Das Zeichnen von Hyperbeln und Polytropen. Von Dr. K. Schreber, Aachen. SCHREBER: Das Zeichnen von Hyperbeln und Polytropen. Sehr häufig hat der Maschinenbauer die Aufgabe zu lösen, Hyperbeln oder allgemein Polytropen zu zeichnen. Neben der alten Lösung dieser Aufgabe für Hyperbeln hat man jetzt das sehr geistreich erfundene Verfahren von Brauer, welches gleichzeitig für Hyperbeln und Polytropen gilt. Leider hat dieses den Nachteil, daß sich die Ungenauigkeiten häufen, weil jeder Punkt nur auf Grund des vorher gefundenen gezeichnet werden kann. Selbst das sehr häufig angewandte Auskunftsmittel, von Zeit zu Zeit wieder einmal einen Punkt unmittelbar vom Ausgangspunkt aus zu zeichnen, ist nur ein Verschleiern der Schwierigkeit, denn es muß jetzt der Ausgleich zwischen dem durch laufende Zeichnung und dem vom Ausgangspunkt her gezeichneten Punkt gefunden werden. In der Nähe der Bezugslinien versagt es nahezu vollständig. Die vorliegende Aufgabe läßt sich aber mit einer für alle Punkte gleichen Genauigkeit und fast beliebiger Annäherung an die Bezugslinien lösen mit Hilfe des von der Firma Schleicher & Schüll in Düren in den Handel gebrachten logarithmischen Papieres. Indem ich mir den Buchstaben k für den Sonderfall der Poissonschen Gleichung vorbehalte, benutze ich zur Erinnerung an Zeuner für die allgemeine Polytrope den Buchstaben z und schreibe: pvz = pavza, logarithmiert man und stellt etwas um, so erhält man: z=-\frac{\mbox{lg}\,p-\mbox{lg}\,p_a}{\mbox{lg}\,v-\mbox{lg}\,v_a}. Man setze lg p = y und lg v = x, dann wird z=-\frac{y-y_a}{x-x_a}, d.h. z ist die Neigungstangente der geraden Linie y = f(x). Das logarithmische Papier von Schleicher & Schüll ermöglicht, sehr leicht diese gerade Linie zu zeichnen. Seine Bezugslinien haben dieselbe Teilung, welche der Rechenschieber trägt, so daß man für jede an den Bezugslinien stehende Zahl deren Logarithmus erhält. Unsere Aufgabe, durch den Punkt pv eine Polytrope mit dem Exponenten z zu legen, wird also gelöst, indem man durch denselben Punkt im logarithmischen Papier eine gerade Linie mit der Neigung – z legt und von dieser sämtliche zusammengehörigen Werte von p und v abliest und in das mm-Papier überträgt. Zeigt sich beim Ausziehen der Linie, daß man eine zu große Lücke hat, so kann man sie ohne weiteres ausfüllen, da in der geraden Linie im logarithmischen Papier keine Lücke vorhanden ist. Als Beispiel, wie die Anwendung erfolgt, werde zu einem Indikatordiagramm einer Gasmaschine das der zugehörigen rechnerisch einfach zu verfolgenden Maschine aufgezeichnet, damit man den indizierten Wirkungsgrad (Völligkeitsgrad) durch Planimetrieren feststellen kann. Da es hier nicht darauf ankommt, eine Gasmaschine zu untersuchen, sondern nur ein Beispiel für das Zeichnen von Polytropen gegeben werden soll, so setzen wir die spezifischen Wärmen als unveränderlich voraus. Der Heizwert des Gases war 1020 cal/m3, aus 1 m3 entstehen 2,50 kg Heizgase mit der spezifischen Wärme bei unveränderlichem Volumen cv = 0,183 und einem Verhältnis der beiden spezifischen Wärmen z = 1,37. Das Verhältnis des Verdichtungsraumes zum Gesamtraum beträgt 0,140. Textabbildung Bd. 334, S. 129 Abb. 1. Die Atmosphärenlinie des an der Maschine genommenen Indikatordiagramms wurde um den Verdichtungsraum verlängert, die ganze Länge in zehn Teile geteilt, zwischen diese in der Nähe des Verdichtungsraumes noch einige Zwischenpunkte eingeschaltet und dann das Diagramm in mm-Papier übertragen. In Abb. 1 ist dieses Diagramm schraffiert dargestellt. Die Zeichnung des Diagramms der rechnerisch einfach zu verfolgenden Maschine geschieht, indem zunächst im logarithmischen Papier (Abb. 2) eine gerade Linie mit der Neigung – 1,37 durch den Punkt p = 1, v = 1,0 gelegt wird. Das ist infolge der Einrichtung des Papiers leicht auszuführen: Für dieses ist die Einheit der Bezugslinien 100 mm lang. Man muß also mit einem Maßstab 137 mm auf der Bezugslinie für p abmessen und den so erhaltenen Punkt mit dem vorhin genannten verbinden. Aus dieser Geraden kann man die Drucke der Verdichtungslinie zu allen Kolbenstellungen mit gleicher Genauigkeit ablesen, im besonderen ist für v = 0,140 also im Totpunkt p = 14,4. Die Temperatur bei Beginn der Verdichtung wurde zu 117° geschätzt, also T = 390°. Durch den Punkt v = 1,0; T = 390 ist wegen der Beziehung Tvz–1 = Tavaz–1 eine gerade Linie mit der Neigung – 0,37 zu legen. Um das zu erreichen, mißt man vom Punkt 390 der Bezugslinie für T 37 mm nach oben ab und verbindet den so erhaltenen Punkt mit dem vorhin festgelegten. Diese Linie läßt die Temperaturen der Verdichtungslinie ablesen, im besonderen ist im Totpunkt T = 810 = 537 + 273. Man würde also gerade bis in die Temperaturen der Selbstentzündung kommen. Durch Zuführung des Heizwertes erhält man eine Temperaturerhöhung ∆ T = 1020 / 0,183 • 2,50 = 2250°. Die heißeste Temperatur würde somit 3060 = 2790 + 273 sein. Beim Verbrennen des Gases ändert sich seine Molenzahl auf 0,91. folglich wird das Druckverhältnis im Totpunkt: pd/pv = 0,91 • 3060/810 = 3,37. Eine Linie mit der Neigung – 1,37 durch den Punkt v = 0,140 und p = 14,4 • 3,37 oder den Punkt v = 1,0, p = 3,37 gibt sämtliche Drucke der Dehnungslinie, die man nur noch in das mm-Papier zu übertragen braucht, um das rechnerische Diagramm vor sich zu haben. Das Verhältnis beider Flächen ist der gesuchte Völligkeitsgrad. Eine gerade Linie mit der Neigung – 0,37 durch den Punkt v = 0,140, T = 3060 gibt die Temperaturen auf der Dehnungslinie, im besonderen T = 480 = 1212 + 273 für das Ende der Dehnung. Textabbildung Bd. 334, S. 129 Abb. 2. Man ersieht aus diesem Beispiel, welche Erleichterung das logarithmische Papier für das Zeichnen von Polytropen mit sich bringt. Bei den Gasmaschinen erhält man auch sofort einen Ueberblick über die Temperaturen.