VEREINFACHTE BERECHNUNG VON TRAGWERKEN, DIE AUF ZUSAMMENGESETZTE FESTIGKEIT BEANSPRUCHT WERDEN. Von Dipl.-Ing. G. Kaufmann, Berlin. (Fortsetzung von S. 601 d. Bd.) KAUFMANN: Vereinfachte Berechnung von Tragwerken usw. Im folgenden möge nun an einem Beispiel die Anwendung der entwickelten Formeln gezeigt werden. Es handele sich um eine Stütze, die durch eine Normalkraft von 134000 kg und ein Moment von 1193000 kg/cm beansprucht wird; die zulässige Spannung soll 1400 kg/qcm betragen. Als Stützenquerschnitt sollen ein Grey-Träger bezw. zwei Normalprofilträger vorgesehen werden. Dann ist nach Gleichung Ic für die aus einem Grey-Träger bestehende Stütze: \begin{array}{rcl}W&=&\frac{5,87\,.\,134000+1193000}{1400-0,0031\,.\,134000}\\ &=&\frac{1979000}{985}=2010\mbox{ cm}^3. \end{array} Gewählt wird ein Grey-Träger Profil 34 B mit W = 2073 cm3 und F = 167,4 qcm. Textabbildung Bd. 326, S. 616 Fig. 2. Dann ergibt sich die Beanspruchung zu: \begin{array}{rcl}\sigma&=&\frac{134000}{167,4}+\frac{1193000}{2073}\\ &=&800+575=1375\mbox{ kg/qcm.}\end{array} Für die aus zwei Normalprofilträgern bestehende Stütze ist zu setzen, da jeder Träger die Hälfte der Beanspruchung aufnimmt, P=\frac{134000}{2}=67000\mbox{ kg.} M=\frac{1193000}{2}=596500\mbox{ kgcm.} Dann ist nach Gleichung Ib: \begin{array}{rcl}W&=&\frac{7,79\,.\,67000+596500}{1400-0,0029\,.\,67000}\\ &=&\frac{1117500}{1206}=927\mbox{ cm}^3.\end{array} Verwendet werden zwei Normalprofile 34 mit W = 2 • 922 = 1844 cm3 und F= 2 • 86,7 = 173,4 qcm. Dann wird: \begin{array}{rcl}\sigma &=& \frac{134000}{173,4}+\frac{1193000}{1844}\\ &=&773+644=1417\mbox{ kg/qcm.}\end{array} Wie man sieht, liefern die Formeln fast ganz genaue Werte; denn die geringen Differenzen von noch nicht 2 v. H. sind hauptsächlich darauf zurückzuführen, daß eben die verwendeten Träger nicht genau das nach den Formeln erforderliche Widerstandsmoment besaßen. Wir gehen nun zur Betrachtung des Falles der Gleichung 2 über, die etwa für eine exzentrisch beanspruchte Stütze, bei der Biegungsmomente in Richtung der beiden Hauptachsen auftreten, Gültigkeit hat. Auch hier kann man wieder schreiben: \sigma\,.\,W_x=P\,.\,\frac{W_x}{F}+M_x+M_y\,.\,\frac{W_X}{W_y} . 2a) Genau wie wir gefunden hatten \frac{W_x}{F}=a+b\,.\,W_x . . . . . . 3) nehmen wir zwischen Wx und Wy eine Beziehung an, die sich ausdrücken läßt durch die Gleichung: \frac{W_x}{W_y}=c+d\,.\,W_x . . . . . . . 5) Um die Koeffizienten c und d zu bestimmen, sind in den Tab. 5 und 6 zunächst wieder die für die einzelnen Normalprofil- bezw. Grey-Träger gültigen Werte von Wx, Wy und \frac{W_x}{W_y} zusammengestellt und alsdann in Fig. 2 wiederum die Werte Wx als Abszissen und die Werte \frac{W_x}{W_y} als Ordinaten aufgetragen worden. Für die Berechnung der Werte Wy bei den aus zwei Normalprofilträgern bestehenden Querschnitten ist hierbei noch folgendes zu bemerken: Tabelle 5. N.