Ein Temperatur-Wärmemengen-Diagramm als Hilfsmittel zur thermodynamischen Untersuchung von Maschinen, deren Arbeitsmittel die Gasgesetze befolgen. Von Prof. Dr. techn. Emil Wellner, Brünn. WELLNER, Ein Temperatur-Wärmemengen-Diagramm. a) Kolbenkompressoren. Zunächst muß darauf hingewiesen werden, daß bei dieser Maschinengruppe der tatsächlich sich im Zylinder abspielende Arbeitsvorgang keinen geschlossenen Kreisprozeß darstellt; es erscheinen vielmehr zwei gesonderte Zustandsänderungen, – die Kompression der Lademenge und die Expansion der Restluft im schädlichen Raum –, die bei verschiedenem Gewichte des Arbeitsmittels vor sich gehen, durch die Gleichdruckperiode des Ausschiebens beziehungsweise des Ansaugens miteinander verknüpft. Für die Bestimmungen der tatsächlichen Temperaturen oder spezifischen Volumina beim Uebergange von der einen Zustandsänderung zur anderen sind wir daher auf die mehr weniger willkürlichen Annahmen über den Einfluß der Kolbenreibung und der Kühlung während dieser Uebergänge angewiesen. Der ganze Vorgang während eines Kolbenspieles kann zu seiner thermodynamischen Berechnung durch einen umkehrbaren Kreisprozeß bei konstantem Luftgewicht ersetzt gedacht werden, den wir im Folgenden, soweit wir auf ihn zurückgreifen, als Ersatzprozeß bezeichnen wollen. α. Einstufige Verdichtung. Betrachten wir zuerst den ideellen Fall eines Kompressors, der ohne schädlichen Raum arbeiten, und die Luft auf den Druck p2 nach einer Polytrope mit dem Exponenten n verdichten würde; es wäre der hiezu notwendige Arbeitsaufwand nach Gleichung 21 durch A\,L_k=A\,\int\limits_{p_1}^{p_2}\,v\,dp gegeben und in Abb. 14 für die Polytrope 12 durch Strecke 1 B dargestellt. Man ersieht aus dem Verlaufe der Druckkurve, daß der Arbeitsaufwand umsomehr abnimmt, je mehr sich die Polytrope der Isotherme nähert, für welche er den Wert 1 D annehmen würde. Die tatsächlichen Verhältnisse an einem Kompressor ändern sich gegenüber diesem ideellen Falle durch die Expansion der im schädlichen Raume eingeschlossenen Restluft; wir setzen zunächst voraus, daß diese Zustandsänderung mit demselben Exponenten n als Polytrope wie die Kompression vor sich gehe. Es ist dies eine Annahme, die im Allgemeinen nicht zutreffen wird, da die eine Zustandsänderung unter Wärmezufuhr verlaufen müßte, falls die andere gekühlt wäre, und auch für zwei Adiabaten bei veränderlich angenommenen spezifischen Wärmen nur angenähert bestehen würde. In Abb. 15 ist dieser spezielle Fall zur Darstellung gebracht, da uns seine Behandlung für die Prozesse mit verschiedenen Exponentenwerten von Nutzen sein wird. Es seien ein bestimmtes Druck Verhältnis \frac{p_2}{p_1}, die Anfangstemperatur T1 und das prozentuale Verhältnis ε des schädlichen Raumes zum Hubvolumen des Zylinders \epsilon=\frac{V_3}{V_1-V_3} als gegeben betrachtet. Die Volumina V1 und V3 würden hierbei den Punkten 1 und 3 des pV-Diagrammes entsprechen; dieses selbst ist für die folgenden Konstruktionen nicht erforderlich, und wurde in Abb. 15 nur zur Erläuterung des Vorganges einskizziert. Textabbildung Bd. 337, S. 143 Abb. 15. Wir entnehmen ihm, daß der Arbeitsaufwand L des Kompressors als Differenz zweier ideeller Arbeitsflächen 12 γδ und 34γδ mit den Arbeitswerten Lk und Le aufgefaßt werden kann, und sonach die Gleichung AL = A (Lk – Le)             24. besteht. Die beiden Einzelwerte Lk und Le sind, wie aus der bekannten Polytropen-Gleichung L=\frac{p_1\,v_1}{n-1}\,\left[1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\,\frac{n-1}{n}\right] folgt, durch die Beziehung \frac{L_k}{L_e}=\frac{T_2}{T_3}               25. gebunden, wobei T2 und T3 die Temperaturen des Ersatzprozesses in den Diagrammpunkten 2 und 3 bedeuten. Den Wert A Lk erhalten wir nach Früherem durch Ziehen von I II und II B in der Strecke I B, und es erübrigt sonach noch die Auffindung von ALe. Hiezu ist die Bestimmung der Temperatur T3 erforderlich, die grafisch oder rechnerisch aus T_3=T_1\,\frac{p_2}{p_1}\,.