Der Reguliervorgang beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator mit nachgiebiger Rückführung (Isodromregulator). Von Dipl.-Ing. Heinrich Haake, Preußisch Oldendorf. (Fortsetzung von S. 39 d. Bd.) Der Reguliervorgang beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator usw. Zahlenbeispiele. Wir wollen zunächst einen schwingungsfreien Reguliervorgang betrachten (Beispiel 1) und dann, hiervon ausgehend, sehen, wie für den gleichen Regulator der Uebergang zum neuen Beharrungszustande sich vollzieht, wenn die Rückführung starr ist (Beispiel 2). Darauf ändern wir die Schwungmasse und die Flüssigkeitsgeschwindigkeit im Steuerquerschnitt und veranschaulichen uns bei sonst gleichen Werten für sämtliche Teile den Einfluß der Tourenrückführung. Sämtliche Kurven sind als Bewegungen in Abhängigkeit von der Zeit aufgetragen. Als Zeitpunkt t = 0 ist der Moment einer plötzlichen Entlastung um 50 v. H. angenommen. Beispiel 1 (Fig. 5 und Fig. 1). Die Abmessungen des Regulators seien folgende: n1 = 194,5 Umdr. i. d. Min. a1 = 0,2 m; a2 = 0,4 m k0 = 0,06 m; k1 = 0,21 m F = 0,0154 qm d = 0,045 m; λ = 0,78 α = 0,35 h1 = 10 m ξ = 3 A1 = 156 mkg/PS ß = 0,06 m1 = 0,05 m Ψ = 1 sec–1 Wir berechnen uns zunächst die Koeffizienten: es ist nach Gleichung 22 a c_1=\frac{a_1}{a_2}\,.\,\frac{\lambda\,.\,d\,.\,\pi}{F}\,.\,\sqrt{\frac{2\,g\,a\,h_1}{\xi}}=17,1\mbox{ sec}^{-1} c_2=\frac{37,5}{\beta\,.\,A_1}=4,0\mbox{ sec}^{-1} daraus ergibt sich: x=\frac{c_2}{c_1}=0,2345 v=\frac{\Psi}{c_1}=0,0586 Die Differentialgleichung lautet nach Einsetzen der Werte: \frac{d^3\,z}{d\,t^3}+\frac{d^2\,z}{d\,t^2}\,.\,18,075+\frac{d\,z}{d\,t}\,.\,68,3+z\,.\,68,3=0 Das allgemeine Integral heißt nach Gleichung 25: z=C_1\,.\,e^{w_1\,t}+C_2\,.\,e^{w_2\,t}+C_3\,.\,e^{w_3\,t}. Wir haben zur Berechnung der Wurzeln w die kubische Gleichung aufzulösen: w3 + 18,075 w2 + 68,3 w + 68,3 = 0. Um das quadratische Glied fortzuschaffen, setzen wir w = x – 6,025 und erhalten: x3 – 40,7 x + 95 = 0. Die Wurzeln dieser reduzierten Gleichung ergeben sich zu: x1 = – 7,326; x2 = + 4,336; x3 = + 2,9905, so daß wir durch Einsetzen dieser Werte erhalten: w1= – 13,35; w2 = – 1,69; w3 = – 3,0345. Die Koeffizienten C1, C2 und C3 bestimmen wir aus den Gleichungen 33, dann wird: C_1=-\frac{x\,.\,{c_1}^2\,.\,(k_1-k_0)}{(w_1-w_2)\,(w_1-w_3)}\,.\,(a-b)=-0,085\,(a-b) C_2=-\frac{x\,.\,{c_1}^2\,.\,(k_1-k_0)}{(w_2-w_1)\,(w_2-w_3)}\,.\,(a-b)=-0,656\,(a-b) C_3=-\frac{x\,.\,{c_1}^2\,.\,(k_1-k_0)}{(w_3-w_1)\,(w_3-w_2)}\,.\,(a-b)=+0,741\,(a-b) Wir setzen die so erhaltenen Größen in Gleichung 25 ein und bekommen schließlich: z=-(0,085\,e^{-13,35\,t}+0,656\,e^{-1,69\,t}-0,741\,e^{-3,0345\,t}). Wir differenzieren diesen Ausdruck nach t und bekommen: \frac{d\,z}{d\,t}=(1,134\,e^{-13,35\,t}+1,107\,e^{-1,69\,t}-2,254\,e^{-3,0345\,t})\,(a-b) Nach Gleichung 5 a ist \frac{d\,k}{d\,t}=\frac{d\,z}{d\,t}+\Psi\,.