i}\right)^2+\frac{n^2-1}{n^2}\,\left(\frac{k_0}{\pi^2\,E}\right)\,\left(\frac{l}{i}\right)^4} (6) Es zeigt sich nun, daß man den Schnittpunkt der neuen Kurve mit der Eulerschen sehr weit hinausrücken, d.h. n sehr groß wählen kann, ohne die Formelwerte für \frac{k}{k_0} im mittleren Bereich der Kurve wesentlich zu verkleinern, und daß die Formelwerte für n = ∞ am besten den Versuchswerten entsprechen. Dann ergibt sich für n = ∞ die einfache und praktisch besonders brauchbare Formel: \frac{k}{k_0}=\frac{1+\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\left(\frac{l}{i}\right)^2}{1+\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\left(\frac{l}{i}\right)^2+\left(\frac{k_0}{\pi^2\,E}\right)^2\,\left(\frac{l}{i}\right)^4}=\frac{1+A}{1+A+A^2} (7) worin A=\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\left(\frac{l}{i}\right)^2 ist. und P_k=k\,F=k_0\,F\,\frac{1+A}{1+A+A^2}. Diese Formel zeichnet sich weiterhin dadurch aus, daß sie keinerlei empirische Beiwerte, sondern nur noch die Materialkonstanten k0 und E enthält. In Tab. 2 sind die Zahlenreihen zusammengestellt für 1. \frac{k}{k_0} nach der Eulerschen Formel, 2. \frac{k}{k_0} nach Gleichung (7) und für die verschiedenen Werte von \frac{l}{i} bzw. Textabbildung Bd. 334, S. 71 Abb. 1. Tabelle 2. \frac{\mbox{l}}{\mbox{i}}\,\sqrt{\frac{\mbox{k}_0}{\pi^2\,\mbox{E}}}= 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 \frac{\mbox{k}}{\mbox{k}_0} nach Euler = – – (1,79) 1,00 0,64 0,44 0,33 0,25 0,20 0,16 0,13 0,11 \frac{\mbox{k}}{\mbox{k}_0} nach Gl. 7 = 0,995 0,955 0,835 0,667 0,513 0,392 0,303 0,238 0,190 0,152 0,130 0,110 \frac{l}{i}\,\sqrt{\frac{k_0}{\pi^2\,E}}=\sqrt{\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,.\,\frac{F\,l^2}{J}}. In Abb. 1 sind die Kurven für \frac{k}{k_0} nach der Eulerschen und Schwarz-Rankine'schen Formel sowie nach der Formel (7) eingetragen. Außerdem wurde zur Prüfung der neuen Formel eine Reihe von Versuchen vorgenommen. Unter anderen wurde eine Reihe von Holzstäben (Kiefernholz) von gleichem Querschnitt 4 × 4 cm und verschiedener Länge und möglichst gleichmäßigem Material auf Druck bzw. Knicken geprüft. Dabei wurden die nachstehenden Resultate, Vertikalreihe 1 und 2, erzielt. Diese sind auf die Bezugseinheiten der Formel (7) umgerechnet, nämlich \frac{l}{i}\,\sqrt{\frac{k_0}{\pi^2\,E}} als Ordinaten und \frac{k}{k_0} als Abszissen, und die so erhaltenen Werte, Vertikalreihe 3 und 4 gleichfalls in Abb. 1 eingetragen. Tabelle 3. \frac{\mbox{l}}{\mbox{i}} kkg/cm2 \frac{\mbox{l}}{\mbox{i}}\,\sqrt{\frac{\mbox{k}_0}{\pi^2\,\mbox{E}}} \frac{\mbox{k}}{\mbox{k}_0} 0 525   0,000 1,000   7,5 523   0,152 0,996    10,1 524   0,204 0,997 16 508   0,324 0,968 20 479   0,405 0,913 29 476   0,587 0,906 39 430   0,790 0,820 46 362   0,932 0,690   (49,4) (350) (1,00) (0,667)   54,5 309 1,10 0,589   63,5 244 1,29 0,465   71,5 218 1,45 0,416 (74) (206) (1,50) (0,392) 80 187 1,62 0,357   87,5 145 1,78 0,276   (98,5) (125) (2,00) (0,238) In Tabelle 3 sind – eingeklammert – die errechneten Werte \frac{k}{k_0} für \frac{l}{i}\,\sqrt{\frac{k_0}{\pi^2\,E}}=1\mbox{ bzw.