Der Reguliervorgang beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator unter Berücksichtigung der Wirkung der Anschläge am Steuerventil. Von Dipl.-Ing. Hans Hiemenz, Assistent an der Großh. Techn. Hochschule zu Darmstadt. (Fortsetzung von S. 278 d. Bd.) Der Reguliervorgang beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator usw. Bevor wir weitergehen, soll zunächst das bereits für den Beharrungszustand angefangene Zahlenbeispiel hier weiter fortgeführt werden. Wir haben zu diesem Zweck als erstes die Konstanten unserer Differentialgleichung 19 zu berechnen und wollen die noch nicht früher erwähnten Rechnungsgrößen hier festsetzen. Es sei: F = 0,0154 qmF bestimmt sich dabei in der von Pfarr für den einfach wirkenden hydrostatischen Regulator angegebenen Berechnungsweise (s. d.S. 768 ff.) unter Annahme von Pa = 85 kg, Pe = 70 kg, R = 8 kg. d = 0,035 m. α = 0,35. h1 = 10 m. ζ = 3. J = 10 kg m2. Außerdem wollen wir, wie schon erwähnt, annehmen, daß von a = 0,94 (MA = a . M1 = 46 m kg) auf b = 0,735 (MB = b . M1 = 36 m kg) entlastet werde. Es ergibt sich nun mit Gl. 19a C2 zu: C_2=\frac{0,0154}{\pi \cdot 0,035 \cdot \sqrt{\frac{2\,g \cdot 0,35 \cdot 10}{3}}}=0,0292. Mit Gl. 19b kommt: C_3=\frac{0,2}{0,4}=0,5. Weiter mit Gl. 19c: C_4=\frac{0,05}{0,06 \cdot 194,5} \cdot \frac{30}{\pi \cdot 10} \cdot \frac{0,2+0,4}{0,4} \cdot \frac{49}{0,21-0,06}=\sim2. Schließlich mit Gl. 19d: K=\frac{0,05}{0,06 \cdot 194,5} \cdot \frac{30}{\pi \cdot 10} \cdot \frac{0,2+0,4}{0,4} \cdot 49 \cdot \left(\frac{0,06}{0,21-0,06}+0,735\right)=0,34. Hiermit lautet unsere Differentialgleichung 19: 0,0292 \cdot \frac{d^2k}{dt^2}+0,5 \cdot \frac{dk}{dt}+2 \cdot k=0,34. und die Werte der ρ bestimmen sich aus: 0,0292 . ρ2 + 0,5 . ρ + 2 = 0 zu: ρ1 = – 6,37 und: ρ2 = – 10,75. Die Gleichungen zur Bestimmung der Konstanten c1 und c2 in Gl. 20 lauten: 0,201=c_1+c_2+\frac{0,34}{2} . . . . . . . . . . (20b) und – 6,37 . c1 – 10,75 . c2 = 0 . . . . . . . . . . (20c) Hieraus ergibt sich: c1 = + 0,0762 und c2 = – 0,0452. Die Gleichung der Kolbenweglinie lautet deshalb unter Beachtung der Gl. 20: k=0,0762 \cdot e^{-6,37 \cdot t}-0,0452 \cdot e^{-10,75 \cdot t}+\frac{0,34}{2}. Die ρ1 und ρ2 in dieser Gleichung sind beide negativ und sie müssen das naturgemäß auch sein, weil ja sonst nicht k mit wachsendem t kleiner werden könnte, wie das aber für den Fall der Entlastung sicher eintreten muß. Zur Bestimmung der einzelnen Werte k mit Hilfe der eben angegebenen Gleichung der Kolbenweglinie bedienen wir uns vorteilhaft eines analytisch-graphischen Verfahrens. Die Gleichung lautet allgemein: k=c_1 \cdot e^{\rho_1 \cdot t}+c_2 \cdot e^{\rho_2 \cdot t}+\frac{K}{C_4} . . . . . . (20) Wir logarithmieren die beiden ersten Summanden der rechten Seite, d.h. wir bilden die Ausdrücke: \mbox{log}\,(c_1 \cdot e^{\rho_1 \cdot t})=\mbox{log}\,c_1+\rho_1 \cdot t \cdot \mbox{log}\,e und: \mbox{log}\,(c_2 \cdot e^{\rho_2 \cdot t})=\mbox{log}\,c_2+\rho_2 \cdot t \cdot \mbox{log}\,e und fassen diese Ausdrücke als Funktionen von t auf. Man sieht, daß ihre Bildkurven Gerade sein