XLVII. Beantwortung der Frage: wie man das Flugrad und die Rolle nach einer gegebenen Laͤnge der Schnur an der Drehebank anbringen muß; von Hrn. Edward Sang, Lehrer der Mathematik zu Edinburgh. Aus Jameson's Edinburgh new philosophical Journal, Januar – Maͤrz 1831, S. 239. Sang, uͤber die Anbringung der Schnur am Flugrad der Drehbank. Wer mit der Drehbank zu arbeiten pflegt, weiß wie haͤufig man die Geschwindigkeit der Spindel abaͤndern muß. Jedes verschiedene Material, welches man bearbeitet, – jeder Durchmesser der verschiedenen Theile des Gegenstandes, – und fast jedes verschiedene Werkzeug, welches man zum Einschneiden desselben verwendet, – erfordert eine besondere Geschwindigkeit. Am schnellsten kann man die Geschwindigkeit auf die Art veraͤndern, daß man zwei Reihen Schnurenlaͤufe anbringt, eine Reihe im Rande des Flugrades und eine entsprechende in demjenigen der Rolle, so daß dieselbe Schnur auf jedes Paar derselben paßt. Wenn man die Schnur kreuzt, so ist es nicht schwierig diese Laͤufe herzustellen, denn so lange die Summe der Durchmesser des Rates und der Rolle sich gleich bleibt, veraͤndert sich die Laͤnge der Schnur nicht. Wir brauchen also nur den Durchmesser der Rolle um so viel zu vergroͤßern, als wir denjenigen des Flugrades vermindern und dieselbe Schnur wird dann auf jedes Paar der nach dieser Regel gebildeten, Laͤufe passen, sie mag was immer fuͤr eine Dike haben. Wird hingegen die Schnur nicht gekreuzt, so ist es viel muͤhsamer die Laͤufe gehoͤrig anzubringen und die hiezu erforderlichen Berechnungen sind so lang und verwikelt, daß sie nur die wenigsten von den Personen, welche Drehbaͤnke verfertigen, anstellen koͤnnen; man hilft sich daher in diesem Falle meistens durch oͤfteres Probiren Meine Absicht ist, diese Berechnungen so einfach zu machen, daß sie den, Geschaͤftsleuten keine großen Schwierigkeiten darbieten koͤnnen; ich werde daher die verwikelten, trigonometrischen Berechnungen ganz zu umgehen suchen, und nur solche Ausdruͤke gebrauchen, welche man in den Werkstaͤtten versteht. Um die anzustellenden Berechnungen moͤglichst zu verkuͤrzen, habe ich Tabellen entworfen. Eine Tabelle, welche der Kuͤnstler bloß nachzuschlagen brauchte, um alle Berechnung zu ersparen, muͤßte die Laͤnge der Schnuͤre fuͤr alle Rollen und Flugraͤder, die in verschiedenen Entfernungen von einander angebracht sind, enthalten und eine solche kann man natuͤrlich nicht herstellen. Ich will nun die Grundsaͤze angeben, nach welchen ich die unten folgende entworfen habe. Wenn wir einmal eine Tabelle uͤber die Laͤnge der Schnuͤre haben, welche auf verschiedenartige Flugraͤder und Rollen passen, die aber immer in derselben Entfernung von einander angebracht sind, so ist es nicht sehr schwierig, daraus die Laͤnge der Schnur fuͤr eine Drehbank, deren Achsen in einer verschiedenen Entfernung von einander angebracht sind, abzuleiten. Man denke sich alle Theile der zulezt erwaͤhnten Drehbank nach Verhaͤltniß veraͤndert, bis die Entfernung zwischen ihren Achsen gleich der