\,\frac{V_3}{V_1}=T_1\,.\,\frac{p_2}{p_1}\,.\,\frac{\epsilon}{1+\epsilon}             26. vorgenommen werden kann. ALe ergibt sich nun entsprechend Gleichung 25 durch Teilung von Strecke I B im Verhältnisse der Temperaturen T3 und T2. Diese Teilung erscheint in Abb. 15 mit Hilfe eines beliebigen Strahles O1ω durchgeführt, der von der aus Gleichung 26 berechneten Temperatur T3 im Punkte a geschnitten wird; bringt man auch die Temperaturhorizontale T2 im Punkte b mit diesem Strahle zum Schnitt, und zieht bc, erhält man durch die Projektion a – d-e und die Parallele eC ∥ I II den gewünschten Teilpunkt C, denn man überzeugt sich leicht, daß \frac{A\,L_k}{A\,L_e}=\frac{I\,B}{C\,B}=\frac{II\,B}{e\,B}=\frac{b\,f}{a\,h}=\frac{T_2}{T_3}              27. besteht. Wir haben sonach in Strecke I C die zur Bestreitung des Prozesses erforderliche Arbeit AL gefunden, wobei wir den Rückgewinn an Arbeit gegenüber dem theoretischen Prozeß ohne schädlichen Raum in Strecke BC unmittelbar ersehen können. Wir betrachten nun den allgemeinen Fall, daß die Rückexpansion der Restluft nach einer Polytrope 34' mit dem Exponenten n' vor sich gehe, der von dem Werte n der Kompressionskurve 12 verschieden wäre. Der Arbeitswert ALk bleibt naturgemäß unverändert und erscheint daher wieder durch Strecke I B dargestellt. Das nunmehr der Arbeitsfläche 34'γδ entsprechende AL'e können wir in gleicher Weise wie eben besprochen aus der Reduktion eines ideellen Prozesses erhalten, der für Kompression und Rückexpansion mit dem Exponenten n' arbeiten würde. Ziehen wir dafür die diesem n' entsprechende Richtung I II' bis zur Druckkurve, erhalten wir die Temperatur T'2 und können die gleiche Konstruktion wie früher mittels des unverändert gebliebenen T3 durchführen; wir gelangen auf diese Art von Punkt a, über d' nach e' und finden in der Strecke BC den neuen Betrag ALe'Im Sinne der Reduktion wäre die Horizontale von d' eigentlich nur bis zum Punkte e'', und von dort die Gerade e''C'' ∥ I II', einzutragen; man ersieht aber unmittelbar, daß der so gewonnene Abschnitt B'C'' = BC' ist.. Die Kompressorarbeit ist sonach jetzt durch die Strecke I C' dargestellt, und wir ersehen in der Größe CC' den Mehraufwand gegenüber dem früheren Falle. Der Einfluß der Größe des schädlichen Raumes auf die notwendige Antriebsarbeit läßt sich aus Gleichung 27 feststellen. Bei gleichen Exponentenwerten für Kompression und Rückexpansion ergibt sich aus ihr die Beziehung \frac{I\,C}{I\,B}=1-\frac{C\,B}{I\,B}=1-\frac{T_3}{T_2}=1-\frac{T_4}{T_1}=\frac{V_1-V_4}{V_1} welche ausdrückt, daß sich die Arbeitsleistung I C zur theoretischen I B ebenso wie die erzielten Saugleistungen verhält; es entspricht dies der bekannten Erscheinung, daß der Arbeitsaufwand bei gleichem angesaugtem Luftvolumen unabhängig von der Größe des schädlichen Raumes konstant bleibt. Bei ungleichen Polytropenexponenten erhält man analog den Ausdruck \frac{I\,C'}{I\,B}=1-\frac{C'\,B}{I\,B}=1-\frac{I\,B'}{I\,B}\,.\,\frac{T_3}{{T_2}'}=1-\frac{I\,B'}{I\,B}\,\frac{{T_4}'}{T_1}=1-\frac{I\,B'}{I\,B}\,.\,\frac{{V_4}'}{V_1}             28. Es besteht danach die Proportionalität zwischen Arbeitsaufwand und angesaugter Luftmenge nicht mehr, sondern es wird die nötige Arbeit im günstigen oder ungünstigen Sinne beeinflußt werden, je nachdem IB' ≷ IB ausfällt. Hingegen nimmt naturgemäß der schädliche Raum unmittelbar auf die Kompressorabmessungen bei gegebener Saugleistung Einfluß, da sich mit ihm der volumetrische Wirkungsgrad ηv der als \eta_v=\frac{V_1-{V_4}'}{V_1-V_3}               29. definiert wird, ändert. Im allgemeineren Fall mit den Exponentenwerten n und n' ergibt sich aus Gleichung 29 durch Einführung von s und des Druckverhältnisses nach einigen Zwischenrechnungen die Form \eta_v=1-\epsilon\,\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\,\frac{1}{n'}-1\right]              30. und man ersieht, daß der volumetrische Wirkungsgrad mit wachsendem schädlichen Raume abnimmt, und somit nach Gleichung 29 das Hubvolumen bei gleichbleibender Saugleistung zunimmt. Man hat daher in diesem Sinne ein Interesse, den schädlichen Raum tunlichst zu beschränken. Wir können nun noch den volumetrischen Wirkungsgrad durch ein einfaches Streckenverhältnis im Diagramme der Abb. 15 ersichtlich machen. Wir teilen zu diesem Behufe die Strecke I B' durch den Punkt D derart, daß \epsilon=\frac{V_3}{V_1-V_3}=\frac{B'\,D}{I\,D}              31. wird. Da nun aus den Gleichungen 29 und 31 \eta_v=\frac{V_1-{V_4}'}{V_1}\,.