werden. Diese Kurven sind in Fig. 4 eingetragen. Auf der Ordinatenachse erscheinen dabei also schließlich Größen, die wir als log. (k), d.h. als Logarithmen von Teilen des Kolbenwegs auffassen können. Wählen wir den Maßstab für die Ordinaten hierbei so, daß wir die Einheit des Logarithmus durch 100 mm ausdrücken, so können wir sehr bequem die Logarithmen auf 3–4 Dezimalstellen ablesen. Die zugehörigen k-Teile werden dann ausreichend genau auf dem Rechenschieber abgelesen und nach Vorschrift der k-t-Gleichung addiert. In dieser Weise ist die als Kurve k(M, l2) bezeichnete Kolbenweglinie in Fig. 5 gefundenIn Fig. 5, 6 und 7 sind die Kurven, soweit sie für den Verlauf ohne Berücksichtigung des Anschlags in Frage kommen, gestrichelt gezeichnet. Der Verlauf, wie er mit Anschlag eintreten wird, ist durch ausgezogene Linien angedeutet. Die strichpunktierten Kurven geben einen angestrebten, in Wahrheit aber nicht erreichbaren Verlauf wieder.. Wir sehen, daß sie bei t = 0 zunächst mit der Steigung Null beginnt, um sehr bald rasch hoch zu steigen und dann ganz allmählich sich asymptotisch dem Wert k = 0,17 zu nähern. Dieser Wert ist früher schon als die Kolbenstellung des neuen Beharrungszustandes berechnet werden. Es zeigt sich demnach, daß bei Nichteinwirkung eines Anschlags am Steuerventil, und solange der zu S. 257 gemachte Vorbehalt (Vor. 8) besteht, der Kolben die Absicht hat, aperiodisch in die dem neuen Beharrungszustand entsprechende Lage überzugehen. Der Theorie nach würde er diese Lage freilich erst bei t = ∞ erreichen, aber wie Fig. 5 zeigt, hat er sie praktisch schon nach t = ∾ 1 Sek. erreicht. Textabbildung Bd. 324, S. 290 Fig. 4. Zur Aufstellung der n -Werte ist zunächst die Konstante A zu berechnen. Sie findet sich zu: (Gl. 21a) A=\frac{30}{\pi \cdot 10} \cdot \frac{(0,94-0,735) \cdot 49}{-10,75+6,37}=\sim-2,19. Weiter ergibt sich: A \cdot \frac{\rho_2}{\rho_1}=-2,19 \cdot \frac{10,75}{6,37}=\sim-3,735 und A \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2}=-2,19 \cdot \frac{6,37}{10,75}=\sim-1,312. Der Wert nB wurde schon früher gefunden zu: nB = 197,62, so daß sich die Gleichung der n-Linie ergibt als: (Gl. 21) n = 197,62 – 3,735 . e– 6,37 . t + 1,312 . e– 10,75 . t. Die Auswertung dieser Gleichung geschieht ganz ähnlich wie zuvor die Berechnung der k-Werte mit dem logarithmischen Hilfsverfahren (s. Fig. 4). (n-Kurve selbst s. Fig. 6). Bei der logarithmischen Berechnung zeigt sich (Fig. 4), daß sich die Hilfskurven je paarweise parallel laufen, wie das in der Natur der Sache liegt, da nur die vor den Ausdrücken eρ . t stehenden Konstanten sich geändert haben. Es werden deshalb alle Ordinaten der entsprechenden vorhergehenden Kurven um das gleiche Stück verkleinert bzw. vergrößert erscheinen müssen. In diesem Parallellaufen liegt aber zugleich, und das ist ein praktischer Vorteil des Verfahrens, eine angenehme Kontrolle auf Rechnungsfehler begründet. Es sollen jetzt ein paar Betrachtungen allgemeinerer Natur folgen, und dann sollen die weiter zu dem begonnenen Zahlenbeispiel gehörigen Kurven besprochen werden. Die