Entfernung zwischen den Achsen der vorigen ist, so wird man ihre Theile unter den in der Tabelle enthaltenen finden. Die Schnurlaͤnge, welche man fuͤr diese Groͤße fand, braucht nur in dem gehoͤrigen Verhaͤltniß abgeaͤndert zu werden, um die gesuchte Laͤnge zu geben und dasselbe gilt fuͤr jede andere Dimension. Wenn man die Durchmesser des Rades und der Rolle vergroͤßert, so werden, wie Jedermann einsieht, die Laͤnge der Schnur, der Umfang des Rades und der Umfang der Rolle, alle drei ebenfalls groͤßer; so lange die Differenz zwischen den Durchmessern des Rades und der Rolle sich gleich bleibt, wird der Ueberschuß der Schnur uͤber den Umfang des Flugrades, so wie auch ihr Ueberschuß uͤber den Umfang der Rolle ebenfalls unveraͤndert seyn. Nun kann man aber leicht den Umfang eines Rades berechnen, wenn sein Durchmesser bekannt ist, daher wir bloß eine Tabelle fuͤr den Ueberschuß der Schnur uͤber den Umfang der Rolle und uͤber den Umfang des Flugrades brauchen, welcher jeder Differenz zwischen den Durchmessern dieser Raͤder entspricht. Unten folgt eine Tabelle dieser Ueberschuͤsse, welche ich mit der moͤglichsten Genauigkeit ausarbeitete. Die erste Spalte enthaͤlt die Differenzen zwischen den Durchmessern des Flugrades und der Rolle in Decimaltheilen der Entfernung zwischen ihren Achsen angegeben, welche durchaus als Einheit angenommen ist. In der zweiten Spalte findet man die correspondirenden Ueberschuͤsse der Laͤnge der Schnur uͤber diejenige des Umfangs der Rolle mit ihren Differenzen. Die dritte Spalte enthaͤlt die Ueberschuͤsse der Laͤnge der Schnur uͤber den Umfang des Flugrades mit ihren Differenzen. Die Zahlen in der ersten und zweiten Spalte nehmen immer zu, aber diejenigen in der dritten ab. Man muß immer alle Dimensionen der Drehbank mit der Zahl, welche die Entfernung zwischen den Achsen ausdruͤkt, dividiren, ehe man irgend eine davon in den Tabellen aufsucht und die mit der Tabelle erhaltenen Resultate muß man wieder mit der vorher als Divisor gebrauchten Zahl multipliciren, um die gesuchten Groͤßen zu erhalten. Man kann aber diese Berechnung vermeiden, wenn man sich einen Maßstab der Zehntels-, Hundertstels- und Tausendstels-Theile der Entfernung zwischen den Achsen macht und diesen Maßstab bei allen Messungen gebraucht. Lezteres Verfahren duͤrfte man wohl am bequemsten finden. Ich will hier die Aufloͤsung der folgenden beiden Fragen als Beispiele fuͤr den Gebrauch der Tabellen mittheilen: I. Auf der Rolle einer Drehbank sind bereits zwei Schnurenlaͤufe, einer von 2,4 und der andere von 5,0 Zoll Durchmesser. Der Mittelpunkt des Flugrades ist 30 Zoll von demjenigen der Rolle entfernt, und der groͤßere Lauf, welcher auf dem Flugrad gemacht werden soll, hat 25 Zoll im Durchmesser. Man sucht den Durchmesser des anderen auf dem Flugrade anzubringenden Laufes? Wenn man alle diese Dimensionen durch 30 dividirt, so erhaͤlt man Eins fuͤr die Entfernung zwischen den Achsen und dieß ist die in der Tabelle angenommene; 0,08 fuͤr den Durchmesser des kleineren, 