\,\frac{V_1}{V_1-V_3}=\left(1-\frac{{V_4}'}{V_1}\right)\,(1+\epsilon)=\left(1-\frac{{V_4}'}{V_1}\right)\,\frac{I\,B'}{I\,D} geschrieben werden kann, und aus Gleichung 28 1-\frac{{V_4}'}{V_1}=1-\frac{B'\,C''}{I\,B'}=\frac{I\,C''}{I\,B'} folgt, ergibt sich der volumetrische Wirkungsgrad zu \eta_v=\frac{I\,C''}{I\,D}              32. und kann in einfacher Weise abgemessen werden. Wir haben sonach in Abb. 15 in vollständiger Unabhängigkeit vom pV-Diagramme den Arbeitsaufwand und den volumetrischen Wirkungsgrad eines einstufigen Kolbenkompressors feststellen können, und benötigten dazu lediglich die der gewünschten Drucksteigerung entsprechende Druckkurve. β. Mehrstufige Verdichtung. Die mehrstufige Kompression mit jeweiliger Zwischenkühlung wird, wie bekannt, bei höheren Kompressorendspannungen angewendet und ergibt neben einer geringeren Temperatursteigerung eine Arbeitsersparnis sowie einen günstigeren volumetrischen Wirkungsgrad. Wir nehmen zunächst an, die Zwischenkühlung würde jeweils eine Abkühlung bis auf die Anfangstemperatur ermöglichen und vernachlässigen den Einfluß des schädlichen Raumes; stellen wir nun die Bedingung, daß der Arbeitsaufwand für jede Stufe gleich groß ausfalle, ist die Unterteilung des gesamten Druckintervalles von p1 auf p so vorzunehmen, daß die einzelnen Druckverhältnisse einander gleich sind, also bei i Stufen jedes den Wert \frac{p_2}{p_1}=\frac{p_4}{p_3}=.\ .\ .\ .\ =\sqrt[1]{\frac{p}{p_1}}              33. annimmt; es folgt dies aus dem Ausdrucke für die Arbeitsleistung L=\frac{n}{n-1}\,p_1\,v_1\,\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\,\frac{n-1}{n}-1\right] unmittelbar, wenn man bedenkt, daß das vor der eckigen Klammer stehende Druck-Volumenprodukt bei vollkommener Zwischenkühlung für alle Stufen konstant bleibt. In Abb. 16 ist die Abbildung eines zweistufigen Kompressors im T-Q Diagramm zur Darstellung gebracht. Mit der Eintragung der der Endspannung entsprechenden pp1 Druckkurve erhielte man zunächst bei einem gewählten Polytropenexponenten n den Arbeitsaufwand für den einstufigen Kompressor nach Früherem durch Ziehen des Dreieckzuges IV B in Strecke I B. Textabbildung Bd. 337, S. 145 Abb. 16. Die Endtemperatur der ersten Stufe folgt, wenn mit p2 ihr Enddruck bezeichnet wird, wegen \frac{p}{p_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2 beziehungsweise \frac{T}{T_1}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 aus der Proportion \frac{T}{T_2}=\frac{T_2}{T_t} als mittlere geometrische Proportionale zwischen T und T1 und kann mit der Kreisbogenprojektion γδ leicht bestimmt werden. Hiermit erhalten wir den Endpunkt II der ersten Stufe; hieran schließt die der Zwischenkühlung bis zur Anfangstemperatur entsprechende Zustandsänderung konstanten Druckes – II III – an, und folgt die Kompression der zweiten Stufe III IV bis zur EndtemperaturPunkt IV ist gleichzeitig ein Punkt der Druckkurve p'p1, was zum Ausdruck bringt, daß die Summe der Arbeiten in den einzelnen Stufen jener Arbeit L' eines einstufigen Kompressors entsprechen würde, welcher mit einem der Richtung I IV zugehörigen Exponenten n' arbeiten würde. Aus Gleichung 33 folgt nämlich für i Stufen wegen\frac{p}{p_1}=\left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{\frac{n'}{n'-1}} und \frac{p_2}{p_1}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{n}{n-1}}\,\left(\frac{T_4}{T_1}\right)^{\frac{n'}{n'-1}}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{i\,n}{n'-1}}Da