-P. Jy F F • e2 Jy + F• e2 e+\frac{b}{2} Wy Wx \frac{W_x}{W_y} 18 81,3 27,9 1178     1259 10,6 118,8 161 1,355 19 97,2 30,5 1288     1385 10,8 128,2 185 1,444 20 117 33,4 1411     1528 11,0 139,0 214 1539 21 137 36,3 1533     1670 11,2 149,2 244 1,636 22 163 39,5 1668     1831 11,4 160,7 278 1,73 23 188 42,6 1800     1988 11,6 171,5 314 1,832 24 220 46,1 1949     2169 11,8 183,9 353 1,92 25 255 49,7 2098     2353 12,0 196,1 396 2,022 26 287 53,3 2253     2540 12,15 209,3 441 2,11 27 325 57,1 2414     2739 12,3 222,7 491 2,204 28 363 61,0 2578     2941 12,45 236,3 541 2,292 29 403 648 2740     3143 12,6 249,5 594 2,382 30 449 69,0 2916     3365 12,75 264,0 652 2,47 30 449 69,0 6900     7349 16,25   452 652 1,446 32 555 77,7 7770     8325 16,55   503 782 1,555 34 674 86,7 8670     9344 16,85   555 923 1,663 36 818 97,0 9700   10518 17,15   614 1089 1,776 38 957 107 10700   11657 17,45   668 1264 1,893 40 1158 118 11800 112958 17,75   729 1461 2,005 42½ 1427 132 13200   14627 18,15   807 1740 2,158 45 1725 147 14700   16425 18,5   888 2037 2,293 47½ 2088 163 16300   18388 18,9   973 2378 2,445 50 2478 179 17900   20378 19,25 1030 2750 2,71 Bei einem zusammengesetzten Profil untenstehenden Querschnitts (Fig. 3) ist bekanntlich das Widerstandsmoment in bezug auf die F-Achse: W_y=\frac{2\,(J_y+F\,.\,e^2)}{e+\frac{b}{2}}, oder bezogen auf ein Profil W_y=\frac{J_y+F\,.\,e^2}{e+\frac{b}{2}}. Textabbildung Bd. 326, S. 617 Fig. 3. Der Abstand 2 e der beiden Trägerachsen wird hierbei vornehmlich nach praktischen Gesichtspunkten gewählt werden, etwa dergestalt, daß man bei einem durch mehrere Stockwerke hindurchgehenden Stützenzug von den Profilen in der untersten Etage ausgeht, diese – um an Raum zu sparen – möglichst aneinanderrückt und das so gefundene Maß für 2e auch für die Stützen der oberen Stockwerke beibehält, um immer Steg auf Steg zu bekommen. Ich habe bei Aufstellung der Tabellen für die Profile 18–30 (ausgehend von Normalprofil 30) 2e = 13 cm, für die Profile 30–50 (ausgehend von Normal Profil 50) 2e = 20 cm angenommen. Uebrigens werden geringe Abweichungen hiervon das Resultat nicht nennens wert beeinflussen, da der Einfluß des Moments My in der Regel überhaupt kein sehr großer im Verhältnis zu den Tabelle 6. Grey Wx Wy \frac{W_x}{W_y} Grey Wx Wy \frac{W_x}{W_y} 18 B   390 119 3,28 32 B 1882 524 3,595 20 B   517 157 3,29 34 B 2073 540 3,84 22 B   671 201 3,34 36 B 2360 586 4,03 24 B   855 254 3,37 38 B 2605 612 4,26 25 B   965 286 3,375 40 B 2892 648 4,46 26 B 1104 328 3,37 42½ B 3212 672 4,78 27 B 1224 365 3,36 45 B 3595 711 5,06 28 B 1361 405 3,365 47½ B 3992 743 5,375 29 B 1508 443 3,41 50 B 4451 781 5,7 30 B 1680 500 3,36 55 B 5308 839 6,34 Einflüssen von P und Mx ist. Die Tab. 5 zeigt außer den bereits erwähnten Größen auch noch die zur Ermittlung von Wy dienenden Zwischenwerte Jy , F,F • e2, Jy + F, e1 und e+\frac{b}{2} Wie aus Fig, 2 hervorgeht, sind die Kurven, die die Wx Beziehung zwischen den Werten Wx und \frac{W_x}{W_y} ausdrükken, wieder so schwach gekrümmt, daß sie durch gerade Linien ersetzt werden können, so daß also die Gleichung 5 zu Recht besteht. Genau wie vorher die Koeffizienten a und b werden jetzt c und d dadurch ermittelt, daß man in die Gleichung 5 je zwei aus Fig. 2 entnommene Werte für Wx und \frac{W_x}{W_y} nacheinander einsetzt. Man erhält dann: Für Normalprofil 18–30 1,45 = c + d . 161, 5,54 = c + d . 652,   d=\frac{1,09}{491}=0,0022,    c = 145 – 0,0022 . 161 = 1,1   \frac{W_x}{W_y}=1,1+0,0022\,W_x . . . . 5a) Für Normalprofil 30–50: 1,485 = c+d . 652, 2,745 = c+d . 2750,   d=\frac{1,26}{2098}=0,0006,      c = 1,485 – 0,0006 . 