0,1666 fuͤr den des groͤßeren Schnurenlaufes auf der Rolle, und 0,833 fuͤr den des groͤßeren Schnurenlaufes auf dem Flugrade. Gerade diese Zahlen wuͤrde man auch gefunden haben, wenn man die Dimensionen mit dem oben beschriebenen Maßstabe gemessen haͤtte. Um die Laͤnge der Schnur zu finden, nehmen wir die Differenz zwischen 0,8333 und 0,08, welche 0,75333 ist und suchen diese Zahl in der ersten Spalte der Tabelle. Die naͤchste Zahl welche wir finden koͤnnen, ist 0,75, welcher in der zweiten Spalte 3,32044 gegenuͤbersteht. Um sie fuͤr die noch bleibenden Ziffern 333 zu berichtigen, multipliciren wir mit diesen die Tabellendifferenz 1958 und schneiden so viele Ziffern von der Rechten des Produktes ab, als Ziffern in dem Multiplikator sind: dadurch erhalten wir die Correction 653, welche zu 3,32044 addirt, 3,32697 fuͤr den richtigen Ueberschuß der Schnur uͤber den Umfang der Rolle gibt. Multipliciren wir aber 3,1415926 mit 0,08, dem Durchmesser der Rolle, so erhalten wir 0,25133 fuͤr ihren Umfang; die ganze Laͤnge der Schnur muß also seyn 3,32697 + 0,25133 = 3,57830. Um die Groͤße des neuen in dem Flugrade anzubringenden Schnurenlaufes zu berechnen, bemerken wir, daß, da die Schnur jezt uͤber eine Rolle geht, deren Durchmesser 0,16666 ist, ihr Ueberschuß uͤber den Umfang dieser Rolle, welcher Umfang 0,52360 ist, 3,05470 betraͤgt. Suchen wir diese Zahl in der zweiten Spalte der Tabelle auf, und nehmen die zunaͤchst kleinere, so finden wir 3,05195, welcher 0,61 in der ersten Spalte gegenuͤbersteht; um die Correction fuͤr diese Zahl zu erhalten, dividiren wir 275, den Irrthum, durch 1884, der Tabellendifferenz, indem wir der Zahl 275 so viele Ziffern anhaͤngen als wir neue Decimalstellen zu erhalten wuͤnschen: das Resultat dieser Division ist 146, daher die wahre Differenz zwischen den Durchmessern des Flugrades und der Rolle 0,61146; der Durchmesser der Rolle ist aber 0,16667, folglich derjenige des Flugrades 0,77813. Multiplicirt man diese beiden Resultate mit 30, so erhaͤlt man fuͤr die Laͤnge der Schnur 107,349 Zoll, fuͤr den Durchmesser des neuen Laufes 23, 344 Zoll. II. Die Entfernung zwischen den Achsen einer Drehbank sey 32 Zoll und zwei Laͤufe auf dem Flugrade sollen 38 und 34 Zoll zu ihrem Durchmesser haben: der kleinere Lauf auf der Rolle soll 3 Zoll im Durchmesser haben: man sucht die Groͤße des anderen? Wenn man alle Dimensionen durch 32 dividirt, so erhaͤlt man fuͤr die Durchmesser der Raͤder 1,1875 und 1,0625 und fuͤr denjenigen des kleineren Laufes auf der Rolle 0,09375. Suchen wir in der ersten Spalte der Tabelle die Zahl 1,09375 auf, welche die Differenz zwischen den Durchmessern des ersten Paares der Schnurenlaͤufe ist, so finden wir in der dritten Spalte, 1,09 gegenuͤber, die Zahl 0,59297; um fuͤr die uͤbrigen Ziffern die Correction zu machen, multiplicirt man 992, die Tabellendifferenz mit 375 und schneidet drei Stellen ab; man erhaͤlt dadurch die Zahl 372, welche von 0,59297 abgezogen werden muß, weil die Zahlen in der dritten Spalte abnehmen. Der