nun T4 – T2 ist, ergibt sich die Beziehung\frac{n'}{n'-1}=i\,\frac{n}{n-1}Der Arbeitsaufwand AL' ist nun durchA\,L'=\frac{n'}{n'-1}\,A\,R\,T_1\,\left(\frac{T_4}{T_1}-1\right)=i\,\frac{n}{n-1}\,A\,R\,T_1\,\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)gegeben, und es folgt daher tatsächlichAL' = i. AL12. T4 = T2 Die gesamte Arbeit in beiden Stufen ist sonach durch die Strecke I B1 dargestellt, wobei durch den Zwischenpunkt III zum Ausdruck kommt, daß sich die Arbeitsleistung auf beide Stufen gleich verteilt. Bei unvollkommener Rückkühlung würden wir von Punkt II nur bis III' gelangen und erhielten über IV den erforderlichen Arbeitsaufwand in Strecke I B2; man ersieht, daß sich dieser nun nicht mehr gleichmäßig auf beide Zylinder verteilt, sondern sich im ersten der Teilbetrag I III gegenüber III B2 im zweiten ergibt. Es sei hier bemerkt, daß in diesem Falle der Endpunkt IV' im Allgemeinen nicht auf der Druckkurve gelegen wäre; man erhält ihn vielmehr aus der Bedingung, daß seine Endtemperatur entsprechend den gleichen Druckverhältnissen der Stufen der Proportion \frac{{T_4}'}{{T_3}'}=\frac{T_2}{T_1} genügt. Aus dem Diagramme können nun die erzielten Arbeitsersparnisse gegenüber dem einstufigen Kompressor unmittelbar entnommen werden; die Endpunkte der betreffenden Linienzüge liegen zwischen den Grenzpunkten B und BJ, und wir ersehen, daß wir je nach Stufenzahl und Güte der Rückkühlung uns dem ideellen Werte der isothermischen Kompression mehr oder weniger nähern können. Die sogenannten isothermischen und adiabatischen Wirkungsgrade der Anlage könnten gleichfalls aus den Streckenverhältnissen der Figur abgelesen werden. Die tatsächlichen Verhältnisse bei Berücksichtigung der Expansion der Restluft in den schädlichen Räumen wären wie beim einstufigen Kompressor zu untersuchen. Es ergibt sich, daß die Arbeitsersparnis gegenüber dem ideellen Falle der Abb. 16 etwas verringert wird, da der Arbeitsrückgewinn bei einstufiger Verdichtung verhältnismäßig größer ausfällt. Die Anwendung mehrfacher Kompression wird aber bei höheren Enddrücken, neben dem geringeren Arbeitsaufwand, vornehmlich durch den wesentlich günstiger werdenden volumetrischen Wirkungsgrad bedingt. Da der schädliche Raum des einstufigen Kompressors jenem der ersten Stufe eines mehrstufigen gleichgesetzt werden kann, und die zugehörigen volumetrischen Wirkungsgrade miteinander zu vergleichen sind, zeigt Gleichung 30 unmittelbar, daß ηv umso besser wird, je kleiner das Druckverhältnis ist, d.h. je mehr Stufen angeordnet werden. b) Turbokompressoren. Im Gegensatze zu den Kolbenkompressoren wird bei den Turbokompressoren die Drucksteigerung durch Umwandlung aus kinetischer Energie erzeugt; es ist also im wesentlichen ein Strömungsvorgang unter Einleitung äußerer Arbeit, und es werden daher wegen der hohen auftretenden Geschwindigkeiten die Reibungswiderstände nicht mehr vernachlässigt werden können. Diese kommen in einer Erwärmung des durchströmenden Mediums zum Ausdruck, und es wird daher die Zustandsänderung einen wesentlich nicht umkehrbaren Charakter annehmen. Den Ausgangspunkt bildet wieder die allgemeine Gleichung 20 A\,L=A\,\int\limits_1^2\,v\,d\,p+W,, worin das Glied W den Wärmewert der Reibungsarbeit darstellt. Sehen wir vorderhand von einer Kühlung ab, ist der zu einer Drucksteigerung von p1 auf p2 erforderliche Arbeitsaufwand nach Gleichung 17 durch die Differenz der Wärmeinhalte im End- und Anfangspunkte gegeben, wobei wie erinnerlich die Voraussetzung gemacht wurde, daß die kinetische Energie vor und hinter dem Rade einander gleich seien, und keine Wärmeverluste durch Strahlung zu verzeichnen wären. Bezeichnet man diese Differenz der Wärmeinhalte als Wärmegefälle H, ergibt sich die Gleichung AL = i2 – i1 = H              34. Durch die während des Prozesses auftretende Reibungswärme wird i2 erhöht, und