652 = 1,09,   \frac{W_x}{W_y}=1,09+0,0006\,W_x . . . . . 5b) Für Grey-Profil 18–40: 2,97 = c + d . 390 4,2   = c + d . 2892,   d=\frac{1,23}{2502}=0,00049,    c = 2,97 – 0,00049 . 390 = 2,78,   \frac{W_x}{W_y}=2,78+0,00049\,W_x . . . . . 5c) Für Grey-Profil 40–55:   4,5 = c + d . 2892, 6,37 = c + d . 5308,   d=\frac{1,87}{2416}=0,00077,    c = 4,5 – 0,00077 . 2892 = 2,27,   \frac{W_x}{W_y}=2,27+0,00077\,W_x . . . . . 5d) Durch Einsetzen der Werte aus den Gleichungen 3 und 5 in die Gleichung 2a erhält man: σ • Wx + P (a + b • Wx) + Mx + My (c + d • Wx) und hieraus: W_x=\frac{P\,.\,a+M_x+M_y\,.\,c}{\sigma-P\,.\,b-M_y \,.\,d} . . . . II) Tabelle 7. N.-P. Wy nachGleich. 6 Wy vor-handen N.-P. Wy nachGleich. 6 Wy vor-handen 18 110,7 118,8 30   440   452 19 122,8 128,2 32   501   503 20 136,2 139,0 34   561   555 21 149,0 149,2 36   625   614 22 162,4 160,7 38   684   668 23 175,3 171,5 40   743   729 24 188,1 183,9 42½   816   807 25 201,0 196,1 45   882   888 26 213,3 209,3 47½   946   973 27 225,6 222,7 50 1004 1030 28 236,5 236,3 29 246,6 249,5 30 257,3 264,0 Setzt man hierin die für die einzelnen Profile ermittelten Koeffizienten a, b, c und d ein, so geht die Gleichung über in: Für Normal profil 18–30: W_x=\frac{4,86\,P+M_x+1,1\,M_y}{\sigma-0,0075\,P-0,0022\,M_y} . . IIa) Für Normalprofil 30–50: W_x=\frac{7,79\,P+M_x+1,09\,M_y}{\sigma-0,0029\,P-0,0006\,M_y} . . IIb) Für Grey-Profil 18–40: W_x=\frac{5,87\,P+M_x+2,78\,M_y}{\sigma-0,0031\,P-0,00049\,M_y} . . IIc) Für Grey-Profil 40–55: W_x=\frac{9,32\,P+M_x+2,27\,M_y}{\sigma-0,00175\,P-0,00077\,M_y} . . IId) Um den Genauigkeitsgrad der Gleichungen 5a bis 5d zu untersuchen, wurden wiederum in die aus Gleichung 5 abgeleitete Gleichung W_y=\frac{W_x}{c+d\,.\,W_x} . . . . . . . 6) die verschiedenen Werte von c und d eingesetzt und die sich hiermit ergebenden mit den wirklichen Werten von Wy verglichen. Aus den Tab. 7 und 8, in denen diese Gegenüberstellung vorgenommen wurde, geht hervor, daß es sich bei den Unterschieden ebenfalls nur um wenige Prozent handelt. Als Beispiel soll der Querschnitt einer aus zwei Normalprofilträgern bestehenden Stütze gesucht werden, die durch die folgenden Kräfte beansprucht wird: P= 171200 kg, Mx = 1011200 kgcm, My = 267000 kgcm. Tabelle 8. Grey Wy nachGleich. 6 Wy vor-handen Grey Wy nachGleich. 6 Wy vor-handen 18 B 131,3 119 40 B 643 648 20 B 170,6 157 42½B 678 672 22 B 216,0 201 45 B 714 711 24 B 267,3 254 47½ B 748 743 25 B 296,7 286 50 B 782 781 26 B 332,5 328 55 B 835 839 27 B 362,7 365 28 B 395,0 405 29 B 429,0 443 30 B 467,0 500 32 B 509,0 524 34 B 544,0 540 36 B 600,0 586 38 B 643,0 612 40 B 689,0 648 Da auf jeden Träger die Hälfte dieser Kräfte entfallen, lautet die hier maßgebende Gleichung II b: \begin{array}{rcl}W_x&=&\frac{7,79\,.\,85600+505600+1,09\,.\,133500}{1400-0,0029\,.\,85600-0,0006\,.\,133500}\\ &=&\frac{1318000}{1071,7}=1230\mbox{ cm}^3 \end{array} Verwendet werden demnach zwei Normalprofile 38 mit F = 214 qcm, Wx = 2528 cm3, Wy = 1336 cm3 (vergl. Tab. 5). Dann ergibt sich die Beanspruchung des Querschnitts zu: \begin{array}{rcl}\sigma&=&\frac{171200}{214}+\frac{1011200}{2528}+\frac{267000}{1336}\\ &=&800+400+200=1400\mbox{ kg/qcm.} \end{array} (Schluß folgt.)