} 1,5 und 2,0 aufgenommen. Den Messungen entspricht ferner der Wert k0 = 525 kg/cm2, und E = 130000 kg/cm2; F = 16 cm2; J = 21,3 cm4; i = 1,15 cm. Wie aus Abb. 1 zu ersehen ist, decken sich die Versuchsresultate recht gut mit der Kurve nach Gl. (7). Daß die Versuchswerte keinen ganz glatten Verlauf zeigen, ist nicht überraschend, da bei der jedesmaligen Bruchprobe eines Stabes geringe Materialunterschiede und Unsymmetrien einen erheblichen Einfluß ausüben. Textabbildung Bd. 334, S. 72 Abb. 2. Eine weitere Versuchsreihe wurde mit einigen viereckigen Hohlstäben aus Kiefernholz mit nachstehenden Abmessungen (Abb. 2) ausgeführt (s. Tab. 4 und Abb. 3). Tabelle 4 \frac{\mbox{l}}{\mbox{i}} kkg/cm2 \frac{\mbox{l}}{\mbox{i}}\,\sqrt{\frac{\mbox{k}_0}{\pi^2\,\mbox{E}}} \frac{\mbox{k}}{\mbox{k}_0}   0 525 0,000 1,000 13 519 0,264 0,989 31 448 0,628 0,855   (49,4) (350) (1,000) (0,667)   52,2 407 1,057 0,775 (74) (206) (1,50) (0,392) 77 237 1,540 0,452 k0= 525 kg/cm2; E = 130000 kg/cm2; F = 7,94 cm2; J = 15,9 cm4; i = 1,41 cm. Eine dritte Versuchsreihe, welche mit nahtlos gezogenen Stahlrohren nach den Flugzeugnormen der Inspektion des Flugzeugwesens angestellt wurde, zeigt aber, daß die Formel (7) auch für andere Materialien gültig ist. Es wurden Rohre 30 × 1 mm von verschiedener Länge geprüft. Die Wandstärken der Rohre zeigten aber nicht unwesentliche Abweichungen und schwankten zwischen 0,79 und 1,18 mm. Ferner schwankte die Wandstärke desselben Rohres beispielsweise zwischen 1,02 und 1,18 mm. Hierauf sind die Unregelmäßigkeiten im Verlauf der Kurve (Abb. 4) zurückzuführen. Der Wert k0 ergibt sich als Mittelwert aus den Druckversuchen mit den beiden kürzesten Rohren zu k0 = 5200 kg/cm2. Zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls E wurden zwei Rohre auf Biegung und zwei weitere Rohre auf Druck untersucht, wobei sich als Mittelwert E= 2000000 kg/cm2 ergab. Für das Rohr 30 × 1 mm ergibt sich fernerhin: F = 0,911 cm2; J = 0,959 cm4; i=\sqrt{\frac{J}{F}}=1,025\mbox{ cm}. Für \frac{l}{i}=61,70 ist \frac{l}{i}\,\sqrt{\frac{k_0}{\pi^2\,E}}=1. (s. Tab. 5). Bei den vorstehenden Berechnungen wurden außer k0 und E, F, J und l als bekannt angenommen und daraus k bezw. Pk = mP berechnet. Meistens werden jedoch außer k0 und E Pk = mP und l gegeben und F bzw. J zu berechnen sein. Zur Vereinfachung der Rechnung werden in solchen Fällen die Tabellen 6 bis 9 dienen für Textabbildung Bd. 334, S. 72 Abb. 3. a) Quadratische volle Querschnitte in Kiefernholz, b) Quadratische