man ersieht daher aus Gleichung 34 unmittelbar, daß gegenüber der verlustlosen Kompression ein Mehraufwand an Arbeiterforderlich sein wird. Unterscheiden wir für letztere die analogen. Größen durch Beisetzung eines Striches zu dem Buchstaben, ergibt sich für die theoretische adiabatische Zustandsänderung AL' = i'2 – i'1 – H',               35. und es wäre der adiabatische Wirkungsgrad durch \eta_a=\frac{A\,L'}{A\,L}=\frac{H'}{H} gegeben. Nach den an Hand der Abb. 13 angestellten Betrachtungen erscheinen die Wärmegefälle im T-Q-Diagramme durch die horizontalen Abstände zwischen der Adiabatenrichtung (Wärmeparabel) und der Geraden konstanten Druckes dargestellt. Textabbildung Bd. 337, S. 146 Abb. 17. In Abb. 17 ist von dem Anfangspunkte 1 aus die Wärmeparabel eingetragen, und als tatsächliche Zustandsänderung während der Kompression eine steiler liegende Gerade 12 – entsprechend der Zuführung der Reibungswärme – bis zur gewünschten Drucksteigerung gemäß der eingetragenen p2/p1 Kurve gezeichnet. Die theoretische Kompression wäre nach den einleitenden Darlegungen mit großer Annäherung (siehe Schlußabsatz) durch die Strecke 12' gegeben. Wird noch die Richtung konstanten Druckes (ab) fixiert, ersieht man in Strecke 1b das Wärmegefälle H und in Strecke 1d das Wärmegefälle H'. Ferner stellt nach Früherem Strecke 1c den Wert A\,\int\limits_1^2\,vdp und Strecke a2 = bc die Größe W dar. Der Verlust durch die Vergrößerung des Wärmegefälles gegenüber der idealen Verdichtung ist durch Hv = H – H' = i2 – i2' = 1b – 1d = bd gegeben, und wir ersehen aus bd = bc + cd = W + A. ΔL daß der Arbeitsmehraufwand um den Betrag cd – die sogenannte zusätzliche Reibungswärme – größer als W istZerkowitz, a. a. O. S. 117.. Es ist, wie bekannt, diese Größe durch c\,d=A\,.\,\Delta\L=A\,\int\limits_1^2(v-v')\,dp gegeben. Der adiabatische Wirkungsgrad wäre aus dem Streckenverhältnisse \eta_a=\frac{1\,d}{1\,b} ersichtlich, während der Vergleich mit der Isotherme zu \eta_i=\frac{1\,e}{1\,b} führen würde. Würde man eine Kühlwirkung während der Kompression selbst annehmen, würde diese der durch die Reibung hervorgerufenen Wärme entgegenwirken, und sich dementsprechend die Lage des tatsächlichen Kompressionsendpunktes ändern. Er würde mit zunehmender Kühlwirkung längs der Druckkurve von Punkt 2 herunterwandern. Bei seinem Zusammenfallen mit 2' wäre gerade die Reibungswärme aufgehoben, während bei weiterem Vorschreiten, etwa bis Punkt 3, also Ueberwiegen der Kühlung über die Reibung, ein kleinerer Arbeitsaufwand 1f erforderlich wäre, der sich weiter bis auf den isothermischen Wert 1e verringern könnte. Auf die Bestimmung der erzielbaren Druckhöhe in Abhängigkeit von der Umfangsgeschwindigkeit und der Winkel und Durchmesserverhältnisse des Laufrades, des spezifischen Gefälles usw. soll hier, als über den Rahmen der vorliegenden Abhandlung hinausgehend, nicht weiter eingegangen werden, und sei in dieser Beziehung auf die einschlägigen WerkeZerkowitz, Thermodynamik der Turbomaschinen 1913. Oldenbourg.Ostertag, Theorie und Konstruktion der Kolben- und Turbo-Kompressoren, 1911 Springer und andere. verwiesen. Es möge hier nur noch kurz angedeutet werden, in welcher Weise das T-Q-Diagramm zur Ausmittlung von Turbokompressoren herangezogen werden kann. Wie bekannt, kommen für die in den praktischen Anwendungsgebieten geforderten Drucksteigerungen ausnahmslos mehrstufige Kompressoren in Frage, die entweder ungekühlt arbeiten können, hauptsächlich dort, wo die Erwärmung der Luft dem Verwendungszwecke günstig ist, oder mit Zwischenkühlungen zwischen den einzelnen Stufen ausgeführt werden. Es sollen daher hier die diesen zwei Gruppen entsprechenden Schaubilder entworfen, und an ihrer Hand die Ermittlung der maßgebenden Rechnungsgrößen kurz skizziert werden. Der ungekühlte mehrstufige Turbokompressor ergäbe das in Abb. 18 dargestellte Bild. Es sind dort drei Stufen, entsprechend den Druckkurven p4/p1, p3/p1, p2/p1, und