allgemeine Gleichung für die Tourenzahl in Abhängigkeit von der Zeit lautete: n=n_B+A \cdot \left\{\frac{\rho_2}{\rho_1} \cdot e^{\rho_1 \cdot t}-\frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot e^{\rho_1 \cdot t}\right\} . . (21) Die hier vorkommenden Werte ρ1 und ρ2 waren dabei, wie früher gezeigt, zu berechnen aus der Beziehung: \rho_{1;2}=\frac{-C_3\,\pm\,\sqrt{{C_3}^2-4 \cdot C_2 \cdot C_4}}{2 \cdot C_2} . . (20a) In unserem Zahlenbeispiel ergab sich: C32 – 4 . C2 . C4 > 0, d.h. wir bekamen reelle Werte ρ1 und ρ2, und zwar zwei negative Werte, wie schon früher ausgeführt. Wir haben deshalb einen schwingungsfreien Uebergang von der Umdrehungszahl des ersten Beharrungszustandes zu der des zweiten zu erwarten. Die Umdrehungszahl, der sich die n-Kurve asymptotisch nähert, stimmt dabei mit der des zweiten Beharrungszustandes überein. Das zeigt sich denn auch tatsächlich in der gestrichelten n-Kurve unseres Beispiels (Fig. 6), wo bei t = 1,0 Sek. die neue Umdrehungszahl fast schon erreicht wäre, wenn nicht vorher die Wirkung des Ventilanschlags eine Aenderung herbeiführen würde. Textabbildung Bd. 324, S. 290 Fig. 5. Servomotorkolbenwege bzw. Momente, Muffenhübe bzw. Steuerventilwege l1 und l2. Verlauf ohne Anschlag; Verlauf mit Anschlag; Angestrebter Verlauf. Hätten wir dagegen für die p -Werte komplexe Größen erhalten, so wären Schwingungen eingetreten, auch wäre der Kolben über seine neue Beharrungslage hinausgegangen. Es kommt also am letzten Ende darauf an, ob: C32 > 4 . C2 . C4 (schwingungsfreier Uebergang) oder ob: C32 < 4 . C2 . C4 (Uebergang mit Schwingungen). Um zu sehen, was das bedeutet, mögen die Werte aus den Gl. 19a bis 19c eingesetzt werden. Wir erhalten dann als Kriterium für schwingungsfreien Uebergang: \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2\,>\,\frac{F}{\pi \cdot d \cdot \sqrt{\frac{2\,g \cdot \alpha \cdot h_1}{\zeta}}} \cdot \frac{m_1}{\beta \cdot n_1} \cdot \frac{30}{\pi \cdot J} \cdot \frac{a_1+a_2}{a_2} \cdot \frac{M_1}{k_1-k_0} . . (22) Nehmen wir beispielsweise an, das ganze Reguliergetriebe samt Steuerkolben, Servomotorabmessungen, Nachführung und Tachometer sei schon festgelegt, so ist in der Gleichung 22 nur noch an J, d.h. an dem Trägheitsmoment der vorhandenen Schwungmassen eine Aenderung möglich. Hätten wir J gegenüber der Annahme unseres Zahlenbeispiels kleiner und kleiner gewählt, so wären wir dem Uebergang mit Schwingungen immer näher gekommen. Die Grenze wäre erreichworden, wenn J gerade so festgelegt worden wäre, daß an Stelle des Größenzeichens in Gl. 22 das Gleichheitszeichen getreten wäre. Bei noch weitergehender Verkleinerung von J wären dann Schwingungen beim Uebergang von der Umdrehungszahl des einen Beharrungszustands zu der des anderen eingetreten. Die Gl. 22 zeigt aber zugleich auch, wie vielgestaltig die Einflüsse sind, die auf das Bild des Reguliervorgangs in dem erwähnten Sinn einwirken, und daß es deshalb nicht ganz einfach sein wird, alle diese Einflüsse richtig gegeneinander abzuwägen, um so das erwünschte Bild wirklich zu erhalten. Mit Hilfe der Gl. 21 