\,z; die Ausführung ergibt: \frac{d\,k}{d\,t}=(1,05\,e^{-13,35\,t}+0,451\,e^{1,69\,t}-1,501\,e^{3,0345\,t})\,(a-b). Wollen wir k bestimmen, so müssen wir diese Gleichung integrieren: k = C+ (– 0,0786 e–13,35 t – 0,2662 e–1,69 t + 0,4948 e–3,0345 t) (a – b). Zur Berechnung der Integrationskonstante C setzen wir t = 0, dann wird: kt = 0 = C + (– 0,0786 – 0,2662 + 0,4948) (a – b) = C + 0,15 (a – b). Nach unserer Annahme bedeutet t = 0 den Moment der Entlastung, folglich ist: kt = 0= kA= C + 0,15 (a – b), daraus ergibt sich: C = kA – 0,15 (a – b) 0,15 ist der Zahlenwert für (k1 – k0), da nun: (k 1 –k 0 ) (a – b)=k A – k B ist, so wird schließlich C = k A – k A + k B = k B und damit: k = kB+ (– 0,0786 e–13,35 t – 0,2662 e–1,69 t + 0,4948 e–3,0345 t) (a – b). Früher hatten wir zwischen Umdrehungszahl und Kolbenstellung die Beziehung festgestellt: \frac{d\,n}{d\,t}=37,5\,\frac{n_1}{A_1}\,.\,\frac{k-k_B}{k_1-k_0} . . . 16a) danach wird: n = 312 ∫ (k – kB) d t + C. Da im Moment der Entlastung die mittlere Umdrehungszahl nm vorhanden ist, so ergibt sich in ähnlicher Weise wie für die Gleichung der Kolbenbewegung: n = nm + (0,00588 e–13,35 t + 0,1574 e–1,69 t – 0,16328 e–3,0345 t) (a – b). Die Größe von nm ist nicht fest angenommen worden, da ja nm jeden innerhalb des Arbeitsbereiches des Tachometers liegenden Wert haben kann. In dem oberen Teil von Fig. 5 sind die Δ k und die Δ n-Werte in Abhängigkeit von der Zeit aufgetragen, außerdem die z-Werte. Man erkennt, wie die Umdrehungszahl schnell ansteigt bis zum Maximum, um sich dann wieder asymptotisch dem früheren Zustande zu nähern. Der Arbeitskolben bewegt sich, anfangend mit der Geschwindigkeit 0, aufwärts, geht über die dem neuen Beharrungszustande entsprechende Stellung hinaus und nähert sich ihr dann gleichfalls asymptotisch. Die Bewegung des Punktes O, dargestellt durch die z-Kurve, ist zunächst dieselbe wie die Kolbenbewegung, aber bald schon tritt die Wirkung des nachgiebigen Gliedes ein, die Kolbenstange wird stetig verkürzt, und zwar ist die Größe von Δ s durch die zwischen der k- und z-Kurve liegenden Ordinaten gegeben. Textabbildung Bd. 325, S. 54 Fig. 5. Beispiel 1. x = 0,2345, v = 0,0586, c1 = 17,1 sec–1. Textabbildung Bd. 325, S. 54 Fig. 6. Beispiel 2. x = 0,2345, v = 0, c1 = 17,1 sec–1. Im unteren Teil der Fig. 5 sehen wir die für das Steuerventil V in Betracht kommenden Bewegungen. l1 ist die durch die Tachometermuffe bewirkte und aus Δ n berechnete Eröffnung, l2 die durch den Ausschlag des Punktes O verursachte Rückführung des Steuerkolbens. Die tatsächlichen Ventileröffnungen sind demnach durch die Ordinaten zwischen der l1 und l2-Kurve gegeben (in Figur als l = l1 – l2 nochmals aufgetragen). Interessant ist es, aus dieser graphischen Darstellung zu erkennen, wie trotz des allmählichen Absinkens des Punktes O bewirkt wird, daß das Steuerventil noch etwas nach + l offen bleibt, weil die Umdrehungszahl sinkt und damit die Tachometermuffe sich abwärts