wahre Ueberschuß der Schnur uͤber den Umfang des Rades ist also 0,58925. Der Durchmesser des Rades ist aber 1,1875, folglich sein Umfang 3,73064 und die ganze Laͤnge der Schnur 4,31989. Der Umfang des zweiten Laufes auf dem Flugrade ist 3,33794, folglich der Ueberschuß der Schnur uͤber diesen Umfang 0,98195. Sucht man diese Zahl in der dritten Spalte, und nimmt die zunaͤchst groͤßere, so findet man 0,98809 gegenuͤber, 0,73 in der ersten Spalte. Dividirt man den Irrthum 614 durch 1195, der Tabellendifferenz, so erhaͤlt man die Zahl 514, welches 0,73 angehaͤngt, 0,73514 fuͤr die wirkliche Differenz zwischen den Durchmessern gibt. Der Durchmesser des Rades ist aber 1,0625, folglich derjenige der Rolle 0,32736. Multiplicirt man diese Resultate mit 32, so erhaͤlt man: fuͤr die Laͤnge der Schnur 138,2365 Zoll. fuͤr den Durchmesser des neuen Laufes   10,4755   – Wollte man die Dike der Schnur (des Laufbandes) auch beruͤksichtigen, so braucht man nur zu den berechneten Laͤngen den Umfang eines Kreises, welcher die Dike der Schnur (des Laufbandes) zu seinem Durchmesser hat, zu addiren; der Durchmesser der Laͤufe bleibt sich deßwegen doch gleich. Was die Genauigkeit dieser Berechnungen betrifft, so kann ich bemerken, daß der Irrthum bei keinem Durchmesser mehr als den tausendsten Theil eines Zolles betragen kann und diesen Grad von Genauigkeit werden wohl Wenige erreichen wollen. Differenz der Durchmesser. Ueberschuß der Laͤnge  der Schnur uͤber den    Umfang der Rolle. Ueberschuß der Laͤnge  der Schnur uͤber den Umfang des Flugrades. 0,00 2,00000 1573 2,00000 1568 0,01 2,01573 1579 1,98432 1564 0,02 2,03152 1583 1,96868 1558 0,03 2,04735 1588 1,95310 1553 0,04 2,06323 1593 1,93757 1548 0,05 2,07916 1599 1,92209 1544 0,06 2,09515 1603 1,90665 1538 0,07 2,11118 1608 1,89127 1533 0,08 2,12726 1614 1,87594 1529 0,09 2,14340 1618 1,86065 1523 0,10 2,15958 1623 1,84542 1518 0,11 2,47581 1629 1,83024 1513 0,12 2,19210 1633 1,81511 1509 0,13 2,20843 1638 1,80002 1503 0,14 2,22481 1644 1,74899 1498 0,15 2,24125 1648 1,77001 1493 0,16 2,25773 1653 1,75508 1489 0,17 2,27426 1659 1,74019 1483 0,18 2,29085 1663 1,72536 1478 0,19 2,30748 1669 1,71058 1473 0,20 2,32417 1673 1,69585 1468 0,21 2,34090 1679 1,68117 1463 0,22 2,35769 1683 1,66654 1458 0,23 2,37452 1689 1,65196 1453 0,24 2,39141 1694 1,63743 1448 0,25 2,40835 1698 1,62295 1443 0,26 2,42333 1704 1,60852 1438 0,27 2,44237 1709 1,59414 1433 0,28 2,45946 1713 1,57981 1428 0,29 2,47659 1719 1,56533 1423 0,30 2,49378 1724 1,55130 1417 0,31 2,51102 1729 1,53713 1413 0,32 2,52831 1734 1,52300 1407 0,33 2,54565 1739 1,50893 1403 0,34 2,56304 1744 1,49490 1397 0,35 2,58048 1749 1,48093 1393 0,36 2,59797 1755 1,46700 1387 0,37 2,61552 1759 1,45313 1382 0,38 2,63314 1765 1,43931 1377 0,39 2,65076 1769 1,42554 1372 Differenz der Durchmesser. Ueberschuß der Laͤnge  der Schnur uͤber den    Umfang der Rolle. Ueberschuß der Laͤnge  der Schnur uͤber den Umfang des Flugrades. 