haben wir die einzelnen Ordinaten für unsere n-Kurve auf rein rechnerischem Weg gefunden. Wir können aber auch ein graphisches Verfahren benutzen und uns dadurch die immerhin zeitraubende Rechenarbeit ersparen, auch kann das graphische Verfahren zur Nachprüfung des rechnerischen dienen. Aus Gl. 11 und 18 ergibt sich: dn=\frac{30}{\pi \cdot J} \cdot \frac{M_1}{k_1-k_0} \cdot (k-k_b) \cdot dt. In Fig. 5 ist aber schon k = f(t) gezeichnet, und etwas allgemeiner dürfen wir auch schreiben: dn=\left(\frac{30}{\pi \cdot J} \cdot \frac{M_1}{k_1-k_0}\right) \cdot f\,(t) \cdot dt-\left(\frac{30}{\pi \cdot J} \cdot \frac{M_1}{k_1-k_0} \cdot k_B\right) \cdot dt oder auch bei Zusammenziehung der Konstanten: dn = a . f(t) . dt – b . dt, und beim Integrieren: n = a . ∫f(t) . dt – b . t + Const. ∫f(t). dt ist aber nichts anderes als der Inhalt der Fläche zwischen der k-Kurve und der O-Achse der k, d.h. der Fläche oberhalb der k-Kurve bis zu dem betreffenden Wert t hin erstreckt. Dieser Inhalt wäre also etwa mit dem Planimeter zu ermitteln, mit a zu multiplizieren, davon die Ordinaten der Geraden ϕ(t) = b . t abzuziehen und schließlich noch die Integrationskonstante dazu zu addieren. Nun zu den weiter noch in Fig. 5 vorhandenen Kurven. Wir haben dort in der Kurve k zugleich auch M = f(t), wenn wir nur den Maßstab entsprechend anders wählen. Denn es ist nach Früherem: M=\frac{k-k_0}{k_1-k_0} \cdot M_1 . . . . . . (7a) Bei Einsetzung unserer Zahlenwerte, wobei k1 und k2 in mm eingeführt werden mögen, folgt: M-\frac{49}{210-60} \cdot (k-k_0)=0,327 \cdot (k-k_0). Hier zeigt sich nun folgendes: Die M-Kurve ist natürlich nicht mehr wie bei unveränderlicher Kolbengeschwindigkeit eine Gerade. Die M nehmen entsprechend der Kolbenbewegung zunächst nur langsam und dann sehr rasch ab, und schon nach etwa 1,0 Sek. (bei Annahme freier Beweglichkeit des Steuerventils) erreichen sie praktisch den Wert MB = 36 m kg des neuen Beharrungszustandes, dem sie sich asymptotisch nähern, d.h. den sie in Wahrheit erst nach Verlauf unendlich langer Zeit erreichen würden. Textabbildung Bd. 324, S. 291 Fig. 6. Umdrehungszahlen. Verlauf ohne Anschlag; Verlauf mit Anschlag; Verlauf b. konst. Reg-Geschw. Weiter ist in Fig. 5 noch die m-Kurve eingezeichnet, d.h. die Muffenweglinie des Tachometers. Auch sie mag zunächst unter der Annahme behandelt werden, daß keine Störung der Bewegung durch Anschläge eintrete. Unter dieser Voraussetzung muß ihr Bild selbstverständlich ähnlich sein dem der n-Kurve, da ja zwischen den Werten m und n eine lineare Beziehung, besteht. Die m-Kurve wird aus Fig. 6 durch Umrechnung gefunden. Wir haben: m=\frac{m_1}{\beta \cdot n_1}\,(n_0-n) . . . . . . (1) Bei Einsetzung der Zahlenwerte kommt mit m1 in mm: m=\frac{50}{0,06 \cdot 194,5} \cdot (n_0-n) m = 4,285 . (n0 – n) mm. Die hiermit gefundenen m-Werte sind dann im Verhältnis \frac{a_1+a_2}{a_2}=1,5, d.h. im Verhältnis der in Betracht kommenden Hebelarme des Rückführungshebels aufgetragen, um dadurch gleich in der Figur die durch das Tachometer bewirkten Stellungen l1 des Steuerventils zu sehen. Die