bewegt, so daß noch fortwährend Flüssigkeit in den Arbeitszylinder, und zwar über dem Kolben, tritt und diesen allmählich in seine neue Beharrungsstellung bringt. Beispiel 2, Fig. 6. Wir bleiben jetzt bei dem gleichen Regulator, setzen aber v=\frac{\Psi}{c_1}=0, Textabbildung Bd. 325, S. 54 Fig. 7. Beispiel 3. x = 2, v = 0, c1 = 3 sec–1. etwa dadurch, daß wir die Umdrehungszahl n' verschwinden lassen oder die Berührung der beiden Reibscheiben W und X verhindern. Dann haben wir einen Regulator mit starrer Rückführung, wie er in der Hiemenzschen Arbeit behandelt worden ist. Die Einzelrechnungen wollen wir hier und bei den später folgenden Beispielen nicht wieder durchführen, sie ergeben sich ja aus den früheren. In diesem Falle muß die z-Kurve mit der Δ k-Kurve zusammenfallen. Das kommt in der Gleichung dadurch zum Ausdruck, daß wir für z erhalten: z = (– 0,15 e0 t + 0,377 e–6,43 t – 0,227 e–10,67 t)(a – b). Das erste Glied dieser Gleichung ist konstant, weil e0 t = 1 ist, somit haben wir ohne weiteres den Wert von z für den neuen Beharrungszustand, nämlich: zt= ∞ = – 0,15 (a – b) = – (k1 – k0) (a – b) = – (kA – kB) k ergibt sich nun auf Grund von Ausdruck 5a: k=C+\int\,\left(\frac{d\,z}{d\,t}+\Psi\,.\,z\right)\,d\,t, das gibt, weil beim Differentieren das erste Glied der z-Gleichung fortfällt und ferner Ψ = 0 ist, k = C + (0,377 e–6,43 t – 0,227 e–10,67 t) (a – b) C wird = kB. So haben wir für z und k denselben Ausdruck erhalten, nur zählt z von dem früheren Beharrungszustande aus, während die Δ k-Werte von der neuen Stellung aus aufzutragen sind. Die Gleichung der n-Kurve lautet weiterhin: n = nA + 312 (0,03734 e0 t – 0,0586 e–6,43 t + 0,02126 e–10,67 t) (a – b) Textabbildung Bd. 325, S. 55 Fig. 8. Beispiel 4. x = 2, v = 0,05, c1 = 3 sec–1. Aus Δ n und Δ k ergeben sich l1 und l2, und daraus erhalten wir l. Neuannahmen, Schwungmassen geändert. Wir hatten im Abschnitt über die Art der Schwingungen festgestellt, daß in dem Koordinatensystem (x, v) der Regulator mit starrer Rückführung durch die Ordinatenachse (v = 0) charakterisiert ist. Nun sei angenommen, an dem eben betrachteten Regulator würden die Schwungmassen geändert, und zwar soll A1 = 104 mkg/PS werden. Ferner mögen sich a h1 und ξ so ändern, daß der Koeffizient c1 nur noch 3 sec–1 beträgt. Dann wird c2 = 6 sec.–1 und x=\frac{c_2}{c_1}=2. Alle übrigen Größen sollen dieselben bleiben wie in Beispiel 1 bezw. 2. Das nachgiebige Glied, welches durch die Größe Ψ, bezw. v bestimmt ist, sei zunächst starr, also v = 0 (Beispiel 3); darauf lassen wir in Beispiel 4–6 v allmählich wachsen und verfolgen den Einfluß an Hand der Fig. 8–10. Zunächst sollen die Gleichungen der z-, k- und n-Kurven hier aufgeführt werden, die nach den früher angegebenen Formeln berechnet sind: Beispiel 3, Fig. 7. x = 2, v = 0, c1 = 3 sec–1 z = (– 0,15 e0 t +e–1,5 t [0,15 cos 3,97 t + 0,0567 sin 3,97 t]) (a – b) k = kB + (e–1,5 t [0,15 cos 3,97 t + 