Kleinere Mitteilungen. Kleinere Mitteilungen. Ableitung der Summenformeln arithmetischer Reihen mit Hilfe von Momenten. I. Werden auf dem Balken AB n Lasteinheiten nach Art der Fig. 1 verteilt, so wird die Reaktion A=\frac{n}{2} und daher lautet die Momentengleichung für Punkt B: 1\,\cdot\,a+1\,\cdot\,(a+d)+1\,\cdot\,(a+2\,d)+....1\,\cdot\,[a+(n-1)\,d]=\frac{n}{2}\,\cdot\,[2\,a+(n-1)\,d] Textabbildung Bd. 317, S. 740 Fig. 1. Nach Fig. 1a ergiebt sich für Σ (n): 1\,\cdot\,1+1\,\cdot\,2+1\,\cdot\,3+....1\,\cdot\,n=\Sigma\,(n)=\frac{n}{2}\,\cdot\,(n+1) Textabbildung Bd. 317, S. 740 Fig. 1a. Fig. 1b liefert als Summenformel der ungeraden Zahlen: 1\,\cdot\,1+1\,\cdot\,3+1\,\cdot\,5+....1\,\cdot\,(2\,n-1)=\frac{n}{2}\,\cdot\,2\,n=n^2 Textabbildung Bd. 317, S. 740 Fig. 1b. und für die Summe der geraden Zahlen erhält man nach Fig. 1c: 1\,\cdot\,2+1\,\cdot\,4+1\,\cdot\,6+...1\,\cdot\,2\,n=\frac{n}{2}\,\cdot\,2\,(n+1)=n\,(n+1) Textabbildung Bd. 317, S. 740 Fig. 1c. II. Bestimmung von Σ (n2). Wird die in Fig. 2 angenommene Belastungsfläche zunäghst als Summe von Rechtecken und dann als Summe von Dreiecken aufgefasst, so entsteht in Bezug auf B das statische Moment: 1\,\cdot\,\frac{1}{2}+2\,\cdot\,\frac{2}{2}+3\,\cdot\,\frac{3}{2}+.... n \,\cdot\,\frac{n}{2}=n\,\cdot\,\frac{n}{2}\,\cdot\,\frac{n}{3}+\frac{n}{2}\,\left[\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\,(n-1)\right] \begin{array}{rcl}\Sigma\,(n^2)&=&\frac{n^3}{3}+n\,\left(\frac{1}{2}\,n+\frac{1}{6}\right)\\ &=&\frac{n}{6}\,\left[2\,n^2+2\,n+n+1\right]\\ &=&\frac{1}{6}\,n}\,(n+1)\,(2\,n+1) \end{array} Textabbildung Bd. 317, S. 740 Fig. 2. Zwischen Σ (n2) und Σ (n) besteht folglich noch die Bezeichnung \Sigma\,(n^2)=\frac{2\,n+1}{3}\,\Sigma\,(n). III. Bestimmung von Σ (n3). Die in Fig. 3 gewählte Belastungsfläche werde einmal als Summe von Quadraten, sodann als Summe langgestreckter Rechtecke angesehen; bestimmt man für beide Fälle das Lastmoment in Bezug auf B, so folgt: 1^2\,\cdot\,\frac{1}{2}+2^2\,\cdot\,\frac{2}{2}+3^2\,\cdot\,\frac{3}{2}+...n^2\,\cdot\,\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\,\Sigma\,(n)+\frac{3}{2}\,\left[\Sigma\,(n)-1\right]+\frac{5}{2}\,[\Sigma\,(n)-(1+2)]+...\frac{2\,n-1}{2}\,\left[\Sigma\,(n)-\sum_0^{n-1}\,(n)\right] \begin{array}{rcl}\Sigma\,(n^3)&=&[1+3+5+...