k-Werte waren früher schon, ebenfalls entsprechend den Tachometerhebelarmen, im Verhältnis \frac{a_1}{a_2}=0,5 aufgetragen, geben also in Fig. 4 direkt die Rückschiebungswege l2 des Steuerventils durch den Servomotorkolben an. (Die so reduzierten k- und n-Werte sind dann beide in Fig. 5 der Deutlichkeit halber in 2,5-facher Vergrößerung dargestellt) Wenn wir also, wie geschehen, die beiden Kurven von gleicher Nulllage ausgehend zusammensetzen, so müssen die dazwischenliegenden Ordinatenstücke die tatsächlichen Eröffnungen des Steuerquerschnitts geben, wobei selbstverständlich wieder freie Beweglichkeit des ganzen Getriebes ohne Anschläge vorausgesetzt ist. Wir können uns die Sache auch so vorstellen, daß zunächst das Tachometer von unten her anfangend bis zur m-Linie hin aufmacht und daß dann der Servormotorkolben hinterher das untere Stück dieser Eröffnungsordinate bis zur k-Kurve wegnimmt. Wie Fig. 5 zeigt, ist schon nach 0,7 Sekunden kaum mehr eine eigentliche Eröffnung vorhanden (in Wahrheit ergibt die Rechnung noch etwa 0,17 mm Eröffnung) und der Kolben müßte demnach zu dieser Zeit schon fast stillstehen, wie dies ja auch aus der Kolbenweglinie hervorgeht. Textabbildung Bd. 324, S. 292 Fig. 7. Servomotorkohlengeschw. bzw. Steuerventileröffnungen, Geschwindigkeiten der Steuerventilbewegung. Verlauf ohne Anschlag; Verlauf mit Anschlag; Angestrebter Verlauf. Die Kurve v\,\left(l,\ \frac{dl_2}{dt}\right) der Fig. 7 gibt uns ein Bild der veränderlichen Kolbengeschwindigkeit. Sie findet sich am genauesten mit Hilfe der Beziehung in Gl. 20, indem wir bilden: \frac{dk}{dt}=v=c_1 \cdot \rho_1 \cdot e^{\rho_1 \cdot t}+c_2 \cdot \rho_2 \cdot e^{\rho_2 \cdot t} . . . (23) oder bei Einsetzung der Zahlenwerte: v = – 0,076 . 6,37 . e– 6,37 . t + 0,0452 . 10,75 . e– 10,75 . t. Auch hier geschieht die Auswertung am bequemsten wieder mit Hilfe des logarithmischen Rechenverfahrens, wie in Fig. 4 angedeutet. Nach Gl. 15 sind die Eröffnungen l des Steuerventils direkt proportional mit den Kolbengeschwindigkeiten. Es ist nämlich: l = C2 . v . . . . . . . . . . (15) wenn wir die l, wie früher geschehen, bei Eröffnung nach unten als positiv annehmen. Unter C2 ist hierbei die in Gl. 19a gegebene Konstante verstanden. Deshalb stellt die v-Kurve nur mit einem anderen Maßstab gemessen in ihrer Abhängigkeit von t auch ohne weiteres das Eröffnungsgesetz für unseren Servomotor dar. Wir sehen aus Fig. 7, daß zunächst einmal sehr rasch aufgemacht wird, und daß die Geschwindigkeit des Arbeitskolbens demzufolge auch sehr rasch bis auf ihren Höchstwert ansteigt, der dem Wendepunkt der Kolbenweglinie entspricht. Schon nach etwa 0,12 Sek. ist die Maximalgeschwindigkeit von v = 0,093 m/Sek. erreicht und zwar bei einer Eröffnung von etwa 2,7 mm, um von dort aus erst etwas schneller und dann langsamer und langsamer sich asymptotisch der Eröffnung Null wieder zu nähern. Nach 0,6–0,7 Sek. ist der Steuerquerschnitt praktisch geschlossen (Eröffnung noch 0,29–0,17 mm). Vom Standpunkt der Theorie aus würde dagegen für den Abschluß unendlich lange Zeit nötig sein. Genauer