0,40 2,66845 1775 1,41182 1367 0,41 2,68620 1780 1,39815 1362 0,42 2,70400 1785 1,38453 1357 0,43 2,72185 1790 1,37096 1351 0,44 2,73975 1795 1,35745 1347 0,45 2,75770 1800 1,34398 1341 0,46 2,77570 1806 1,33057 1336 0,47 2,79376 1810 1,31721 1331 0,48 2,81186 1816 1,30390 1326 0,49 2,83002 1821 1,29064 1321 0,50 2,84823 1826 1,27743 1315 0,51 2,86649 1831 1,26428 1310 0,52 2,88480 1837 1,25118 1306 0,53 2,90317 1841 1,23812 1300 0,54 2,92158 1847 1,22512 1294 0,55 2,94005 1852 1,21218 1290 0,56 2,95857 1857 1,19928 1284 0,57 2,97714 1863 1,18644 1280 0,58 2,99577 1867 1,17364 1274 0,59 3,01444 1873 1,16090 1268 0,60 3,03317 1878 1,14822 1264 0,61 3,05195 1884 1,13558 1258 0,62 3,07079 1888 1,12300 1253 0,63 3,08967 1894 1,11047 1248 0,64 3,10861 1899 1,09799 1242 0,65 3,12760 1905 1,08557 1237 0,66 3,14665 1910 1,07320 1232 0,67 3,16575 1915 1,06088 1227 0,68 3,18490 1920 1,04861 1221 0,69 3,20410 1926 1,03640 1216 0,70 3,22336 1931 1,02424 1210 0,71 3,24267 1936 1,01214 1206 0,72 3,26203 1942 1,00008 1199 0,73 3,28145 1947 0,98809 1195 0,74 3,30092 1952 0,97614 1189 0,75 3,32044 1958 0,96425 1184 0,76 3,34002 1964 0,95241 1178 0,77 3,35966 1968 0,94063 1173 0,78 3,37934 1974 0,92890 1167 0,79 3,39908 1980 0,91723 1162 0,80 3,41888 1985 0,90561 1157 0,81 3,43873 1991 0,89404 1151 0,82 3,45864 1996 0,88253 1146 0,83 3,47860 2001 0,87107 1140 0,84 3,49861 2007 0,85967 1134 Differenz der Durchmesser. Ueberschuß der Laͤnge  der Schnur uͤber den    Umfang der Rolle. Ueberschuß der Laͤnge  der Schnur uͤber den Umfang des Flugrades. 0,85 3,51868 2013 0,84833 1129 0,86 3,53881 2018 0,83704 1124 0,87 3,55899 2023 0,82580 1118 0,88 3,57922 2029 0,81462 1112 0,89 3,59951 2035 0,80350 1107 0,90 3,61986 2041 0,79243 1101 0,91 3,64027 2046 0,78142 1096 0,92 3,66073 2051 0,77046 1090 0,93 3,68124 2058 0,75956 1089 0,94 3,70182 2062 0,74872 1071 0,95 3,72244 2069 0,73793 1073 0,96 3,74315 2074 0,72720 1067 0 97 3,75387 2080 0,71655 1062 0,98 3,78467 2086 0,70591 1056 0,99 3,80553 2092 0,69535 1050 1,00 3,82645 2097 0,68485 1044 1,01 3,84742 2103 0,67441 1038 1,02 3,86845 2109 0,66403 1033 1,03 3,88954 2115 0,65370 1027 1,04 3,91069 2120 0,64343 1021 1,05 3,93139 2127 0,63322 1015 1,06 3,95316 2132 0,62307 1010 1,07 3,97448 2138 0,61297 1003 1,08 3,99586 2144 0,60294   997 1,09 3,01730 2151 0,59297   992 1,10 4,03881 2156 0,58305   985 1,11 4,06037 2162 0,57320   979 1,12 4,08199 2168 0,56341   974 1,13 4,10367 2174 0,55367   967 1,14 4,12541 2181 0,54400   961 1,15 4,14722 2186 0,53439   956 1,16 4,16908 2193 0,52483   949 1,17 4,19101 2199 0,51534   942 1,18 4,21300 2205 0,50592   937 1,19 4,23505 2211 0,49655   930 1,20 4,25716 2217 0,48725   925 1,21 4,27933 2224 0,47800   917 1,22 4,30157 2230 0,46883   912 1,23 4,32387 2236 0,45971   905 1,24 4,34623 2243 0,45066   899 1,25 4,36866 2249 0,44167   893 1,26 4,39115 2256 0,43274   886 1,27 4,41371 2262 0,42388   879 1,28 4,43633 2268 0,41509   873 1,29 4,45901 2275 0,40636   867 Differenz der Durchmesser. Ueberschuß der Laͤnge  der Schnur uͤber den    Umfang der Rolle. Ueberschuß der Laͤnge  der Schnur uͤber den Umfang des Flugrades. 