für den Kompressionsverlauf eine Zustandsänderung nach der Geraden 1234 angenommen. Der hiezu erforderliche Arbeitsaufwand ist durch H = AL = b41 = i4 – i1 gegeben, während für die verlustlose adiabatische Kompression (– Verlauf längs der Wärmeparabel bis zum selben Enddruck, Punkt 4' –) H' = AL' = d1 = i'4 – i1 verbraucht würde. Der Mehraufwand an Wärmegefälle beträgt sonach Hv = H – H' = b4d = i4 – i'4 und erscheint wieder gegenüber der Reibungsarbeit b4c um den Betrag cd vergrößert. Textabbildung Bd. 337, S. 146 Abb. 18. Es ergibt sich somit der totale Wirkungsgrad \eta_{tot}=\frac{H'}{H}=\frac{d\,1}{b_4\,1} Wollten wir die Gefällverluste in den einzelnen Stufen feststellen, wären diese durch hv1 = a2d2, hv2 = a3d3 und hv3 = a4d4 gegeben. Hiezu wurden in den Punkten a2 und a3 die Parallelen zu der Richtung 14 gezogen und die Druckkurven nach den Punkten (3) und (4) äquidistant verschoben, womit die Punkte (3') und (4') gewonnen wurden. Die Abb. ergibt nun, daß b4c = a4(4) + a3(3) + a22 ist, d.h. daß der Wärmewert der gesamten Reibungsarbeit gleich der Summe der einzelnen Teilbeträge ist; hingegen wird infolge der Lage der Druckkurven der gesamte zusätzliche Wärmeverlust cd größer als die Summe der Einzelstrecken 2d2 + (3)d3 + (4)d4 ausfallen, was zu dem Ergebnis führt, daß der Gesamtwirkungsgrad ungünstiger wird, als den Einzelwirkungsgraden entsprechen würde.Diese Tatsache ist aus einem Temperatur-Entropie-Diagramme klarer zu entnehmen. Beim Entwurf eines solchen Kompressors ist von dem theoretischen Gefälle H' auszugehen, und hieraus H=\frac{H'}{\eta_{tot}} zu berechnen. Hiebei ist man auf Schätzungen des Wirkungsgrades angewiesenZerkowitz, a. a. O., Seite 138. (das bekannte Versuchsmaterial führt auf etwa ηtot = 0,6 – 0,7), da die rechnungsmäßige Ermittlung der Verluste nicht zu verläßlichen Resultaten führt. Aus dem Gesamtgefälle H erhält man vom Punkte b4 ausgehend über a4 den Punkt 4 und somit die Polytropenrichtung 14, sowie weiteres durch Division durch das der verwendeten Radkonstruktion entsprechende Einzel-Gefälle h = Ku2 die Stufenzahl Z=\frac{H}{h} Es bedeutet hiebei K das spezifische Gefälle und u die Umfangsgeschwindigkeit am Laufradaustritt; wir haben sonach für alle Räder gleiche Gefälle vorausgesetzt, was bei gleichem spezifischen Gefälle einen konstanten Raddurchmesser für sämtliche Stufen erfordern würde. In Abb. 18 wäre daher Strecke 1b4 in Z gleiche Teile zu teilen, womit die Punkte b2b3... beziehungsweise a2a3.. und 2, 3.. erhalten würden. Diese Art der Unterteilung ergäbe bei konstanter spezifischer Wärme gleiche Temperatursteigerungen in den einzelnen Stufen, während bei veränderlicher spezifischer Wärme infolge des Verlaufes der Wärmeparabel die Temperaturzunahmen gegen die letzte Stufe abnehmen würden. Es wird daher die erzielte Drucksteigerung in jedem Falle, gemäß \frac{p_z+1}{p_z}=\left(\frac{T_z+1}{T_z}\right)^{\frac{n}{n-1}} von Stufe zu Stufe abnehmen, d.h. die höheren Stufen würden kleinere Werte der Druckverhältnisse ergeben. Der gekühlte mehrstufige Kompressor ist dadurch charakterisiert, daß nach jeder Stufe eine kräftige Zwischenkühlung einsetzt, welche im ideellen Falle die Temperatur wieder bis auf den Anfangswert herabdrücken würde. Der eigentliche Verdichtungsvorgang innerhalb jeder Stufe kann hiebei als ohne nennenswerte Kühlung vor sich gehend gedacht werden. Hienach ergäbe sich das in Abb. 19 zur Darstellung gebrachte Bild. Es sind dort wieder drei Stufen angenommen, welche je gleiche Wärmegefälle \overline{1\,b_2},\ \overline{b_2\,b_3}\, \overline{b_3\,b_4} zu überwinden hätten. Es hätte dies bei vollkommener Rückkühlung gleiche Temperatursteigerungen und sonach auch ein konstantes Druckverhältnis \frac{p_2}{p_1}=\frac{p_3}{p_2}=...