0,0567 sin 3,97 t]) (a – b) n =nA+ 467,5 (0,025 e0 t– e–1,5 t [0,025 cos 3,97 t – 0,02832 sin 3,97 t]) (a – b). Beispiel 4, Fig. 8. x = 2, v = 0,05, c1 = 3 sec–1. z = (– 0,1578 e–0,154 t + e–1498 t [0,1578 cos 3,91 t + 0,0542 sin 3,91 t]) (a – b) k = kB + (– 0,004 e–0,154 t + e–1,498 t [0,154 cos 3,91 t + 0,05877 sin 3,91 t]) (a – b) n = nm + 467,5 (0,0261 . e–0,154t – e–1,498 t [0,026 t cos 3,91 t – 0,02924 sin 3,91 t]) (a – b). Beispiel 5, Fig. 9. x = 2, v = 0,36, c1 = 3 sec–1 z = (– 0,2168 e–1,36 t + e–36 t [0,2168 cos 3,53 t + 0 . sin 3,53 t) (a – b) k = kB + (– 0,0445 e–1,36 t + e–1,36 t [0,1945 cos 3,53 t + 0,0578 sin 3,53 t]) (a – b) n =nm + 467,5 (0,0327 e–1,36 t – e–1,36 t [0,0327 cos 3,53 t – 0,04255 sin 3,53 t]) (a – b). Textabbildung Bd. 325, S. 55 Fig. 9. Beispiel 5. x = 2, v = 0,36, c1 = 3 sec–1. Beispiel 6, Fig. 10. x = 2, v = 1, c1 = 3 sec–1 z = (– 0,1008 e–4,63 t + e–0,685 t [0,1008 cos 3,345 t – 0,1189 sin 3,345 t]) (a – b) k = kB + (– 0,0354 e–4,63 t + e–0,685 t [0,1854 cos 3,345 t – 0,0111 sin 3,345 t]) (a – b) n = nm + 467,5 (0,00765 e–4,63 t – e–0,685 t [0,00765 cos 3,345 t – 0,0538 sin 3,345 t]) (a – b). Diese Kurven sind im oberen Teil der Figuren aufgetragen; im unteren Teil finden wir die aus den z und Δ n-Werten abgeleiteten Ventileröffnungen l1 und l2 und daraus l = l1 – l2. Wie wir erkennen, ist die Schnelligkeit, mit welcher sich die z-Kurve von der k-Kurve entfernt, also die relative Geschwindigkeit \frac{d\,s}{d\,t}, maßgebend für die Art der Schwingungen. Ein Vergleich zwischen den Gleichungen und Figuren zeigt sofort, daß die Schwingungen mit der Größe von v zunehmen. Mathematisch hängt das von den Exponenten w1 und p ab, wie schon früher gesagt worden ist. w1 ist ja der Exponent des ersten Gliedes C_1\,e^{w_1\,t}, p der Exponent des zu dem trigonometrischen Klammerausdruck gehörenden Faktors ept. Wir hatten früher festgestellt, daß bei großen Werten von w1 diejenigen von p klein werden. In Fig. 4 gibt die – – – Kurve 4,5 x (1 – 2 v) = (v + 1)3 Textabbildung Bd. 325, S. 56 Fig. 10. Beispiel 6. x = 2, v = 1, c1 = 3 sec–1. alle diejenigen Punkte an, für welche p und w1 einander gleich sind. Beispiel 5 ist für einen solchen Punkt gezeichnet (x = 2, v = 0,36); da nun der Koeffizient des letzten Gliedes der Gleichung 38 für z mit \frac{w_1-p}{q} zu multiplizieren ist, so muß er in diesem Falle = 0 werden. Das hat zur Folge ein Tangieren der z-Kurve an die Null-Linie; somit erkennen wir, daß für alle Punkte, die in Fig. 4 links von der strichpunktierten Kurve liegen, die Ausschläge der z-Kurve nicht über die Null-Linie hinausgehen. Das ist sehr wichtig, weil, wie auch die Figuren zeigen, die n-Kurven durch die v-Schwingungen wesentlich beeinflußt werden. Bei kleinen Werten von v sind nur Oberschwingungen vorhanden, aber die Umdrehungszahl kehrt auch nur langsam zur ursprünglichen zurück, während bei größeren Werten von v die Tourenrückführung