1,30 4,48176 2282 0,39769   860 1,34 4,50458 2288 0,38909   853 1,32 4,52746 2295 0,38956   847 1,33 4,55041 2302 0,37209   839 1,34 4,57343 2308 0,36370   834 1,35 4,59651 2315 0,35536   826 1,36 4,61966 2322 0,34710   820 1,37 4,64288 2329 0,33890   813 1,38 4,66617 2336 0,33077   805 1,39 4,68953 2343 0,32272   799 1,40 4,71296 2349 0,31473   792 1,41 4,75645 2357 0,30681   785 1,42 4,76002 2364 0,29896   778 1,43 4,78366 2371 0,29118   770 1,44 4,80737 2378 0,28348   764 1,45 4,83115 2386 0,27548   756 1,46 4,85501 2392 0,26828   749 1,47 4,87893 2401 0,26079   741 1,48 4,90294 2407 0,25338   734 1,49 4,92701 2415 0,24604   727 1,50 4,95116 2423 0,23877   719 1,51 4,97539 2430 0,23158   711 1,52 4,99969 2438 0,22447   703 1,53 5,02407 2446 0,21744   696 1,54 5,04853 2454 0,21048   688 1,55 5,07307 2461 0,20360   680 1,56 5,09768 2469 0,19680   673 1,57 5,12237 2478 0,19007   664 1,58 5,14715 2486 0,18343   656 1,59 5,17201 2494 0,17687   647 1,60 5,19695 2502 0,17040   639 1,61 5,22197 2511 0,16401   631 1,62 5,24708 2519 0,15770   623 1,63 5,27227 2528 0,15147   613 1,64 5,29755 2536 0,14534   605 1,65 5,32291 2546 0,13929   597 1,66 5,34837 2554 0,13332   587 1,67 5,37391 2564 0,12745   578 1,68 5,39955 2572 0,12167   369 1,69 5,42527 2582 0,11598   559 1,70 5,45109 2592 0,11039   550 1,71 5,47701 2601 0,10489   541 1,72 5,50302 2611 0,09448   530 1,73 5,52913 2621 0,09418   521 1,74 5,55534 2631 0,08897   510 Differenz der Durchmesser. Ueberschuß der Laͤnge  der Schnur uͤber den    Umfang der Rolle. Ueberschuß der Laͤnge  der Schnur uͤber den Umfang des Flugrades. 1,75 5,58165 2624 0,08387   501 1,76 5,60807 2652 0,07886   489 1,77 6,63459 2662 0,07397   479 1,78 6,66121 2674 0,06918   468 1,79 5,68795 2685 0,06450   407 1,80 5,71480 2696 0,05993   445 1,81 5,74176 2708 0,05548   434 1,82 5,76884 2720 0,05114   421 1,83 5,79604 2733 0,04693   409 1,84 5,82337 2745 0,04284   396 1,85 5,85082 2759 0,03888   383 1,86 5,87841 2772 0,03505   370 1,87 5,90613 2786 0,03135   355 1,88 5,93399 2801 0,02780   341 1,89 5,96200 2816 0,02439   326 1,90 5,99016 2832 0,02113   309 1,91 5,01848 2849 0,01804   292 1,92 5,04697 2867 0,01512   275 1,93 5,07564 2886 0,01237   256 1,94 5,10450 2907 0,00981   235 1,95 6,13357 2929 0,00746   212 1,96 6,16286 2954 0,00334   187 1,97 6,19240 2984 0,00347   158 1,98 6,22224 3020 0,00189   122 1,99 6,25244 3075 0,00067     67 2,00 6,28319 0,00000 Nachdem ich mich nun uͤber die Einrichtung und Gebrauchsweise der vorhergehenden Tabelle auf eine allen praktischen Mechanikern, wie ich hoffe, verstaͤndliche Weise erklaͤrt habe, will ich noch fuͤr diejenigen Personen, welche tiefer in die Sache eingehen wollen, angeben auf welche Art ich sie ausarbeitete. Man bezeichne mit w und p die Durchmesser des Flugrades und der Rolle, mit d ihre Differenz und mit θ die Neigung des freien Theiles der Schnur gegen die Ebene der beiden Achsen, so haben wir sin. θ = d/2 und die Laͤnge jedes freien Theiles