Die Folge dieser Einflüsse ist eine Verschiebung der Schwingungszahl, das Auftreten mehrerer, dicht bei einander liegenden Schwingungszahlen, die für die Maschine den gefährlichen Bereich verbreitern. Ueber die Größe dieser Einflüsse kann im wesentlichen nur der Versuch aufklären. In einzelnen Fällen kann eine Nachrechnung wenigstens in der Richtung Auskunft geben, in welcher Größenordnung sich der Unterschied der Schwingungszahlen bewegt und ob es sich lohnt bzw. erforderlich ist, den betreffenden Einfluß näher zu untersuchen und zu beachten.

So zeigen die Formeln, daß eine Aenderung des Elastizitätsmoduls um einige Prozent eine Aenderung der kritischen Tourenzahlen um die Hälfte dieses Prozentsatzes in demselben Sinne zur Folge hat.

Für ein Maschinenaggregat, dessen Welle in zwei aufeinander senkrecht stehenden radialen Längsebenen verschieden große Trägheitsmomente besaß, lag die eine kritische Drehzahl über 20 % höher als die andere. Wenn auch der Fehler der ersten Annäherung bei wirklich ausgeführten Wellen meist kleiner ist, als bei glatten Wellen, und sich etwa in der Größe von 3–5 % hält, ist es möglich, daß eine kritische Drehzahl vorhanden ist, die über 25 % höher liegt, als die berechnete.

Allgemein kann man annehmen, daß die wirklichen kritischen Drehzahlen höher liegen, als die gerechneten. Liegt die Betriebstourenzahl erheblich niedriger, so wird immer genügend Sicherheit vorhanden sein. Umgekehrt ist jedoch Vorsicht geboten, dann kann aber der Durchgang durch die Krise beobachtet werden. Stellt man die bei den Proben und aus dem Betrieb gewonnenen Ergebnisse systematisch zusammen, so wird man leicht die erforderlichen Grundlagen für die richtige Beurteilung neuer Konstruktionen schaffen.

Schließlich ist noch zu beachten, daß jede Rechnung für die Lagerung der Wellen eindeutige Verhältnisse zugrunde legen muß. Das Lagerspiel wird die kleinen Neigungen der frei aufliegenden Welle anfänglich meist gestatten. Bei stärkerer Ausbildung der Schwingung tritt aber eine Begrenzung in den Lagern ein, die sich dem Zustand der Einspannung mehr oder weniger nähert. Da hierfür die Eigenschwingungszahlen wesentlich höher liegen, tritt die Welle außer Resonanz, es treten dann Stöße in den Lagern auf, die zwar unangenehm, aber vielleicht ungefährlicher sind, als die Folgen eines zunehmenden Schwingungsausschlages ohne die Stöße.

Bei der theoretischen Ableitung des Zustandes eines Maschinenaggregates ergeben sich außer der Krise bei Uebereinstimmung der Drehzahl mit der Biegungsschwingungszahl noch weitere gefährliche Drehzahlbereiche, wenn die Drehzahl gleich der Summe oder Differenz von Biegungs- und Torsionsschwingungszahl ist. Da Erfahrungen hierüber noch nicht bekannt geworden sind, scheinen diese Krisen bisher noch keine Schwierigkeiten bereitet zu haben.

Nachstehend ist die Theorie der Berechnung der Biegungseigenschwingung kurz dargestellt:

1. Gewichtslose Welle mit einer Masse.

Die Differentialgleichung der Schwingung lautet:

m\,\frac{\delta^2\,y}{\delta\,t^2}=-c\,y mit der Lösung y = a sin η t; \eta=\sqrt{\frac{c}{m}}

m ist die Masse, c die Federkraft der Welle pro Durchbiegungseinheit, die durch die elastischen Eigenschaften und die Art der Lagerung der Welle bestimmt wird. Eine Kraft P = m g (g = Erdbeschleunigung) verursacht eine größte Durchbiegung der Welle von f-\frac{P}{c}-\frac{mg}{c}. Setzt man hieraus m=\frac{c\,f}{g} in die Formel der kritischen Tourenzahl n_{\kappa}=\frac{31}{\pi}\,\eta ein, so ergibt sich die Föppelsche Formel: n_{\kappa}=\sim\,300\,\sqrt{\frac{g}{f}}.