hohle Querschnitte in Kiefernholz, c) Nahtlos gezogene Stahlrohre nach den Flugzeugnormen. Tabelle 5. \frac{\mbox{l}}{\mbox{i}} kkg/cm2 \frac{\mbox{l}}{\mbox{i}}\,\sqrt{\frac{\mbox{k}_0}{\pi^2\,\mbox{E}}} \frac{\mbox{k}}{\mbox{k}_0}     11,20 5225 0,182 1,005     13,15 5192 0,213 0,998     15,10 4786 0,245 0,920     18,03 5203 0,292 1,001     20,96 4930 0,340 0,948     24,86 4720 0,403 0,908     27,79 4918 0,450 0,946     32,66 4984 0,530 0,957     37,54 4500 0,608 0,865     42,42 4841 0,687 0,930     51,80 4850 0,840 0,932     61,56 3541 0,998 0,682     (61,70) (3470) (1,000) (0,667)     71,32 3084 1,156 0,593     81,08 2698 1,314 0,519     90,83 2022 1,473 0,389     (92,55) (2022) (1,500) (0,389) 100,6 1655 1,630 0,318 Textabbildung Bd. 334, S. 72 Abb. 4. Tabelle 6. Textabbildung Bd. 334, S. 73 Tabelle 7. Textabbildung Bd. 334, S. 73 a) Quadratische volle Querschnitte in Kiefernholz. (Abb. 5.) F = h2 cm2; J=\frac{h^4}{12}\mbox{ cm}^4;\ \frac{J}{F}=\frac{h^2}{12}\mbox{ cm}^2;\ i=\frac{h}{\sqrt{12}}=\frac{h}{3,47}\mbox{ cm} k0 = 525 kg/cm2; E = 130000 kg/cm2 m\,P=k_0\,F\,\frac{1+\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\frac{l^2\,F}{J}}{1+\frac{k_0}{\pi^2\,E}\,\frac{l^2\,F}{J}+\left[\left(\frac{k_0}{\pi^2\,E}\right)\,\frac{l^2\,F}{J}\right]^2} m\,P=525\,F\,\frac{1+4,09\,\frac{F}{J}\,\left(\frac{l}{100}\right)^2}{1+4,09\,\frac{F}{J}\,\left(\frac{l}{100}\right)^2+\left[4,09\,\frac{F}{J}\,\left(\frac{l}{100}\right)^2\right]^2} b) Quadratische hohle Querschnitte in Kiefernholz. (Abb. 6.) F=H^2-h^2;\ J=\frac{H^4-h^4}{12};\ \frac{J}{F}=\frac{H^2+h^2}{12};\ i=\sqrt{\frac{H^2+h^2}{12}} k0 = 525 kg/cm2; E= 130000 kg/cm2 m\,P=525\,F\,\frac{1+4,09\,\frac{F}{J}\,\left(\frac{l}{100}\right)^2}{1+4,09\,\frac{F}{J}\,\left(\frac{l}{100}\right)^2+\left[4,09\,\frac{F}{J}\,\left(\frac{l}{100}\right)^2\right]^2} c) Nahtlos gezogene Stahlrohre nach den Flugzeugnormen. (Abb. 7.) F=\frac{\pi}{4}\,\left(D^2-d^2\right)=\pi\,\delta\,\left(D-\delta\right) J=\frac{\pi}{64}\,\left(D^4-d^4\right);\ \frac{J}{F}=\frac{D^2+d^2}{16};\ i=\frac{1}{4}\,\sqrt{D^2+d^2} k0 = 5200 kg/cm2; E = 2000000 kg/cm2 m\,P=5200\,F\,\frac{1+2,63\,\frac{F}{J}\,\left(\frac{l}{100}\right)^2}{1+2,63\,\frac{F}{J}\,\left(\frac{l}{100}\right)^2+\left[2,63\,\frac{F}{J}\,\left(\frac{l}{100}\right)^2\right]^2} Textabbildung Bd. 334, S. 73 Abb. 5. Textabbildung Bd. 334, S. 73 Abb. 6. Textabbildung Bd. 334, S. 73 Abb. 7. In der nachstehenden Tabelle ist für jeden Rohrdurchmesser nur eine Wandstärke δ berücksichtigt. Da bei dünnwandigen Rohren F und J nahezu proportional der Wandstärke sind, so sind auch die Knickkräfte nahezu proportional der Wandstärke, also unschwer mit Hülfe der Tabellen werte zu schätzen. Tabelle 8. Textabbildung Bd. 334, S. 73 Tabelle 9. Textabbildung Bd. 334, S. 74