der Schnur ist √(1 – d²/4) . Aber die Laͤnge desjenigen Theiles der Schnur, welcher mit dem Rade in Beruͤhrung ist, ist w (π/2 + θ) und des Theiles, welcher mit der Rolle in Beruͤhrung ist, p (π/2 – θ). Die ganze Laͤnge der Schnur ist also √(4 – d²) + w(π/2 + θ) + p(π/2 – θ): fuͤr diesen Ausdruk kann man sezen, entweder √(4 – d²) + d(π/2 + θ) – pπ; oder √(4 – d²) + d(π/2 – θ) – wπ. Der Ueberschuß der Laͤnge der Schnur uͤber den Umfang der Rolle ist also √(4 – d²) + d(π/2 + θ), und ihr Ueberschuß uͤber den Umfang des Flugrades ist √(4 – d²) + d(π/2 – θ). Jeder dieser Ausdruͤke haͤngt bloß von der Differenz d zwischen den Durchmessern w und p ab. Fuͤr die wirkliche Berechnung bemerken wir, daß 4 – d² = (2 + d) (2 – d); und daß δθ = Sec. θ σ sin. θ, wenn σ sin. θ sehr klein ist. Ich will bloß ein Beispiel einer ausfuͤhrlichen Berechnung hier mittheilen. Textabbildung Bd. 40, S. 250-251 Sin.; Irrthum; Log. Sec.; Log. corr.; Ueberschuß der Schnur uͤber die Rolle; Ueberschuß der Schnur uͤber das Flugrad Nachdem ich auf diese Art die Ueberschuͤsse der Schnur fuͤr viele Differenzen der Durchmesser berechnet hatte, bediente ich mich fuͤr die noch fehlenden der Differentialmethode, wobei ich besorgt war wenigstens die sechste Decimalstelle noch vollkommen genau zu erhalten. Ich habe die Zahlen nur bis auf fuͤnf Stellen mitgetheilt und man kann sich also darauf verlassen, daß sie bis auf den hunderttausendsten Theil der Entfernung zwischen den Mittelpunkten genau sind, einen oder zwei Faͤlle vielleicht ausgenommen, wo die weggestrichenen Ziffern 50, 49 oder 51 waren und es also schwer zu entscheiden war, ob die lezte der fuͤnf Ziffern beibehalten oder um Eins vergroͤßert werden sollte. Ich brauche wohl kaum zu bemerken, daß wenn d negativ genommen wird, auch θ negativ wird und daß so die zwei besonderen Formen nur verschiedene Faͤlle einer einzigen sind. Man hat im Grunde alsdann nicht zwei Tabellen, sondern wenn man sich die Zahlen in der dritten Spalte so geschrieben denkt, daß sie mit der lezten anfangen und ruͤkwaͤrts bis zum Anfange der zweiten Spalte gehen und alsdann die zweite Spalte hinab zuruͤkkehren, waͤhrend man die Zahlen in der ersten Spalte von – 2,00 bis + 2,00 laufen laͤßt, so bilden alle Resultate nur eine einzige Reihe. Wenn bei der Drehbank mit gekreuzter Schnur, w und p die Durchmesser bezeichnen, s ihre Summe, so haben wir sin. θ = s/2; die Laͤnge jedes freien Theiles der Schnur ist √(1 – s²/4); die Laͤnge der Schnur, welche mit dem Flugrade in Beruͤhrung ist w (π/2 +0) und des Theiles, welcher mit der Rolle in Beruͤhrung ist w (π/2 + θ); die ganze Laͤnge der Schnur ist also √(4 – s²) + s (π/2 + θ), und dieß ist genau die Formel fuͤr die Zahlen in der zweiten Spalte, wenn man s in d verwandelt. Wenn wir daher die Summe der Durchmesser des Flugrades und der Rolle (plus zwei Mal der Dike der Schnur (des Laufbandes)) in der ersten Spalte aufsuchen, so gibt die gegenuͤberstehende Zahl in der zweiten Spalte die Laͤnge der Schnur, wenn sie gekreuzt ist, an.