=\sqrt[z]{\frac{p_z+1}{p_1}}               36. zur Folge. Zunächst wäre aus der gesamten Drucksteigerung das theoretische Wärmegefälle H' und hieraus wie beim ungekühlten Kompressor schätzungsweise die Polytropenrichtung 12 aufzusuchen. Mit dem bei bekannter Stufenzahl aus Gleichung 36 errechneten Druckverhältnisse p2/p1 beziehungsweise dem dazugehörigen Temperaturverhältnisse T2/T1 ergeben sich dann die Punkte 2, a2 und b2, worauf man den Zickzackzug a2b2a3b3... bis zum Endpunkte b4 eintragen kann. Der gesamte Arbeitsaufwand ist dann durch die Strecke 1b4 gegeben. Textabbildung Bd. 337, S. 147 Abb. 19. Zum Vergleiche mit einem einstufigen Kompressor oder einem ungekühlten mit der gleichen Stufenzahl, der dasselbe Druckgefälle zu bewältigen hätte, wäre, da bei letzterem für konstantes Druckverhältnis in allen Stufen zwischen den einzelnen Temperaturen die Beziehung \frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_2}=... besteht, die Konstruktion 1C ∥ 2D ∥ (3)E durchzuführen, die uns den Endpunkt (4) und die Punkte (a) und (b) liefern würde. Wir ersehen somit in Strecke (b) b4 die Arbeitsersparnis, die durch die Zwischenkühlung erzielt wurde. Die Verluste an Wärmegefälle sind beim vollkommen rückgekühlten Kompressor in allen Stufen gleich groß, und wären für die erste Stufe durch die Punkte c und d (mit derselben Bedeutung wie früher) hervorgehoben. Ebenso könnten der adiabatische und isothermische Wirkungsgrad dieser Stufe aus der Abb. als \eta_a=\frac{1\,d}{1\,b_2} und \eta_i=\frac{1\,e}{1\,b_2} abgelesen werden. Für unvollkommene Rückkühlung würde der Zickzacklauf a2b2a3b3... ansteigend verlaufen und zu einem Endpunkte führen, der zwischen b4 und (b) gelegen, den Arbeitsaufwand bestimmen würde. 3. Die Gasturbine. Auf dieses in seiner praktischen Ausführungsmöglichkeit noch ungeklärte und umstrittene Gebiet soll hier nur insoweit eingegangen werden, als die Benützung des T-Q-Diagrammes zur Verfolgung des Arbeitsvorganges gezeigt werden möge; dagegen wird von einer kritischen Besprechung der bis jetzt versuchten Lösungen des Problem es als über den Rahmen dieser Abhandlung reichend abgesehen. Es seinen nur kurz die hauptsächlichen Umstände erwähnt, welche sich der Gasturbine als einem rationellen hochwertigen Wärmemotor entgegenstellen. Einerseits wird für die hohe Kompression von Gas und Luft ein verhältnismäßig großer Teil der Turbinenleistung aufgezehrt, was namentlich bei der Ausführung eines von der Turbine selbst angetriebenen Turbokompressors wegen seines bei hohen Veidichtungsspannungen mäßigen Wirkungsgrades die Gesamtausnützung der verfügbaren Energie sehr ungünstig beeinflußt. Andererseits liegt eine Schwierigkeit in der Bewältigung der hohen Temperaturen der Verbrennungsprodukte beim Eintritt in das Turbinenlaufrad. Diese sind wegen der in den Düsen hinzutretenden Reibungswärme wesentlich höher als die theoretischen Werte, und es erscheint daher geboten, sie durch Wassereinspritzung in den Verbrennungsraum herabzumindern. Es ergibt sich aus diesem Umstände aber jedenfalls die Notwendigkeit, das gesamte Druckgefälle in einer einzigen Stufe in kinetische Energie umzusetzen, so daß eine Verringerung der Umlaufzahl nur durch Geschwindigkeitsstufen zu erzielen ist. Schließlich geht mit den nach Passieren des Laufrades abziehenden Verbrennungsprodukten ein großer Teil der zugeführten Wärme verloren, und es werden daher Regenerierungen dieser Wärmebeträge am Platze sein. Mit Bezug auf die hier gestreiften Fragen sei im übrigen auf die schon recht beträchtliche Literatur über dieses Gebiet verwiesen, und erwähne ich, ohne auf Vollständigkeit Anspruch zu erheben, einige der einschlägigen Werke und Arbeiten.Stodola, Die Dampfturbinen, 5. Aufl., S. 968 und d. F.Ostertag, Die Entropiediagramme der Verbrennungsmotoren, Berlin, Springer, 1912.Holzwarth, Die Gasturbine.Eyermann und Schulz, Die Gasturbinen, Berlin, Springer, 1917.Magg, Untersuchungen über die wirtschaftlichen Aussichten der Gasturbine, Z. f. d. ges. Turbinenwesen 1914 und 1915.Borger, Beitrag zur Regelung der Gleichdruckverbrennungsturbine, Z. f. d. ges. Turbinenwesen 