2. Welle mit wechselndem Trägheitsmoment Ix und wechselnder Masse pro Längeneinheit qx. Der Elastizitätsmodul sei E. Dann lautet die Differentialgleichung:

\frac{\delta^2}{\delta\,x^2}\,\left(E\,I_x\,\frac{\delta^2\,y}{\delta\,x^2}\right)=-q_x\,\frac{\delta^2\,y}{\delta\,t^2}.

Die Lösung der Gleichung hat die Form y = f0(x) ∙ f(t) Da die Welle in allen Teilen mit der gleichen Periode und Phase schwingt, muß f(t) die Form haben sin ηt. Die f0(x) ist die Form der Welle bei größtem Schwingungsausschlag. Mit \frac{\delta^2\,y}{\delta\,t^2}=-f_0\,(x)\,\eta^2 ergibt sich:

\frac{\delta^2}{\delta\,x^2}\,\left(E\,I_x\,\frac{\delta^2\,y}{\delta\,t^2}\right)\ \ \ \ \ \ q_x\,f_0\,(x)\,\eta^2\,sin\,\eta\,t.

Damit lautet die Lösung:

y=\eta^2\,sin\,\eta\,t\,\int\limits_0^1\,d\,x\,\int\limits_0^1\frac{d\,x}{E\,I_x}\,\int\limits_0^1\,d\,x\,\int\limits_0^1\,q_x\,f_0\,(x)\,d\,x.

Da aber y = f0(x) sin η t, so folgt:

\eta^2=\frac{f_0\,(x)}{\int\limits_0^1\,d\,x\,\int\limits_0^1\frac{d\,x}{E\,I_x}\,\int\limits_0^1\,d\,x\,\int\limits_0^1\,q_x\,f_0\,(x)\,d\,x}\ \ \frac{f_0\,(x)}{f_1\,(x)}

f1(x) gibt ebenso wie f0(x) für jedes x einen bestimmten Wert es muß daher \frac{f_0\,(x)}{f_1\,(x)} an jeder Stelle der Welle denselben Wert η2 ergeben, da η2 für die ganze Welle gleich groß ist.

Nimmt man nun irgend eine der Welle angepaßte Durchbiegungsform f0(x) an, so läßt sich f1(x) berechnen. Zeigt sich f1(x) nicht f0(x) proportional, so war f0(x) nicht richtig geschätzt. Mann nimmt nun f1(x) als Durchbiegungsform an, berechnet das vierfache Integral damit zu f2(x) und prüft ob f1(x) und f2(x) genügend proportional verlaufen. Das Verfahren wird solange fortgesetzt, bis eine hinreichende Genauigkeit erzielt ist, dann wird

\eta^2=\frac{f_{(n-1)}\,(x)}{f_n\,(x)}.

Meistens wird als f0(x) eine gerade Linie mit der überall gleichen Durchbiegung 1 zu Grunde gelegt und außerderdem statt der Massen qx deren Gewichte px eingesetzt.

Natürlich verlaufen f0(x) = 1 und f1(x) niemals proportional und der Wert für η2 ist an allen Stellen der Welle verschieden. Setzt man jedoch den größten Wert von f1(x) = f0 ein, so zeigt sich, daß im allgemeinen bereits ein auf einige Prozent genauer Wert für η sich ergibt, der dann wie die Föppelsche Formel lautet:

\eta^2=\frac{f_0\,(x)}{\frac{1}{g}\,f_1\,(x)}=\frac{g}{f_0};\ \eta=\sqrt{\frac{g}{f_0}};\ n_K\,\sim\,300\,\sqrt{\frac{g}{f_0}}