\,(2\,n-1)]\,\Sigma\,(n)-\Sigma\,(2\,n-1)\,\sum_0^{n-1}\,(n)\\ &=&n^2\,\cdot\,\Sigma\,(n)-\frac{1}{2}\,\Sigma\,n\,(n-1)\,(2\,n-1)\\ &=&n^2\,\cdot\,\Sigma\,(n)-\frac{1}{2}\,\left[2\,\Sigma\,(n^3)-3\,\Sigma\,(n^2)+\Sigma\,(n)\right] \end{array} Textabbildung Bd. 317, S. 740 Fig. 3. 2\,\cdot\,\Sigma\,(n^3)=\left(n^2-\frac{1}{2}\right)\,\Sigma\,(n)+\frac{3}{2}\,\Sigma\,(n^2)=\left(n^2-\frac{1}{2}+\frac{2\,n+1}{2}\right)\,\Sigma\,(n)-n\,(n+1)\,\Sigma\,(n) \Sigma\,(n^3)=\frac{n}{2}\,(n+1)\,\Sigma\,(n)=\frac{n^2\,\cdot\,(n+1)^2}{4}=[\Sigma\,(n)]^2 IV. Bestimmung von Σ (n4). Mit der in Fig. 4 angenommenen Belastung ergiebt sich für Punkt B: Textabbildung Bd. 317, S. 740 Fig. 4. 1^3\,\cdot\,\frac{1}{2}+2^3\,\cdot\,\frac{2}{2}+3^3\,\cdot\,\frac{3}{2}+...n^3\,\cdot\,\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\,\Sigma\,(n^3)+\frac{3}{2}\,\left[\Sigma\,(n^2)-1^2\right]+\frac{5}{2}\,\left[\Sigma\,(n^2)-(1^2+2^2)\right]+...\frac{2\,n-1}{2}\,[\Sigma\,(n^2)-\sum_0^{n-1}\,(n^2)] \begin{array}{rcl} \Sigma\,(n^4)&=&[1+3+5+...(2\,n-1)]\,\cdot\,\Sigma\,(n^2)-\Sigma\,(2\,n-1)\,\sum_0^{n-1}\,(n^2)\\ &=& n^2\,\cdot\,\Sigma\,(n^2)-\frac{1}{6}\,\Sigma\,(2\,n-1)^2\,(n-1)\,\cdot\,n\\ &=& n^2\,\cdot\,\Sigma\,(n^2)-\frac{1}{6}\,\Sigma\,(4\,n^2-8\,n^3+5\,n^2-n)\end{array} \begin{array}{rcl}10\,\Sigma\,(n^4)&=&(6\,n^2-5) \,\Sigma\,(n^2)+8\,\Sigma\,(n^3)+\Sigma\,(n)\\ &=&[(6\,n^2-5)\,\cdot\,\frac{2\,n+1}{3}+4\,n\,(n+1)+1]\,\Sigma\,(n)\\ &=& \left(4\,n^3+6\,n^2+\frac{2}{3}\,n-\frac{2}{3}\right)\,\Sigma\,(n)\end{array} \begin{array}{rcl}60\,\Sigma\,(n^4)&=&(12\,n^3+18\,n^2+2\,n-2)\,\cdot\,n\,(n+1)=12\,n^5+30\,n^4+20\,n^3-2\,n \end{array} \Sigma\,(n^4)=\frac{1}{5}\,n^5+\frac{1}{2}\,n^4+\frac{1}{3}\,n^3-\frac{1}{30}\,\cdot\,n Carl Herbst, Dipl.-Ing. Parabelkonstruktion. Ist von einer Parabel der Punkt P0, der Scheitel S und die Achsenrichtung gegeben, so kann man den zwischen P0 und S liegenden Teil der Parabel auch mit Hilfe der aus der Figur ersichtlichen Konstruktion finden. Textabbildung Bd. 317, S. 740 Fig. 5. Der Beweis gestaltet sich folgendermassen. Es ist: AB : P0 Q0 = SB : SQ0 = SC : SQ0 y\,:\,y_0=S\,C\,:\,x_0=\sqrt{x\,\cdot\,x_0\,:\,x_0} daher y^2\,:\,{y_0}^2=x\,:\,x_0 Carl Herbst.