1919. Im Folgenden soll nun an Hand einer Abbildung die Darstellung eines Gasturbinenprozesses im T-Q-Diagramme kurz besprochen werden. Und zwar zeigt Abb. 20 das Bild einer Gleichdruckgasturbine ohne Wassereinspritzung. Der Arbeitsvorgang zerfällt wie bei allen Turbinen einerseits in die Erzeugung der kinetischen Energie und andererseits in die Abgabe eines Teiles derselben an das Laufrad der Turbine. In dem Diagramme wird der Arbeitsaufwand für die Kompression des Gas-Luftgemisches sowie das für die Geschwindigkeitserzeugung verfügbare Wärmegefälle ersichtlich, während die Arbeitsweise der Verbrennungsprodukte im Laufrade ebenso wie bei den Dampfturbinen an Hand von Geschwindigkeitsplänen zu verfolgen wäre. In der Abb. ist der Einfachheit halber eine bloß dreistufige Kompression mit vollkommener Rückkühlung auf die Anfangstemperatur eingezeichnet, deren Konstruktion bei Ausführung eines Turbokompressors nach Abb. 19 des vorigen Abschnittes vorzunehmen wäre, und in der Strecke 12 den Arbeitsaufwand für die Verdichtung ergeben würde. Hieran schließt in Strecke 23 die Verbrennung unter Zuführung der Wärmetönung \frakfamily{H} an; diese Größe wurde zur Bestimmung des Punktes 3 in bekannter Weise von λ1 nach ρ1 aufgetragen und die Parallele zur Richtung konstanten Druckes bis zum Schnitte mit der Wärmeparabel gezogen. Es sei erwähnt, daß analog den Diagrammausmittlungen der Verbrennungsmotoren auch hier infolge der Aenderung der chemischen Zusammensetzung des Arbeitsmittels mit zwei verschiedenen Wärmeparabeln vor und nach der Verbrennung zu rechnen wäre. Textabbildung Bd. 337, S. 148 Abb. 20. Die vom Punkte 3 folgende Expansion führt auf die Anfangsspannung p1 zurück. Mit einer den Druckkurven des vorigen Abschnittes analogen Kurve a–b kann man den Expansionsendpunkt im Diagramme unmittelbar aufsuchen. Zur Konstruktion der Kurven wurden gemäß dem vorliegenden Druckverhältnisse p3/p1 die Temperaturen T1 für mehrere Exponentenwerte n aus der Gleichung \frac{T_3}{T_1}=\left(\frac{p_3}{p_1}\right)^{\frac{n-1}{n}} ermitteltSiehe hiezu Abschnitt Kompressoren. und auf den zugehörigen Polytropenstrahlen eingetragen, womit der Kurverlauf bestimmt ist. Die reibungsfreie adiabatische Expansion würde längs der nach Punkt 3 äquidistant horizontal verschobenen Wärmeparabel bis zum Schnitte mit der Kurve ab nach Punkt 40 führen, was eigentlich wieder das Ersetzen des Parabelastes durch die der Sehnenrichtung 340 entsprechende Polytrope bedeuten würde. Das für die Erzeugung der kinetischen Energie beim Düsenaustritt verfügbare theoretische Wärmegefälle H' wäre nun durch die Strecke C040 gegeben. Hievon ist der in den Düsen auftretende Gefällverlust in Abzug zu bringen. Infolge der während der Expansion an die Verbrennungsprodukte abgegebenen Reibungswärme ist, wie bekannt, ihr Wärmeinhalt am Ende größer als bei rein adiabatischer Expansion, und würde uns bei vorausgesetztem polytropischen Uebergange etwa zu Punkt 4 führen. Das tatsächlich verfügbare Wärmegefälle H ist daher nach den abgeleiteten allgemeinen Beziehungen durch die Strecke cd dargestellt, und wir ersehen den Verlust gegenüber der theoretischen Expansion in Strecke de = H' – H. Von der gesamten Reibungswärme d4 geht daher für die Geschwindigkeitserzeugung nur der Teil de verloren, während der Wert e4 – wie bei den Dampfturbinen – als rückgewonnene Reibungswärme anzusehen wäre. Die Eintrittsgeschwindigkeit c1 in das Laufrad wäre sonach aus \overline{c\,d}=H=A\,.\,\frac{{c_1}^2}{2\,g} zu berechnen. Bezeichnen wir den Wirkungsgrad des Laufrades mit ηr, der den Austrittsverlust und die übrigen Verlustwerte berücksichtigen möge, ergibt sich die im Rade ausgenützte Energie mit ηr . H, die in Strecke 2–5 aufgetragen wurde. Die Nutzleistung der Turbine ist dann durch die Strecke 1–5 gegeben, die durch Division durch die Wärmetönung in \eta_w=\frac{1-5}{\frakfamily{H}} zum wirtschaftlichen Wirkungsgrade der Anlage führen würde.