schneller von statten geht. Der erste Ausschlag der n-Kurve wird bei wachsendem v stetig kleiner, weil die Rückführung des Steuerventiles allmählich ausgeschaltet wird, aber der erste Ausschlag der Kolbenwegkurve wird größer, weil die Ventileröffnung größer wird und der erste Abschluß verhältnismäßig immer später erfolgt. Das kommt besonders zum Ausdruck durch die Lage des Punktes Y, des ersten Schnittpunktes von l1 und l2, der ja zeitlich das Maximum von k bestimmt. Wie zu erkennen ist, werden die l2-Werte bei wachsendem v kleiner, infolgedessen kommt Punkt Y immer tiefer zu liegen. Wird v = ∞, hat der Regulator also keine Rückführung, so ist z und damit l2 dauernd = 0 und Y liegt auf der Null-Linie. Das ergibt natürlich dauernde, ungedämpfte Schwingungen für k und n. Die vorliegenden Beispiele sind für konstantes x=\frac{c_2}{c_1} durchgeführt. Da aber x bei gegebenem c_1=\frac{a_1}{a_2}\,.\,\frac{\lambda\,d\,\pi}{F}\,.\,\sqrt{\frac{2\,g\,a\,h_1}{\xi}} durch c_2=\frac{37,5}{\beta\,.\,A_1}, also durch die Beweglichkeit ß des Tachometers und durch das Arbeitsvermögen der Schwungmassen A1 bestimmt ist, so ergibt sich, daß bei Abnahme von ß und A1, also bei wachsendem x die Schwingungen immer schneller und mit größeren Ausschlägen erfolgen werden, während hart an der Grenze des Feldes für reelle Wurzeln noch keine Schwingungen zu bemerken sind. Der Wert x ist auch in den vorliegenden Beispielen so groß gewählt worden, weil für kleinere Werte die Schwingungen nicht instruktiv genug zum Vorschein traten. Bei einem ausgeführten Regulator kommen ja die großen Werte von x durch die Vergrößerung des Widerstandskoeffizienten ξ, bei kleinen Ventileröffnungen, zustande. Man hat also bei der Konstruktion darauf zu achten, daß die gerade Linie \frac{x}{v} eine Lage hat, die möglichst nur Oberschwingungen, dabei aber trotzdem eine schnelle Tourenrückführung bedingt. Wie die Gleichungen für die gezeichneten Kurven erkennen lassen, liegt eine ganz bestimmte Gesetzmäßigkeit in der Zu- und Abnahme der Koeffizienten. Ferner ist, wie die Formeln 33 und 37 zeigen, ein inniger Zusammenhang vorhanden zwischen diesen Koeffizienten und den Wurzeln der kubischen Gleichung 26. Diese Beziehungen zu durchforschen, geht über den Rahmen dieser Arbeit hinaus. Die Massenbeschleunigungen der Arbeitsflüssigkeit sind unmittelbar auf den Einfluß des Koeffizienten c1 zurückzuführen, Es findet dadurch entweder eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung von c1 und damit relativ eine Verkleinerung oder eine Vergrößerung von x und v statt. Wegen der übrigen Unterschiede zwischen unseren Annahmen und der Wirklichkeit (Unempfindlichkeit des Tachometers, Spielraumzeiten, Massenbeschleunigungen der Getriebeteile, Anschläge des Steuerventils und der Tachometermuffe) sei auf die Literatur verwiesen. Ganz kurz wollen wir nun das Hauptergebnis der theoretischen Untersuchung wiederholen: (Schluß folgt.)