Bei der Berechnung des vierfachen Integrales wurden keine Konstanten eingeführt, trotzdem deren vier multipliziert mit Potenzen von x vorhanden sind, weil ihre Berücksichtigung durch Anpassung der Resultate an die Grenzbedingungen ohne Schwierigkeit unmittelbar erfolgen kann. So genügt das Ziehen der Schlußlinie beim Mohrschen Verfahren der Forderung, daß die Momente, \frac{\delta^2\,y}{\delta\,x^2} bzw. die Durchbiegung y an den Wellenenden gleich 0 sein müssen. Auch bei dem nachfolgend angegebenen rein rechnerischen Verfahren kann diese und außerdem auch die Forderung der Einspannung oder freier Wellenenden unmittelbar während der Rechnung berücksichtigt werden.

Zur Integration der einzelnen Kurvenabschnitte wird die Trapezberechnung mit Hilfe der Endordinaten ausgeführt. Sind Z(x–1) und \frakfamily{I}_x die Endordinaten des Abschnittes der Länge Ix so ist das Integral \frac{_{(x-1)}+\frakfamily{I}_x}{2} und die Summierung aller so berechneten Werte liefert das Integral über die ganze Welle. Dabei werden die immer wiederkehrenden Divisionen mit 2, und ebenso die sonst vorkommenden Divisionen und Multiplikationen mit Konstanten zum Schluß oder an einer sonst bequemen Stelle der Rechnung ausgeführt. Die beim dritten Integral erforderliche Division mit Ix erfolgt zweckmäßig gleichzeitig mit der Multiplikation mit Ix.

Das folgende Beispiel läßt den Gang der Rechnung für eine an den Enden gestützte Welle erkennen. Als Grundlagen müssen die Längen der einzelnen Wellenabschnitte, in cm die äquatorialen Trägheitsmomente der Querschnitte in cm4 und ihre Gewichte in kg vorliegen. Die Welle ist in soviel Abschnitte zu unterteilen, als erforderlich ist, daß für jeden Abschnitt das Trägheitsmoment und die laufende Gewichtsbelastung konstant ist. Auf die Welle aufgebrachte Lasten werden entsprechend ihrem Sitz auf die Abschnitte gleichmäßig verteilt. Ergeben sich einzelne besonders lange Abschnitte, so sind sie in kleinere zu unterteilen, so daß die Länge aller Abschnitte von möglichst gleicher Größenordnung ist. Besonders gilt dies für Abschnitte mit großem Gewicht oder kleinem Trägheitsmoment. Je gleichmäßiger die Unterteilung ist, um so genauer wird das Resultat. Doch ist dabei die Genauigkeit der Rechnung selbst zu berücksichtigen, die bei Benutzung des kleinen Rechenschiebers höchstens vier Ziffern ergibt.

Kurze Konusstücke können mit ihrem mittleren Gewicht und Trägheitsmoment eingesetzt werden. Längere werden zweckmäßig unterteilt.

Das erste Integral stellt den Verlauf der Gewichtsbelastung der Welle dar, wenn, wie üblich, f0(x) = 1 gesetzt wird. Es kann daher unmittelbar durch Berechnung der Gewichte der einzelnen Abschnitte angegeben werden. Wird ein anderer Verlauf für f0(x) oder bei den folgenden Annäherungsrechnungen f1(x) angenommen, so werden die Gewichte der einzelnen Abschnitte mit den mittleren Ordinaten der angenommenen Funktion für den jeweiligen Abschnitt multipliziert und als neue Gewichte eingeführt.

Im einzelnen gestaltet sich die Rechnung dann folgendermaßen:

Man legt eine Tabelle (I) an und setzt in die erste vertikale Spalte die Nummer der Positionen, entsprechend der Anzahl der Wellenabschnitte, mit 0 beginnend, ein. Dabei bedeutet die Positionsnummer, daß der Abschnitt links von ihr gemeint ist.

Die erste Spalte enthält die Längen der Abschnitte. Die erste Position ist hier gemäß vorstehender Definition stets = 0.

Tabelle I.