können wir den Punkt, bei dem das Maximum der Eröffnung vorhanden sein wird, auch noch durch eine andere Betrachtung bestimmen, die uns auch für unsere weiteren Ueberlegungen noch von Nutzen sein wird. Durch die Muffe des Tachometers wird das Steuerventil mit einer gewissen Geschwindigkeit \frac{dl_1}{dt} in die Höhe gehoben, während der Kolben ihm eine Geschwindigkeit \frac{dl_2}{dt} nach abwärts, also im Sinne des Abschlusses zu geben versucht. So lange die von der Muffe aus eingeleitete Geschwindigkeit größer ist als die vom Kolben her übertragene, wird das Ventil immer noch ansteigen, d.h. es wird mehr und mehr eröffnet werden. Mit dem Moment, wo die beiden Geschwindigkeiten gleich groß geworden sind, wird das Ventil für einen Augenblick stillstehen, um sich dann nach abwärts zu bewegen und so den Abschluß einzuleiten. Die Geschwindigkeit, mit der das Ventil nach abwärts strebt, nämlich \frac{dl_2}{dt}, ist gleich der im Verhältnis \frac{a_1}{a_2}=0,5 geänderten Kolbengeschwindigkeit. Die v-Kurve hat nun, wie Fig. 7 zeigt, bei etwa t = 0,12 Sek. ein Maximum, d.h. von dort an nehmen mit fortschreitender Zeit die Steuerquerschnitte wieder ab. Die Kurve der \frac{dl_1}{dt} muß nun nach dem eben Ausgeführten so lange oberhalb der Kurve der \frac{dl_2}{dt} verlaufen, als noch aufgemacht wird, d.h. sie muß diese Kurve von oben herkommend an der Stelle des Maximums durchsetzen. Am Ende der ganzen Steuerbewegung müssen dann die beiden Geschwindigkeiten gleich Null sein, d.h. die beiden Kurven müssen ineinander übergehen, wie das auch in Fig. 7 zum Ausdruck kommt. Die Kurve der \frac{dl_1}{dt} selbst findet sich in folgender Weise. Es ist: \frac{dm}{dt}=\left(\frac{m_1}{\beta \cdot n_1} \cdot \frac{30}{\pi \cdot J}\right) \cdot (\varphi-b) \cdot M_1 . . . . . . . . . . (12) Die zugehörige Steuerkolbengeschwindigkeit erscheint vergrößert im Verhältnis \frac{a_1+a_2}{a_2}, also kommt: \frac{dl_1}{dt}=\left(\frac{m_1}{\beta \cdot n_1} \cdot \frac{30}{\pi \cdot J} \cdot \frac{a_1+a_2}{a_2}\right) \cdot (\varphi-b) \cdot M_1 . . . (24) oder mit eingesetzten Zahlenwerten und bei Nichtbeachtung des wegen der Aufwärtsbewegung eigentlich noch vorzusetzenden Minuszeichens: \frac{dl_1}{dt}=\left(\frac{0,05}{0,06 \cdot 194,5} \cdot \frac{30}{\pi \cdot 10} \cdot \frac{0,2+0,4}{0,4}\right) \cdot (\varphi-b) \cdot 49. \frac{dl_1}{dt}=0,00614 \cdot (\varphi-b) \cdot 49. Da wir oben sahen, daß \frac{dl_2}{dt}=0,5 \cdot v ist, in Wahrheit aber die v selbst in Fig. 7 aufgetragen haben, so müssen wir jetzt, wo wir die \frac{dl_2}{dt} haben sollten, den Maßstab für die \frac{dl_1}{dt} und \frac{dl_2}{dt} doppelt so groß wählen als den vorher für die v benutzten. Die zur obigen Rechnung nötigen Werte (ϕ – b) lassen sich leicht mit Hilfe der Gl. 18 bestimmen. Zugleich stellt uns nach der obigen Beziehung die Kurve der \frac{dl_1}{dt} ebenso wie schon die ß-Kurve, nur in anderem Maßstab wieder ein Bild der Füllungsunterschiede (ϕ – b) in Abhängigkeit von der Zeit dar und damit auch ein Bild der Momente in jedem einzelnen Augenblick. (Fortsetzung folgt.)